2.2.1有理数的乘法（讲义）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数的乘法，系统梳理乘法法则、倒数概念与求法、乘法运算律及多个有理数相乘的符号法则，作为有理数运算的延伸，为后续混合运算与代数学习搭建基础支架。 该资料以分层通关设计（基础、提升、培优）和实际应用题型为特色，通过《孙子算经》问题、商场优惠等实例培养数学眼光，运算律应用提升运算能力（数学思维），数据表格分析体现数学语言，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

2.2.1有理数的乘法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数乘法法则】 ● 【考点2：倒数的概念与求法】 ● 【考点3：有理数的乘法运算律】 ● 【考点4：多个有理数相乘的符号法则】 Part2 题型探究 ● 【题型1：两个有理数的乘法运算】 ● 【题型2：有理数的乘法的实际应用】 ● 【题型3：倒数】 ● 【题型4：有理数乘法运算律】 ● 【题型5：有理数混合运算的应用】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数乘法法则】 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0。 例：(−3)×(+5)=−15，(−3)×(−5)=15，(−3)×0=0。 📌 【考点2：倒数的概念与求法】 乘积是1的两个数互为倒数。即若a与b互为倒数，则ab＝1。 求一个数的倒数：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。 求分数的倒数：交换分子、分母的位置；求整数的倒数：把整数看成分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。 例：2的倒数是，−3的倒数是−，0没有倒数。 📌 【考点3：有理数的乘法运算律】 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab＝ba。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c＝a(bc)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b＋c)＝ab＋ac。 例：(−3)×(+5)=(+5)×(−3)=−15（交换律）；[(−3)×(+5)]×(−2)=(−3)×[(+5)×(−2)]=30（结合律）；(−3)×[(+5)+(−2)]=(−3)×(+5)+(−3)×(−2)=−9（分配律）。 📌 【考点4：多个有理数相乘的符号法则】 几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数。 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 例：(−2)×(+3)×(−4)=24（负因数2个，积为正）；(−2)×(+3)×(+4)=−24（负因数1个，积为负）；(−2)×0×(+4)=0。 📝 【题型1：两个有理数的乘法运算】 【例1】下列结果中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负数的概念，绝对值、相反数及有理数的乘法，掌握这些知识是关键；分别计算各选项的值，判断是否为负数即可． 【详解】解：A.：负负得正，结果为3，是正数； B.：先计算绝对值，再取负号，结果为，是负数； C.：直接相乘，结果为12，是正数； D.：任何数与0相乘均为0，既不是正数也不是负数； 综上，只有选项B的结果为负数； 故选：B． 【变式1-1】计算的结果是（   ） A． B．2 C． D．15 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法运算进行求解即可 【详解】解：； 故选：C ． 【变式1-2】若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算．根据有理数的乘法计算法则，即可得到答案． 【详解】解：∵的运算结果为正数， ∴内的数字为负数，故A选项符合题意； 故选：A 【变式1-3】在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 【答案】35 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 【详解】解：要使所得的积最大，两数字必定同号， ， ∵， ∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35， 故答案为：35． 📝 【题型2：有理数的乘法的实际应用】 【例2】在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，理解题意，分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为，即，再结合，即可作答． 【详解】解：∵三三数之剩二， ∴ ， ∵五五数之剩三， ∴ ∵七七数之剩二． ∴ ∵最小正整数解记为a． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些． 【详解】解：(元) ， 因此准备820元就够了， 符合实际需要的估算方法是选项D． 故选：D． 【变式2-2】宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键． 分别计算不同房价对应的收入，比较即可． 【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）. 所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高． 故选：C． 【变式2-3】某商场优惠活动宣传：两个品牌分别标有“满100减50元”和“打6折”． 请你比较以上两种优惠方案的异同（可举例说明） ． 【答案】标价整百时，满100减50元”更优惠；标价非整百时，“打6折”更优惠． 【分析】本题考查了商品销售问题中的方案选择问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，分情况进行计算，然后再确定优惠方案，即可作答． 【详解】解：如果买的商品标价是整百元的， 如标价为元， 则“满100减50元”，（元）； “打6折”，（元）； ∵ ∴此时满100减50元”更优惠； 如果买的商品标价不是整百元时，如标价为元，则有 “满100减50元”：（元） “打6折”：（元）， ∵， ∴“打6折”比较实惠， 故答案为标价整百时，满100减50元”更优惠；标价非整百时，“打6折”更优惠． 📝 【题型3：倒数】 【例3】2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 【变式3-1】的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据绝对值、倒数的定义解答即可． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 【变式3-2】请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，的倒数是．” 求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接利用相反数、绝对值的定义分别得出，，的值，代入原式计算即可． 【详解】解：的相反数是2， ； ，且的绝对值是5， ； 的倒数是， ． 原式 【变式3-3】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2)3或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）当时，原式； 当时，原式， 则原式的值为3或． 