2.1.2有理数的减法 讲义 2026-2027学年人教版初中数学七年级上册

2.1.2有理数的减法 讲义

一、学习目标

1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，能熟练进行有理数减法运算。

2. 理解减法法则的推导过程，掌握“减去一个数等于加上它的相反数”这一核心思想。

3. 能灵活运用减法法则简便计算，并解决简单的实际问题。

二、知识回顾（新知识的基石）

1. 有理数的加法法则（上节课重点）

同号相加：取同号，绝对值相加。异号相加：取大绝对的符号，大绝减小绝。互为相反数相加得 0。

2. 相反数的概念

a 的相反数是 -a。互为相反数的两个数之和为 0。例如：5 和 -5 互为相反数，5 + (-5) = 0。

3. 加法运算律

交换律：a + b = b + a。结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。这两个运算律在减法运算中也会用到。

本节课的核心任务：把减法转化为加法来计算。这是整个初中数学最重要的思想方法之一——“转化思想”。

三、有理数的减法法则（重中之重）

1. 问题引入

例如：氨气温度是 5℃，水温是 -3℃，氨气比水高多少℃？生活经验告诉我们：5 - (-3) = 8℃。但用之前的知识怎么解释呢？

观察发现：5 - (-3) = 8，而 5 + (+3) = 8。两个算式结果相同！这说明：减去 -3 等于加上 +3。也就是说，减去一个数等于加上它的相反数。

2. 减法法则（全章核心）

口诀：减号变号，数字变相反数。具体说：先把减号“-”变成加号“+”，再把减数 b 变成它的相反数 -b，然后按加法法则计算。

重要提醒：变号时只变减数的符号，被减数的符号不变！

这条法则是本节课的灵魂，也是后续乘法、除法运算的基础。它将一种新运算（减法）转化为已学过的运算（加法），体现了数学中重要的“化未知为已知”的转化思想。

3. 运算步骤总结（必背步骤）

第一步：变号——把“-”变“+”，减数变相反数。第二步：按加法法则计算——判断类型、确定符号、计算绝对值。

有理减法不用愁，减号变号就解决。被减数不变号，减数变号再加法。

四、基础例题精讲（由浅入深）

例题1（正数减去正数）

计算：9 - 5。

解：变号：9 - 5 = 9 + (-5)。异号相加：|+9|=9 > |-5|=5，取正号，9-5=4。结果：+4。

检验：小学知识也告诉我们 9-5=4，结果一致，说明法则正确。

例题2（正数减去负数——易错点）

计算：8 - (-3)。

解：变号：8 - (-3) = 8 + (+3)。同号相加：8+3=11。结果：+11。

重点提醒：这是最容易错的类型！很多同学会算成 8-3=5。记住：减去负数等于加上正数，结果变大！

例题3（负数减去正数）

计算：(-5) - 3。

解：变号：(-5) - 3 = (-5) + (-3)。同号相加：5+3=8，取负号。结果：-8。

检验：思考题“负五减三”，负得更多，结果应该比 -5 更小，即 -8。符合直觉。

例题4（负数减去负数——难点）

计算：(-6) - (-4)。

解：变号：(-6) - (-4) = (-6) + (+4)。异号相加：|-6|=6 > |+4|=4，取负号，6-4=2。结果：-2。

重点提醒：变号后成为异号相加，要用“大绝减小绝”的规则。不要错算成 -10 或 +2。

例题5（涉及 0 的减法）

计算：(1) 0 - 5；(2) (-3) - 0。

解：(1) 0 - 5 = 0 + (-5) = -5。(2) (-3) - 0 = -3。任何数减 0 仍得原数本身。

规律总结：0 - a = -a；a - 0 = a。这两条很常用，建议直接记住。

 

五、四种情形总结（一览表）

有理数减法可以分为四种情形，每种情形都可以用“变号”转化为加法来处理：

情形一：正 - 正。例：9 - 5 = 9 + (-5) = +4。这类情形结果可能为正、负或 0，取决于两个数的大小关系。

情形二：正 - 负。例：8 - (-3) = 8 + (+3) = +11。变号后成为同号相加，结果一定比原来更大。

情形三：负 - 正。例：(-5) - 3 = (-5) + (-3) = -8。变号后成为同号相加，结果一定比原来更小。

情形四：负 - 负。例：(-6) - (-4) = (-6) + (+4) = -2。变号后成为异号相加，结果可能为正、负或 0。

特别注意：情形二和情形四是高考频错误点，切勿把“减去负数”算成“减去正数”！

正减负得正更大，负减正得负更小。负减负要小心，变号之后再判断。