第十三章 三角形 综合复习卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础、中档、提高三层设计，覆盖三角形从概念理解到模型应用的知识路径，适配单元复习巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形概念（三边关系、高/中线/角平分线）、等腰三角形性质|选择1-5直接考查定义，填空16-18强化计算，夯实抽象能力| |中档|角度综合计算（内角和、外角）、中线周长差、动点最值|选择6-10结合图形分析，填空19渗透几何直观，解答20-24训练推理| |提高|折叠问题、三角板组合、飞镖模型|选择11-15融合平行线性质，解答25-27设计变式探究，发展创新意识|

第十三章 三角形 综合复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：2+5＜8，A不能组成三角形，符合题意； 2+4＞5，B不能组成三角形，不符合题意； 4+3＞5，C能组成三角形，不符合题意； 8+7＞14，D能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2．如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF 【分析】根据三角形的高的定义解答即可． 【解答】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE， 故选：B． 【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答． 3．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则a的值是（　　） A．5 B．7 C．8 D．14 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：A．当a＝5时，5+5＜14，5，5，14不能组成三角形，不符合题意； B．当a＝7时，5+7＜12，5，7，12不能组成三角形，不符合题意； C．当a＝8时，5+8＜14，5，8，14不能组成三角形，不符合题意； D、当a＝14时，5+14＞14，8+7＞14，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（　　） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 【分析】结合等腰三角形两腰相等的性质，分情况讨论第三边的长度，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不符合的情况． 【解答】解：∵等腰三角形两边长为4、8， ∴根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论， ①若第三边长为4，则三边为4、4、8， ∵4+4＝8，不满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴此情况不成立； ②若第三边长为8，则三边为4、8、8， ∵4+8＞8，8+8＞4，满足三角形三边关系， ∴此情况成立， ∴第三边长为8， 综上所述，第三边长为8， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是相关知识的熟练掌握． 5．滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具备稳定性，桥梁搭建三角形结构设计是利用了三角形的稳定性． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形的重心，等腰三角形的性质，线段的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 6．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据CM是△ABC的中线可知AM＝BM，再由BC＝8cm，△BCM的周长比△ACM的周长大2cm即可得出结论． 【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　） A．∠ADC＝90° B．∠ACE＝∠BCE C． D．AC＝EC 【分析】根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【解答】解：A、CD是△ABC的高，即CD⊥AB，所以∠ADC＝90°，所以选项A正确，不符合题意； B、CE是△ABC的角平分线，即CE平分∠ACB，所以∠ACE＝∠BCE，所以选项B正确，不符合题意； C、CF是△ABC的中线，即F是AB中点，所以，所以选项C正确，不符合题意； D、AC＝EC无法由△ABC的高、角平分线、中线得出，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 8．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠BAE，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据角的关系求出∠EAD即可． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∵AD是高， ∴∠ADE＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣30°＝20°． 则∠EAD的度数为20°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键． 9．如图，已知∠BDC＝120°，∠C＝20°，若BE平分∠ABD，且∠BEC＝80°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】如图：连接BC，利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB＝60°、∠EBC+∠ECB＝100°，进而得到∠EBD＝20°；利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBD＝20°，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：如图：连接BC， ∵在△BDC和△BEC中，∠BDC＝120°，∠BEC＝80°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°， ∠EBC+∠ECB＝180°﹣80°＝100°， ∴∠DBC+∠EBD+∠ECD+∠DCB＝100°， 即（∠DBC+∠DCB）+∠EBD+∠ECD＝100°， ∵∠ECD＝20°， ∴60°+∠EBD+20°＝100°， 解得：∠EBD＝20°， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠EBD＝20°， ∵∠BEC＝∠A+∠ABE， ∴∠A＝∠BEC﹣∠ABE＝80°﹣20°＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，正确作辅助线是解题的关键． 10．如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠2＝68°，则∠1的大小是（　　） A．68° B．38° C．34° D．32° 【分析】根据平行线的性质计算即可． 【解答】解：∵a∥b， ∴1+30°＝∠2， ∵∠2＝68°， ∴∠168°﹣30°＝38°， 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 11．将一副三角板按题5图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．70° D．105° 【分析】由平角定义求出∠4＝75°，由平行线的性质推出∠1＝∠4＝75°． 【解答】解：∵∠2＝45°，∠3＝60°， ∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°， ∵直尺的对边平行， ∴∠1＝∠4＝75°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 12．将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【分析】首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得∠1的度数即可． 