📝 【题型4：有理数乘法运算律】 【例4】张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2025． 【变式4-2】计算：． 【答案】 【分析】本题了考查逆用乘法分配律的运用．先把分数化为小数，再运用乘法分配律进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式4-3】脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【答案】；； 【分析】本题考查乘法交换律和结合律、拆分计算法、通过约分简化分数乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据乘法交换律把变成，再按顺序计算；②把改写成，然后根据加法交换律，加法结合律，把变成，再按顺序计算；③根据乘法交换律把变成，再按顺序计算． 【详解】解：① ② ③ ． 📝 【题型5：有理数混合运算的应用】 【例5】张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 2 5 1 4 6 2 (1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (2)这批样品总质量是多少千克？ 【答案】(1) (2)总质量为202.2千克 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据题意确定求出符合题意的数量除以总数量即可； （2）标准质量乘以总箱数加上与标准质量的差的总和即可． 【详解】（1）解：由题意得：合格的有（箱）， 故合格率为：； （2）解： （千克） （千克） 答：这批样品总质量为202.2千克． 【变式5-1】1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有多少个？ 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数除法的应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，从题中所给的一列数中发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据所给的一列数，发现从第1个数开始，每相邻的三个数中，前2个数为奇数，后1个数为偶数，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，在这列数中，从第1个数开始，每相邻的三个数中，前2个数为奇数，后1个数为偶数， 余， ， 在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有1350个， 答：在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有1350个． 【变式5-2】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 【答案】两站间的路程是200千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算．根据第一次相遇在距A地90千米的地方，可知甲乙每行驶一个总路程，一辆汽车就行了：（千米），第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方，据此列式计算求解即可． 【详解】解：（千米）， 第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方， 270米包含甲走了1个全程和1个的全程， 则270米对应的全程百分率为， 即1个全程为（千米）． 答：两站间的路程是200千米． 【变式5-3】“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求： (1)行人通过人行横道的时间； (2)若车闯黄灯，是否会撞到行人； (3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数） 【答案】(1)行人通过人行横道的时间为 (2)小车不会撞到行人； (3)小于或大于 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，解决本题的关键搞清甲、乙两车相撞的临界情况，抓住时间相等，根据路程关系求出临界速度。 （1）已知路程和时间，利用求出行人通过人行横道的时间； （2）先计算出小车穿过人行道的时间，再计算出此时行人到中心线时间，再进行比较即可； （3）根据匀速直线运动的求出两种临界情况下小车的速度，第一种临界为摩托车车头碰到小车车尾；第二种临界为小车车头碰到摩托车车尾，根据路程关系，抓住时间相等，求出小车的临界速度． 【详解】（1）解：行人通过人行横道的时间：； （2）解：， ， ， ， 所以，小车不会撞到行人； （3）解：①摩托车车头碰到小车车尾时，， 所以小车的速度大于不会撞上摩托车； ②当小车的车头刚好撞上摩托车的车尾，则摩托车行驶的路程为 摩托车行驶的时间为：， 小车的车头刚好撞上摩托车的车尾的速度为：， 所以甲车的速度小于也不会撞上摩托车； 综上可知，要使小车与摩托不相撞，小车的速度范围是或． ✏️ 【基础通关练】 1．计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2．有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面的式子中正确的是（    ）                             A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，根据数轴即可判断求解，掌握数轴上有理数的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴正确， 故选：． 3．夕夕总结了以下结论，不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查加法交换律、乘法运算律，关键是根据加法交换律乘法交换律、乘法结合律、 分配律解答． 根据加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、分配律判断即可． 【详解】解：A、 ，说法正确； B、，说法正确； C、 ，说法正确； D、，说法错误； 故选：D . 4．计算的结果是（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】原式利用乘法分配律计算即可求出值 【详解】解：原式= =-22+28-18+13 =6-18+13 =-12+13 =1， 故选：A 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．计算的结果为（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】． 故选：A． 6．若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算，掌握有理数的加法和乘法运算法则是解题关键．加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零．绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同零相加仍得这个数；乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】解：因为， 所以，异号． 因为， 所以负数的绝对值大于等于正数的绝对值，即当时，由，可知；当时，由，可知． 综上可知选项中只有B正确． 故选B． ✏️ 【提升通关练】 1．