2.1.2有理数的减法（讲义）2026-2027学年七年级数学上册人教版

本讲义聚焦有理数的减法这一核心知识点，前承有理数加法，通过“减去一个数等于加上这个数的相反数”法则构建运算联系，形成从单一减法运算到加减混合运算的学习支架，明确混合运算需转化为加法、省略加号括号后运用运算律计算的步骤。 该资料亮点在于分层通关设计与情境化题型，基础到培优练习满足不同学生需求，实际应用题型（如温差计算、水位记录）培养数学眼光，简便运算与符号转化训练数学思维和语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

2.1.2有理数的减法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数减法法则】 ● 【考点2：有理数加减混合运算】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数减法的运算】 ● 【题型2：有理数减法的实际应用】 ● 【题型3：省略加号和括号的形式】 ● 【题型4：有理数加减中的简便运算】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数减法法则】 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b＝a＋(－b)。 例：(−3)−(+5)=−8，(−3)−(−5)=2，(−3)−0=−3。 📌 【考点2：有理数加减混合运算】 有理数加减混合运算的方法：将减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式，再运用加法法则和运算律进行计算。 省略加号和括号的形式：如(−3)−(+5)+(−2)可以写成−3−5−2，读作"负3、负5、负2的和"或"负3减5减2"。 例：(−3)−(+5)+(−2)=(−3)+(−5)+(−2)=−10。 📝 【题型1：有理数减法的运算】 【例1】计算：的结果是 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】如图，若数轴上点A表示的数是，则点B表示的数为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【变式1-3】已知，，且，求的值． 📝 【题型2：有理数减法的实际应用】 【例2】一种零件标准尺寸是20毫米，质量部门工作人员将19.97毫米记为毫米，那么20.05毫米就记为 毫米． 【变式2-1】武汉关的设防水位是，以它为基准点，高于的水位用正数表示，比如1998年武汉关的最高水位达到，记作，2025年4月份，武汉关的最高水位是，记作 m． 【变式2-2】年月日金华市四个景点的最高气温与最低气温如下表，该天温差最大的景点是（    ） 景点 诸葛八卦村 永康方岩 金华双龙洞 磐安百丈潭 最高气温 最低气温 A．诸葛八卦村 B．永康方岩 C．金华双龙洞 D．磐安百丈潭 【变式2-3】在“趣味数学”社团活动上，陈老师策划了一个“猜数”游戏，她准备了50张同样的卡牌，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则：先将卡牌顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡牌分别记为A，B，C，D，E．陈老师依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡牌上的数字最大．小明同学参与了该游戏，他将抽取的五张卡牌如图放置，并将陈老师告诉他的相邻两张卡牌上的数的和记录如下表，则他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是 ．（填A，B，C，D，E） 卡牌编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 74 70 71 67 72 📝 【题型3：省略加号和括号的形式】 【例3】写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 【变式3-1】把写成统一成加法的形式是 ，写成省略加号的和形式 ，读作： ，或 ． 【变式3-2】把写成省略括号的和的形式，下列变形正确的是（  ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【变式3-3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 📝 【题型4：有理数加减中的简便运算】 【例4】观察下列式子：，，，…请计算( ) 【变式4-1】计算：． 【变式4-2】简便计算： (1)； (2)． 【变式4-3】计算． (1) (2) ✏️ 【基础通关练】 1．计算：（    ） A． B．5 C． D．1 2．当，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．把写成省略括号的形式是(    ) A． B． C． D． 4．若，，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知，则“□”处的数为（    ） A．2 B．1 C． D． 6．若有理数满足，且，则的值是（    ） A．或5 B．1或5 C．1或 D．5或 ✏️ 【提升通关练】 1．式子的正确读法是（    ） A．减4减2减1加2 B．减2减1加2 C．，，加2 D．4，2，1，2的和 2．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 3．下列运用加法交换律正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（　　） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 5．春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是，哈尔滨的气温是，则此刻两地的温差是（    ） A． B． C． D． 6．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    7．当x为m时，有最大值n，则 ． 8．如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为，第16个数为2，第78个数为，则m的值为 ，第2025个数为 ． 7 … 9．（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 10．某人在路边开了一个小吃店，上星期日收入元，下表是本周一至周五小吃店的收入变化情况（与前一天相比，多收入为正，少收入为负）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天比较(元) (1)算出周五该小店的收入情况 (2)算出该小店这五天平均收入多少元？ (3)请用折线统计图表示该小店这五天的收入情况（以上周日收入为0点），并观察折线统计图，写出一个正确的结论． 11．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． 尝试： （1）前4个台阶上数的和是多少？ （2）第5个台阶上的数是多少？ 应用（3）求从下到上前31个台阶上数的和． 发现（4）试用含（为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． ✏️ 【培优通关练】 1．“书香浸校园，文化润人生”，为了引导广大师生深入阅读，陕西省西安爱知中学初一某班同学自发组织了一个活动，建议每天读书30分钟．下表是小江同学一周的读书情况：（以30分钟为基准，当天超过30分钟记为正，少于30分钟记为负） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 0 (1)小江同学本周内读书时间最多的一天是星期 ；最少的一天是星期 ；最多的一天比最少的一天多读 分钟． (2)小江同学本周实际平均每天读书多长时间？ (3)该班准备将本班同学的阅读情况换算成量化分，规定：每天阅读时间为标准时间，不得分；超过标准时间，每多1分钟得2分；未达到标准时间，每少一分钟扣1分，若小江同学总分超过70分，便可得到班级的奖励，请通过计算说明小江同学能否得到班级奖励． 2．阅读材料，回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1)__________；__________； (2)计算：． 3．设表示不小于a的最小整数，如： (1)求的值； (2)令，求的值． 4．风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2有理数的减法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数减法法则】 ● 【考点2：有理数加减混合运算】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数减法的运算】 ● 【题型2：有理数减法的实际应用】 ● 【题型3：省略加号和括号的形式】 ● 【题型4：有理数加减中的简便运算】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数减法法则】 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b＝a＋(－b)。 例：(−3)−(+5)=−8，(−3)−(−5)=2，(−3)−0=−3。 📌 【考点2：有理数加减混合运算】 有理数加减混合运算的方法：将减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式，再运用加法法则和运算律进行计算。 省略加号和括号的形式：如(−3)−(+5)+(−2)可以写成−3−5−2，读作"负3、负5、负2的和"或"负3减5减2"。 例：(−3)−(+5)+(−2)=(−3)+(−5)+(−2)=−10。 📝 【题型1：有理数减法的运算】 【例1】计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-2】如图，若数轴上点A表示的数是，则点B表示的数为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】该题考查了数轴和有理数减法，根据两点的距离是4个单位长度解答即可． 【详解】解：若数轴上点A表示的数是， 则点B表示的数为， 故选：A． 【变式1-3】已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值、有理数减法等知识点，根据题意求得或、成为解题的关键． 根据绝对值的意义并结合已知条件分别求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴或、， ∴或． 答：的值为或． 📝 【题型2：有理数减法的实际应用】 【例2】一种零件标准尺寸是20毫米，质量部门工作人员将19.97毫米记为毫米，那么20.05毫米就记为 毫米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据题意，低于标准尺寸为负，则高于标准尺寸为正，进行求解即可． 【详解】解：（毫米）； 故答案为：． 【变式2-1】武汉关的设防水位是，以它为基准点，高于的水位用正数表示，比如1998年武汉关的最高水位达到，记作，2025年4月份，武汉关的最高水位是，记作 m． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数减法的应用．利用有理数的减法计算即可求解． 【详解】解：∵高于的水位用正数表示， ∴低于的水位用负数表示， ∵， ∴记作， 故答案为：． 【变式2-2】年月日金华市四个景点的最高气温与最低气温如下表，该天温差最大的景点是（    ） 景点 诸葛八卦村 永康方岩 金华双龙洞 磐安百丈潭 最高气温 最低气温 A．诸葛八卦村 B．永康方岩 C．金华双龙洞 D．磐安百丈潭 【答案】A 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，有理数的大小比较，先利用有理数的减法求出四个景点的温差，再比较即可判断求解，掌握有理数的减法运算是解题的关键 【详解】解：诸葛八卦村的温差为，永康方岩的温差为，金华双龙洞的温差为，磐安百丈潭的温差为， ∵， ∴该天温差最大的景点是诸葛八卦村， 故选：． 【变式2-3】在“趣味数学”社团活动上，陈老师策划了一个“猜数”游戏，她准备了50张同样的卡牌，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则：先将卡牌顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡牌分别记为A，B，C，D，E．陈老师依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡牌上的数字最大．小明同学参与了该游戏，他将抽取的五张卡牌如图放置，并将陈老师告诉他的相邻两张卡牌上的数的和记录如下表，则他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是 ．（填A，B，C，D，E） 卡牌编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 74 70 71 67 72 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用表格数据列出算式进行比较即可得出结论，利用表格数据将各数排列是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：①， ②， ③， ④， ⑤， 由①④可得：，由②可得，由⑤可得：， ∴， ∴他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是， 故答案为：． 📝 【题型3：省略加号和括号的形式】 【例3】写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数对各选项进行省略整理即可得解． 【详解】A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法，主要是省略加号和的形式的练习，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【变式3-1】把写成统一成加法的形式是 ，写成省略加号的和形式 ，读作： ，或 ． 【答案】，，的和，或负2减4加8加1． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：++得+，--得+，-+得-，+-得- 【详解】统一成加法的形式是， 省略加号的和形式， 读作：，或负2减4加8加1． 故答案为，，的和，或负2减4加8加1． 【点睛】正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 【变式3-2】把写成省略括号的和的形式，下列变形正确的是（  ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】根据绝对值和正负数的定义以及性质进行转换即可． 【详解】 故答案为：C． 【点睛】本题考查了去绝对值和括号的问题，掌握绝对值和正负数的定义以及性质是解题的关键． 【变式3-3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 📝 【题型4：有理数加减中的简便运算】 【例4】观察下列式子：，，，…请计算( ) 【答案】/ 【分析】该题考查了有理数的加减运算，观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-1】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数混合运算，把原式变形为 进行解答即可． 【详解】解：原式 【变式4-2】简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减法，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数的加减法运算法则即可求解； （）根据有理数的加减法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 【变式4-3】计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】本题考查了有理数的加减运算，乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，再添加括号，然后计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，进行简算即可． （2）合理分组：，每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ； （2）解： 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； 原式． ✏️ 【基础通关练】 1．计算：（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】此题主要是考查了有理数的减法法则，能够熟练运用减去一个数等于加上这个数的相反数是解答此题的关键．根据有理数的减法法则进行计算可得结果． 【详解】解： ． 故选：D． 2．当，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值运算，有理数的减法运算，由得到，根据，确定有两种情况：分别进行计算即可求解，掌握绝对值运算及分类讨论是解题的关键. 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴时，；时，； 当，时， ； 当，， ； ∴的值为或， 故选：B. 3．把写成省略括号的形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减法的法则将括号去掉即可，熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数是解此题的关键． 【详解】解：； 故选：C． 4．若，，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题要熟悉有理数的加减法法则和不等式的性质． 先判断出，，然后根据有理数的运算法则判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 若，则，故，∵，则，不能确定，故①错误； 若，则，故，∵，则，，故②正确； 若，∵，不能确定，故③错误； 若，∵，则，故④正确； 故选：B． 5．已知，则“□”处的数为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法．已知两个数的和为0，求其中一个加数，用减法运算，由此解答即可． 【详解】解：由题意得，， 即“□”处的数为， 故选：C． 6．若有理数满足，且，则的值是（    ） A．或5 B．1或5 C．1或 D．5或 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减法和绝对值，代数式求值，根据题意分析出与的值再代入进行计算即可． 【详解】解：，， ，， ， 为非负数， 则，， 故或5． 故选：B． ✏️ 【提升通关练】 1．式子的正确读法是（    ） A．减4减2减1加2 B．减2减1加2 C．，，加2 D．4，2，1，2的和 【答案】B 【分析】本题考查正负加减的概念理解．根据正负数的读法依次判断解可． 【详解】解：根据有理数的加法运算， 可得出此式子表示，，的和， 或者是减2减1加2. 故选：B． 2．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 3．下列运用加法交换律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减； 根据运用加法交换律时，交换位置符号不变逐项判断即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.，原式错误； C.，正确； D.，原式错误； 故选：C． 4．某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（　　） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键．依次进行计算判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰， 故选项A不正确， ∵， ∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项B不正确， ∵， ∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，故选项C不正确， ∵， ∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项D正确， 故选：D． 5．春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是，哈尔滨的气温是，则此刻两地的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数减法的应用，用泰州的气温减去哈尔滨的气温即可求解． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 6．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    【答案】3或6 【分析】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是． 由于八个数的和是4，所以需满足内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是， 则，得， ，得， ， ∵当时，，则， 当时，，则， ∴的值为3或6． 故答案为：3或6． 7．当x为m时，有最大值n，则 ． 【答案】 【分析】由绝对值的非负性的含义可得，从而可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，有理数的加减运算，理解绝对值的非负性是解本题的关键． 8．如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为，第16个数为2，第78个数为，则m的值为 ，第2025个数为 ． 