【解答】解：如解图，设AC与BD交于点E， 根据题意可知，∠A＝90°，∠ABC＝45°，∠CBD＝30°， ∴∠ABE＝45°﹣30°＝15°， 在△AEB中，∠1＝∠A+∠ABE＝90°+15°＝105°（三角形外角的性质）， 则∠1的度数为105°， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形外角奥迪性质，找到外角是解题的关键． 13．两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【分析】设∠2和∠3都是△PQR的外角，由∠2＝125°，求得∠PRQ＝180°﹣∠2＝55°，而∠1＝45°，则∠3＝∠PRQ+∠1＝100°，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，∵∠2和∠3都是△PQR的外角，∠2＝125°， ∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝55°，∠3＝∠PRQ+∠1， ∵∠1＝45°， ∴∠3＝55°+45°＝100°， 故选：C． 【点评】此题重点考查邻补角的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 14．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【分析】由折叠的性质及平角等于180°，可求出∠ADE+∠AED的度数，再在△ADE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数． 【解答】解：根据折叠的性质，可知：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠1+∠FDE+∠ADE＝180°，∠2+∠FED+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED＝（180°﹣∠1+180°﹣∠2）＝×[360°﹣（∠1+∠2）]＝×（360°﹣100°）＝130°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣130°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换（折叠问题），熟练掌握三角形内角和定理和折叠的性质是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12，则△BEF的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由点D是BC的中点，可得，进而由点E是AD的中点，得到，，即得到，最后根据点F是CE边上的中点，可得，即可求解． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD＝BC， ∴， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE＝AD， ∴，， ∴， ∵点F是CE边上的中点， ∴EF＝CF＝CE， ∴， ∵S△ABC＝12， ∴， 即△BEF的面积为3， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，正确识图是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　35　 °． 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得∠A＝∠BCD＝35°． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， ∴∠A+∠B＝90°，CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝35°（同角的余角相等）， 则∠A的度数为35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 17．在下列条件中： ①∠A+∠B＝∠C； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3； ③∠A＝90°﹣∠B． 能确定△ABC是直角三角形的条件有　3　 个． 【分析】根据三角形内角和定理，分别计算每个条件下三角形最大角的度数，判断是否为90°． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，符合题意； ②设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，则k+2k+3k＝6k＝180°， 解得k＝30°， ∴∠C＝3k＝90°， ∴△ABC是直角三角形，符合题意； ③、∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，符合题意， ∴三个条件都能确定△ABC是直角三角形， 故答案为：3． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 18．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　1　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是 　　 ． 【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可； 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小， 此时：•AB•PC＝•AC•BC， ∴PC＝， 故答案为． 【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会理由面积法求高，属于中考常考题型． 三．解答题（共8小题） 20．一个等腰三角形的周长是28cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为6cm，求各边的长． 【分析】（1）设设底边长为xcm，则腰长是3xcm，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm， x+3x+3x＝28， 解得：x＝4，所以3x＝12（cm）， 故，该等腰三角形的各边长为：4cm，12cm，12cm； （2）若底边长为6cm，设腰长为ycm， 则：6+2y＝28， 得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm， 若腰长为6cm，设底边长为acm， 则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去， 综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 21．如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1． （1）求证：AB∥DF； （2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数． 【分析】（1）根据DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝52°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝52°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠B， 又∵∠1＝∠AED， ∴∠B＝∠1， ∴AB∥DF； （2）解：∵DE∥BC， ∴∠EDF＝∠1＝52°， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDF＝∠EDF＝52°， 在△CDF中， ∵∠C+∠1+∠CDF＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣52°﹣52°＝76°． 答：∠C的度数为76°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． 22．