在算式：中，运用了（　　） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律．据此解答即可． 【详解】解：算式中，运用了分配律． 故选：C． 2．观察下图，它的计算过程可以解释（　　）这一运算规律          A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律． 【详解】解：由图可知，， 由上可得，上面的式子用的是乘法分配律， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 3．如果三个数的积为负数，那么这三个数中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【答案】D 【分析】几个非零的有理数的相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数的个数为奇数个，积为负，负因数的个数为偶数个，积为正，从而可得答案． 【详解】解：如果三个数的积为负数，那么这三个数中负数有1个或3个， 故选D 【点睛】本题考查的是多个非零因数的乘法运算，熟记几个非零的有理数的相乘，积的符号由负因数的个数决定是解本题的关键． 4．已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．由有理数的乘法法则，判断出，异号，再用有理数加法法则即可得出结论． 【详解】解：， ，异号， ， 正数的绝对值较大， 故选：D． 5．下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的混合运算．先根据图形得出，进而得出，进行计算即可． 【详解】解：根据图形可知： ， ， ， …… ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解，然后计算加减；解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【详解】 ． 故答案为：3． 7．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝ 【答案】2023 【分析】由＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…具体的运算，总结出一般规律为：再利用规律解题即可得到答案． 【详解】解： ＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…． 故答案为： 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，有理数的混合运算，列代数式，掌握利用代数式总结数字的变化规律是解题的关键． 8．计算： (1)(－5)×(－4) (2) (3) 【答案】(1)20 (2) (3)0 【分析】（1）（2）（3）根据有理数的乘法法则可直接进行求解． 【详解】（1）解：原式=5×4=20． （2）解：原式=． （3）解：原式=0． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 9．计算： （1）-6×（-3.5）；（2）（-）×1；（3）4×（-）；（4）（-2014）×0． 【答案】（1）21；（2）-；（3）-14；（4）0. 【分析】（1）根据有理数的乘法法则进行运算可求解； （2）根据有理数的乘法法则进行运算可求解； （3）根据有理数的乘法法则进行运算可求解； （4）根据有理数的乘法法则进行运算可求解； 【详解】解：（1）原式=+（6×3.5）=21； （2）原式=-×=-； （3）原式=-4×=-14； （4）原式=0. 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数同0相乘，仍是0．解答本题的关键是明确有理数乘法运算的计算方法． 10．在学习《有理数》一章时，我们知道：两个数乘积为0，则这两个数至少有一个数为0．在整式中，也有类似结论：两个整式乘积为0，则这两个整式中至少有一个值为0．即：，则或（表示整式）．如，则或，所以或． (1)判断（正确的打“√”，错误的打“×”）： 如果，那么必有或（    ） (2)如果，那么的值为______． (3)求中的值． 【答案】(1)× (2)或 (3)或 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，以及因式分解，理解，则或是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则判断即可； （2）根据，则或列式求解即可； （3）先分解因式，再根据，则或列式求解即可． 【详解】（1）当时，， 即也符合题意．（事实上有无数个解，只需保证其中一个数是另一个数的倒数的2倍即可） 故答案为：×； （2）∵， ∴或， ∴或， 故答案为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或． 11．用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律，是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． ✏️ 【培优通关练】 1．如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则即可求解，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：∵是个不同的整数， 设， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 2．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解． 【详解】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米， 当显示电量时，已行驶里程为（千米． 故答案为：． 3．若、互为倒数，、互为相反数，且的绝对值是2，求式子的值． 【答案】或 【分析】利用倒数，相反数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：、互为倒数，、互为相反数，且的绝对值是2， ，，或， 当时，原式； 当时，原式， 则代数式的值为0或4． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 4．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地东18千米处 (2)23千米 (3)7升 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得答案； （3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与原有油量的差，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：B地在A地东18千米处； （2）第一次14千米， 第二次（千米）， 第三次（千米）， 第四次（千米）， 第五次（千米）， 第六次（千米）， 第七次（千米）， 第八次（千米）， ， 答：最远处离出发点A有23千米； （3）耗油量： （升）， （升）， 答：求途中还需补充7升油． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1有理数的乘法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数乘法法则】 ● 【考点2：倒数的概念与求法】 ● 【考点3：有理数的乘法运算律】 ● 【考点4：多个有理数相乘的符号法则】 Part2 题型探究 ● 【题型1：两个有理数的乘法运算】 ● 【题型2：有理数的乘法的实际应用】 ● 【题型3：倒数】 ● 【题型4：有理数乘法运算律】 ● 【题型5：有理数混合运算的应用】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数乘法法则】 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0。 