7 … 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法及数字的变化规律，根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15，列出等式，找出规律，计算出m的值；再求出第2025个数是几即可． 【详解】解：∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15， ∴第5个数与第1个数相同，都为； 第16个数与第4个数相同，都为2； 第78个数与第2个数相同，都为； ∴， 解得， 则， ∵， ∴第2025个数是． 故答案为：；． 9．（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． （1）用加法的交换律和结合律，把正数、负数分别结合，再计算即可； （2）按从左向右的顺序计算即可； （3）先把能凑成整数的加数结合再进行简便计算即可． （4）把后面的两个数交换位置再进行简便计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 10．某人在路边开了一个小吃店，上星期日收入元，下表是本周一至周五小吃店的收入变化情况（与前一天相比，多收入为正，少收入为负）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天比较(元) (1)算出周五该小店的收入情况 (2)算出该小店这五天平均收入多少元？ (3)请用折线统计图表示该小店这五天的收入情况（以上周日收入为0点），并观察折线统计图，写出一个正确的结论． 【答案】(1)星期五该小店的收入206元 (2)元 (3)画图见解析，结论见解析 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，正负数的实际意义，平均数，折线统计图： （1）用上星期日收入的200元连续加上本周星期一至星期五每天与前一天比较收入变化元数，即得星期五收入元数； （2）求出本周星期一至星期五每天收入的元数，即可求出这五天平均每天收入的元数； （3）根据表中数据画出折线统计图，根据折线统计图中数据的波动情况得到收入最少的一天与收入最多的一天． 【详解】（1）解：（元）， ∴星期五该小店的收入206元； （2）解：星期一：（元）， 星期二：（元）， 星期三：（元）， 星期四：（元）， 星期五：（元）， ∴该小店这五天平均收入元； （3）解：如图所示，即为所求， 从折线统计图看出星期三的收入最低，星期一的收入最高． 11．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． 尝试： （1）前4个台阶上数的和是多少？ （2）第5个台阶上的数是多少？ 应用（3）求从下到上前31个台阶上数的和． 发现（4）试用含（为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）数“1”所在的台阶数为 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用,解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数． （1）将前4个数字相加可得； （2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”即可求解； （3）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得； （4）由循环规律即可知数“”所在的台阶数为． 【详解】解：（1）前4个台阶上数的和是； （2）因为任意相邻4个台阶上数的和都相等，所以第5个台阶上的数与第1个台阶上的数相同，即 （3）根据题意，得台阶上的数每4个一循环，且循环的4个数的和为3．因为，所以从下到上前31个台阶上数的和为； （4）数“1”所在的台阶数为． ✏️ 【培优通关练】 1．“书香浸校园，文化润人生”，为了引导广大师生深入阅读，陕西省西安爱知中学初一某班同学自发组织了一个活动，建议每天读书30分钟．下表是小江同学一周的读书情况：（以30分钟为基准，当天超过30分钟记为正，少于30分钟记为负） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 0 (1)小江同学本周内读书时间最多的一天是星期 ；最少的一天是星期 ；最多的一天比最少的一天多读 分钟． (2)小江同学本周实际平均每天读书多长时间？ (3)该班准备将本班同学的阅读情况换算成量化分，规定：每天阅读时间为标准时间，不得分；超过标准时间，每多1分钟得2分；未达到标准时间，每少一分钟扣1分，若小江同学总分超过70分，便可得到班级的奖励，请通过计算说明小江同学能否得到班级奖励． 【答案】(1)日；五；37 (2)小江同学本周实际平均每天读书34分钟 (3)小江同学能得到班级奖励 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用； （1）根据表格中的数据得出读书时间最多的一天和最少的一天，计算出最多的一天比最少的一天多读的时间即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据得分规则进行计算即可． 解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【详解】（1）解：小江同学本周内读书时间最多的一天是星期日；最少的一天是星期五；最多的一天比最少的一天多读：（分钟）； 故答案为：日；五；37． （2）解：（分钟）， 答：小江同学本周实际平均每天读书34分钟； （3）解：， 答：小江同学能得到班级奖励． 2．阅读材料，回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1)__________；__________； (2)计算：． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减混合计算： （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）先根据绝对值的意义去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：2；； （2）解： ． 3．设表示不小于a的最小整数，如： (1)求的值； (2)令，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了新定义以及有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表示不小于a的最小整数，先把每个式子化简，再运用加减混合法则进行运算，即可作答． （2）根据，化简的每个式子，再运用加减混合法则进行运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵表示不小于a的最小整数， ∴ ； （2）解：∵，表示不小于a的最小整数， ∴ ． 4．风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； (2)该厂工人这一周的工资总额是14505元． 【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）用记录中的最大数减去最小数即可； （2）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）解：（只， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； （2）解：（元， 答：该厂工人这一周的工资总额是14505元． 学科网（北京）股份有限公司 $