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝50°，∠C＝78°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝52°，然后利用互余计算出∠ABE的度数； （2）先根据角平分线的定义得到∠DAC＝26°，然后根据三角形外角性质计算∠EFD的度数． 【解答】解：（1）∵∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， 而∠ABC＝50°，∠C＝78°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣78°＝52°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣52°＝38°； （2）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝∠BAC＝×52°＝26°， ∵∠EFD是△AEF的一个外角， ∴∠EFD＝∠DAC+∠AEB＝26°+90°＝116°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，记住三角形内角和为180°是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义和三角形外角性质． 23．已知a，b，c为△ABC的三边长． （1）化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|a﹣b+c|； （2）若a＝2，b＝6，c为偶数，判断△ABC的形状． 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到a+b＞c，a+c＞b，根据绝对值的性质计算即可； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：4＜c＜8．又因为c为偶数，所以c的值为6． 【解答】解：（1）∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a， ∴a+b+c＞0，b﹣a﹣c＜0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|a﹣b+c| ＝a+b﹣c﹣（b﹣a﹣c）+（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣b+a+c+a﹣b+c ＝3a﹣b+c， 则|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|a﹣b+c|的值为3a﹣b+c； （2）∵三条线段a、b、c可组成三角形，且a＝2，b＝6， ∴根据三角形三边关系得，4＜c＜8， 又∵c为偶数， ∴c的值为6． 所以三角形的三边长为6，6，2， 所以△ABC是等腰三角形． 【点评】此题考查了三角形的三边关系，绝对值，关键掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 24．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状． 【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴b﹣2＝0，c﹣3＝0， 解得：b＝2，c＝3， ∵a为方程|a﹣4|＝2的解， ∴a﹣4＝±2， 解得：a＝6或2， ∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6， ∴a＝6不合题意舍去， ∴a＝2， ∴△ABC的周长为：2+2+3＝7， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键． 25．如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　15°　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　∠M＝（∠B﹣∠C）　 ． 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；【拓展提问】根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答； 【拓展变式】过点A作AN⊥BC于点N，根据三角形内角和定理，垂直的性质及角平分线的定义即可得解． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在△DAC中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣35°＝15°． 故答案为：15°； 【拓展提问】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣∠B﹣∠C， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD ＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B） ＝（∠B﹣∠C） ＝×20°， ＝10°， 答：∠DAE的度数为10°； 【拓展变式】如图，过点A作AN⊥BC于点N， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC ＝（180°﹣∠B﹣∠C） ＝90°﹣（∠B+∠C）， ∵AN⊥BC， ∴∠ANB＝90°， ∴∠BAN＝90°﹣∠B． ∴∠NAE＝∠BAE﹣∠BAN ＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B） ＝（∠B﹣∠C）， ∵AN⊥BC，MD⊥BC， ∴∠ANE＝∠MDE＝90°， ∴AN∥MD． ∴∠M＝∠NAE＝（∠B﹣∠C），即∠M＝（∠B﹣∠C）． 故答案为：∠M＝（∠B﹣∠C）． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 26．【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若∠A＝38°，∠B＝25°，∠C＝30°，求∠BDC的度数． 思路一：延长BD交AC于点E，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线AD，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接BC，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． 请选择其中的一种思路求∠BDC的度数． 【应用拓展】 （1）如图2，若∠B+∠D+∠E＝130°，则∠A+∠C＝　50°　 ． （2）如图3，若∠A+∠C+∠D＝240°，则∠B+∠E+∠F＝　120°　 ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据三角形外角的性质以及四边形内角和是360°进行计算即可． 【解答】解：（1）如图2， ∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠A+∠C，而∠1+∠2+∠D＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， ∵∠B+∠D+∠E＝130°， ∴∠A+∠C＝180°﹣130°＝50°， 故答案为：50°； （2）如图3， ∵∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠F，而∠1+∠2+∠C+∠D＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， ∵∠A+∠C+∠D＝240°， ∴∠B+∠E+∠F＝360°﹣240°＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． 27．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，则∠1+∠2＝180°+∠A．