例：(−3)×(+5)=−15，(−3)×(−5)=15，(−3)×0=0。 📌 【考点2：倒数的概念与求法】 乘积是1的两个数互为倒数。即若a与b互为倒数，则ab＝1。 求一个数的倒数：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。 求分数的倒数：交换分子、分母的位置；求整数的倒数：把整数看成分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。 例：2的倒数是，−3的倒数是−，0没有倒数。 📌 【考点3：有理数的乘法运算律】 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab＝ba。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c＝a(bc)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b＋c)＝ab＋ac。 例：(−3)×(+5)=(+5)×(−3)=−15（交换律）；[(−3)×(+5)]×(−2)=(−3)×[(+5)×(−2)]=30（结合律）；(−3)×[(+5)+(−2)]=(−3)×(+5)+(−3)×(−2)=−9（分配律）。 📌 【考点4：多个有理数相乘的符号法则】 几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数。 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 例：(−2)×(+3)×(−4)=24（负因数2个，积为正）；(−2)×(+3)×(+4)=−24（负因数1个，积为负）；(−2)×0×(+4)=0。 📝 【题型1：两个有理数的乘法运算】 【例1】下列结果中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（   ） A． B．2 C． D．15 【变式1-2】若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-3】在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 📝 【题型2：有理数的乘法的实际应用】 【例2】在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【变式2-1】实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【变式2-3】某商场优惠活动宣传：两个品牌分别标有“满100减50元”和“打6折”． 请你比较以上两种优惠方案的异同（可举例说明） ． 📝 【题型3：倒数】 【例3】2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【变式3-1】的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，的倒数是．” 求式子的值． 【变式3-3】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 📝 【题型4：有理数乘法运算律】 【例4】张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【变式4-1】计算： ． 【变式4-2】计算：． 【变式4-3】脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 📝 【题型5：有理数混合运算的应用】 【例5】张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 2 5 1 4 6 2 (1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (2)这批样品总质量是多少千克？ 【变式5-1】1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有多少个？ 【变式5-2】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 【变式5-3】“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求： (1)行人通过人行横道的时间； (2)若车闯黄灯，是否会撞到行人； (3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数） ✏️ 【基础通关练】 1．计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 2．有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面的式子中正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．夕夕总结了以下结论，不正确的是(   ) A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A．1 B． C．10 D． 5．计算的结果为（    ） A．2024 B． C． D． 6．若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ✏️ 【提升通关练】 1．在算式：中，运用了（　　） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 2．观察下图，它的计算过程可以解释（　　）这一运算规律          A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 3．如果三个数的积为负数，那么这三个数中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 4．已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 5．下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为， 则 ． 6．计算的结果是 ． 7．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝ 8．计算： (1)(－5)×(－4) (2) (3) 9．计算： （1）-6×（-3.5）；（2）（-）×1；（3）4×（-）；（4）（-2014）×0． 10．在学习《有理数》一章时，我们知道：两个数乘积为0，则这两个数至少有一个数为0．在整式中，也有类似结论：两个整式乘积为0，则这两个整式中至少有一个值为0．即：，则或（表示整式）．如，则或，所以或． (1)判断（正确的打“√”，错误的打“×”）： 如果，那么必有或（    ） (2)如果，那么的值为______． (3)求中的值． 11．用简便方法计算． (1)； (2)． ✏️ 【培优通关练】 1．如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 2．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 3．若、互为倒数，、互为相反数，且的绝对值是2，求式子的值． 4．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 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