将下列推理补充完整； 【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+　∠4　 ，∠2＝∠A+　∠3　 ， ∴∠1+∠2＝　∠A+∠3+∠4+∠A ． ∵∠3+∠4+∠A＝180°， ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 【初步应用】 （1）如图②，在△ABC纸片中剪去△AED，得到四边形BCDE，若∠1＝130°，则∠2﹣∠A的大小为　50　 度． （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线，写出∠P与∠A的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形ABCD中，BP、CP分别为外角∠EBC、∠FCB的平分线，若∠A+∠D＝230°，求∠P的度数． 【分析】【推理证明】由三角形外角性质得∠1，∠2，再求∠1与∠2的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由∠1+∠2＝180°+∠A进行变形为∠2﹣∠A＝180°﹣∠1即可求解； （2）由角平分线的定义得∠PBC，∠PCB，再由三角形内角和定理得出，然后把∠DBC+∠BCE＝180°+∠A代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长BA、CD交于点M，先求∠M，再把∠M＝50°代入即可求解． 【解答】证明：【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+∠4，∠2＝∠A+∠3， ∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A． ∵∠3+∠4+∠A＝180°，（三角形内角和定理）， ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 故答案为：∠4；∠3；∠A+∠3+∠4+∠A； 解：（1）∵∠1+∠2＝180°+∠A， ∴∠2﹣∠A＝180°﹣∠1＝50°， 故答案为：50； （2）∵BP为外角∠DBC的平分线， ∴， ∵CP为外角∠ECB的平分线， ∴， ∴， ∵∠DBC+∠BCE＝180°+∠A， ∴； 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/27 11:39:29；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 综合复习 一．选择题（共15小题） 1．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7 2．如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF 3．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则a的值是（　　） A．5 B．7 C．8 D．14 4．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（　　） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 5．滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 6．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　） A．∠ADC＝90° B．∠ACE＝∠BCE C． D．AC＝EC 8．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．如图，已知∠BDC＝120°，∠C＝20°，若BE平分∠ABD，且∠BEC＝80°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 10．如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠2＝68°，则∠1的大小是（　　） A．68° B．38° C．34° D．32° 11．将一副三角板按题5图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．70° D．105° 12．将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 13．两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 14．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 15．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12，则△BEF的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共4小题） 16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　 　 °． 17．在下列条件中： ①∠A+∠B＝∠C； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3； ③∠A＝90°﹣∠B． 能确定△ABC是直角三角形的条件有　 　 个． 18．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　 　 ． 19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 20．一个等腰三角形的周长是28cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为6cm，求各边的长． 21． 如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF． 若∠AED＝∠1． （1）求证：AB∥DF； （2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数． 22．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝50°，∠C＝78°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 23．已知a，b，c为△ABC的三边长． （1）化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|a﹣b+c|； （2）若a＝2，b＝6，c为偶数，判断△ABC的形状． 24． 已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 25．如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　 　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　 　 ． 26．【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若∠A＝38°，∠B＝25°，∠C＝30°，求∠BDC的度数． 思路一：延长BD交AC于点E，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线AD，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接BC，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． 请选择其中的一种思路求∠BDC的度数． 【应用拓展】 （1）如图2，若∠B+∠D+∠E＝130°，则∠A+∠C＝　 　 ． （2）如图3，若∠A+∠C+∠D＝240°，则∠B+∠E+∠F＝　 　 ． 27．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，则∠1+∠2＝180°+∠A．将下列推理补充完整； 【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+　 　 ，∠2＝∠A+　 　 ， ∴∠1+∠2＝　 　 ． ∵∠3+∠4+∠A＝180°， ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 【初步应用】 （1）如图②，在△ABC纸片中剪去△AED，得到四边形BCDE，若∠1＝130°，则∠2﹣∠A的大小为　 　 度． （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线，写出∠P与∠A的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $