2.2.1 有理数的乘法 暑假知识梳理讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

2.2.1 有理数的乘法 暑假知识梳理讲义 2026-2027 学年 人教版数学七年级上册 暑期自主预习专用 · 适用对象：七年级新生 · 预计学习时间：60 分钟 一、本节预习导航 【与小学知识的联系】小学阶段我们已经把整数、小数、分数的乘法练得非常熟练，也知道乘法可以看作“相同加数求和的简便运算”，还掌握了乘法交换律、结合律和分配律。进入初中，数的范围扩大到了有理数，多出了负数这一类新成员。于是问题来了：负数参与乘法时，积应该是正的还是负的？绝对值又该怎么算？运算律还成立吗？本节要做的，就是把小学的乘法“扩容”到整个有理数集合，让它继续畅通无阻地工作。 【本节核心内容】① 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；② 零的乘法：任何数与 0 相乘，都得 0；③ 倒数的概念：乘积是 1 的两个数互为倒数，并会求一个数的倒数；④ 多个有理数相乘的符号判定：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正；只要有一个因数为 0，积就为 0；⑤ 乘法交换律、结合律、分配律在有理数范围内仍然成立，并会用它们进行简便运算。 【所需图形类型】数轴运动示意图两幅，用“蜗牛沿数轴爬行”的模型直观呈现同号相乘与异号相乘；流程图一幅，梳理“先定号、再算值”的操作顺序；柱状对照图一幅，展示负因数个数与积的符号之间的奇偶规律；面积分割图一幅，为乘法分配律提供几何解释；知识框图一幅，整体串联本节内容。 【小升初术语衔接】小学讲“因数×因数=积”，初中沿用同样的名称，只是因数与积都可以取负值。小学的“倒数”只针对正分数，初中的倒数扩展到了负数：负数的倒数仍是负数，例如 −3 的倒数是 −三分之一。需要特别注意的是，0 没有倒数，因为不存在任何数与 0 相乘等于 1。另外，小学写乘号常用“×”，初中在含字母的式子中更常用点乘或直接省略乘号，这一书写习惯要提前适应。 【数学思想渗透】归纳思想：通过观察一列有规律的算式，由“正乘正”“正乘负”逐步归纳出“负乘负”的结果，体会数学结论的发现过程；数形结合思想：借助数轴上的定向运动理解积的符号；分类讨论思想：按因数符号的四种搭配分类研究；转化与化归思想：把多个数相乘转化为“先定符号、再算绝对值”两个独立步骤，把复杂问题拆成简单问题。 【预习方法建议】建议先花十分钟复习相反数与绝对值，因为乘法法则的两个关键词正是“符号”与“绝对值”。接着精读课本中由算式规律引出法则的那一段推理，一定要自己在草稿纸上把那一列递减的算式重写一遍，亲身体验“负负得正”是怎么被“逼”出来的。最后完成本讲义的例题与自测卷，遇到多因数连乘题时，先圈出所有负号数一数个数，再动笔算数值。 二、各小节知识清单 （一）有理数乘法法则 🎯 第一步：预习目标 ✔ 能准确叙述有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ✔ 知道任何数与 0 相乘都得 0，并理解这条规定与法则不矛盾。 ✔ 能说清“负负得正”是怎样由算式规律归纳出来的，而不是死记硬背。 ✔ 会熟练完成四种符号搭配的两数相乘，并保证符号与数值同时正确。 ✔ 理解倒数的定义，会求正数、负数、分数、带分数的倒数，并知道 0 没有倒数。 📌 第二步：知识清单 📌 知识点1：有理数乘法法则。两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。这条法则把一次乘法运算拆成了互不干扰的两件事：一件事定符号，一件事算数值。两件事分开做，正确率会显著提高。 📌 知识点2：四种符号搭配一览。① 正乘正：(+3)×(+4)=+12；② 正乘负：(+3)×(−4)=−12；③ 负乘正：(−3)×(+4)=−12；④ 负乘负：(−3)×(−4)=+12。把这四个式子并排写在一起对比记忆，比孤立地背法则有效得多。 📌 知识点3：零的乘法。任何数与 0 相乘，都得 0，即 a×0=0×a=0。反过来也成立：如果两个数的积是 0，那么这两个数中至少有一个是 0。这条逆向结论在后续解一元二次方程时会用到，现在先建立印象。 📌 知识点4：法则是怎样被发现的。观察这一列算式：3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0，3×(−1)=−3，3×(−2)=−6。前一个因数不变，后一个因数每次减少 1，积就每次减少 3，规律自然延伸下去，就得到了正数乘负数的结果。再看：(−3)×3=−9，(−3)×2=−6，(−3)×1=−3，(−3)×0=0，按同样的规律继续，积每次增加 3，于是 (−3)×(−1)=3，(−3)×(−2)=6，“负负得正”就这样被规律逼了出来。 📌 知识点5：倒数的定义。乘积是 1 的两个数互为倒数。求一个分数的倒数，只需把分子与分母交换位置；求一个整数的倒数，把它写成分母为 1 的分数再交换；求一个带分数的倒数，必须先化成假分数；求一个小数的倒数，先化成分数再交换。 📌 知识点6：倒数的三条重要性质。① 0 没有倒数，因为任何数乘 0 都得 0，不可能得 1；② 互为倒数的两个数符号相同，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③ 倒数等于它本身的数只有 1 和 −1，这一点常与“相反数等于它本身的数只有 0”“绝对值等于它本身的数是非负数”一起作为选择题的考点。 📌 知识点7：乘法与加法的联系。(−3)×4 可以理解为四个 −3 相加，即 (−3)+(−3)+(−3)+(−3)=−12，这与法则给出的结果完全一致，说明新法则与旧知识是自洽的。不过 (−3)×(−4) 无法再用“几个数相加”解释，这正是需要用规律归纳来确立的原因。 💡 方法点拨 解题时养成“两步走”的书写习惯：第一步只写符号，在草稿上先判定积是正还是负；第二步只算绝对值，用小学乘法算出数值；最后把符号安在数值前面。切勿一边判符号一边算数值，那样很容易顾此失彼。对于含分数的乘法，能约分的先约分再相乘，可以大大减少计算量；对于含小数的乘法，若能化成分数往往更好算，例如 0.25 化成四分之一。 图1 同号相乘的数轴模型：蜗牛从原点出发向右（正方向）每次爬 3 格，连爬 3 次，终点在 +9 处，即 3×3=9。 图2 异号相乘的数轴模型：蜗牛从原点出发向左（负方向）每次爬 3 格，连爬 3 次，终点在 −9 处，即 3×(−3)=−9。 ⚠ 第三步：特别提醒 ⚠ 符号与数值必须分开处理。先定号后算值，绝不能算完数值才想起来补符号，那样十有八九会漏。 ⚠ 不要把乘法法则与加法法则混淆。加法是“同号相加取原号、异号相加取绝对值大者的符号”，乘法是“同号得正、异号得负”，两者完全不同。 ⚠ 0 没有倒数，但 0 有相反数（就是 0 本身）。这两个概念不要张冠李戴。 ⚠ 求带分数的倒数时，必须先化成假分数。例如二又三分之一的倒数是七分之三，而不是把整数部分与分数部分分别取倒数。 ⚠ 相反数与倒数是两个不同的概念：相反数相加得 0，倒数相乘得 1。−5 的相反数是 5，−5 的倒数是负五分之一。 🔍 第四步：易错点剖析 ❌ 错例：(−6)×(−7)=−42。 错因：看到两个负号就想当然地写负号，没有落实“同号得正”这四个字。 ✅ 规避：动笔前先大声默念一遍“同号得正、异号得负”，正确结果是 +42。 ❌ 错例：认为 0 的倒数是 0。 错因：把倒数与相反数的性质弄混了，0 的相反数确实是 0，但 0 根本没有倒数。 ✅ 规避：牢记“0 无倒数”，因为找不到任何数与 0 相乘能得到 1。 ❌ 错例：计算 (−2)×(−3)×(−4) 时得 24。 错因：只把前两个负号配成正号，忘了还剩下第三个负号，负因数是奇数个，积应当为负。 ✅ 规避：先圈负号数个数，奇负偶正，正确结果是 −24。 ✏️ 第五步：典型例题 【例题1】（基础·★☆☆）计算：(1) (−8)×(+3)；(2) (−0.5)×(−6)；(3) (−12)×0。 【解】(1) 异号两数相乘得负，绝对值 8×3=24，故原式=−24。(2) 同号两数相乘得正，绝对值 0.5×6=3，故原式=3。(3) 任何数与 0 相乘都得 0，故原式=0。 【答案】(1) −24；(2) 3；(3) 0。 旁批：每小题先在草稿上写符号，再写数值。 【例题2】（基础·★☆☆）分别写出下列各数的倒数：4，−9，五分之三，−二又二分之一，0.2。 【解】4 的倒数是四分之一；−9 的倒数是负九分之一；五分之三的倒数是三分之五；−二又二分之一先化为负的二分之五，其倒数为负的五分之二；0.2 化为五分之一，其倒数是 5。 【答案】依次为四分之一、负九分之一、三分之五、负五分之二、5。 旁批：倒数与原数同号，带分数先化假分数。 【例题3】（中档·★★☆）已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，m 的绝对值等于 2，求 (a+b)×m+c×d 的值。 【分析】互为相反数的两数之和为 0，互为倒数的两数之积为 1，把这两条结论直接代入即可，m 的具体取值反而不影响结果。 【解】因为 a 与 b 互为相反数，所以 a+b=0；因为 c 与 d 互为倒数，所以 c×d=1。于是原式=0×m+1=0+1=1，与 m 取 2 还是 −2 无关。 【答案】1。 旁批：这类题的关键是识别“整体”，不要急着去求每个字母的具体值。 📝 第六步：随堂小测 1. 计算 (−7)×(−5) 的结果是（ ）。 A. −35 B. 35 C. −12 D. 12 2. 下列各数中，倒数等于它本身的是（ ）。 A. 0 B. 2 C. −1 D. −2 3. −0.25 的倒数是________，−0.25 的相反数是________。 4. 若 a×b=0，则一定有________（用文字叙述）。 5. 判断：两个数的积一定大于其中任何一个因数。（ ） （二）多个有理数相乘与乘法运算律 🎯 第一步：预习目标 ✔ 能通过数负因数的个数快速判定多个数相乘的积的符号（奇负偶正）。 ✔ 知道只要有一个因数为 0，无论其他因数是什么，积一定为 0。 ✔ 能准确写出乘法交换律、结合律、分配律的字母表达式。 ✔ 会用运算律进行简便计算，尤其是倒数配对、凑整配对与分配律的正用与逆用。 ✔ 能用有理数乘法解决增长率、面积、单位换算等实际问题。 📌 第二步：知识清单 📌 知识点8：多数相乘的符号规律。几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正。积的绝对值等于各因数绝对值的乘积。这条规律可以简记为“奇负偶正”四个字。 📌 知识点9：只要有 0，积就为 0。几个数相乘，只要其中有一个因数为 0，积就一定等于 0。做多因数连乘题时，第一件事不是数负号，而是先扫一眼有没有 0，发现 0 就可以立刻写出答案。 📌 知识点10：乘法交换律。两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即 ab=ba。它的作用是把便于计算的因数调到一起，例如把互为倒数的两个因数放在相邻位置。 📌 知识点11：乘法结合律。三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即 (ab)c=a(bc)。它允许我们自由添加或去掉括号，从而先算出整数或整十数，简化后续运算。 📌 知识点12：乘法分配律。一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即 a(b+c)=ab+ac。它的逆用 ab+ac=a(b+c) 叫作“提取公因数”，在简便运算和后续整式化简中同样重要，一定要正反两个方向都练熟。 📌 知识点13：简便运算的四种常见配对。① 倒数配对：把乘积为 1 的两个因数放在一起；② 凑整配对：把 4 与 25、8 与 125、0.25 与 4 等配成整十整百；③ 约分配对：分数相乘时先约分再计算；④ 分配律配对：遇到形如“一个数乘一串和”的算式，把它拆开分别相乘；遇到“若干项含相同因数”的算式，把公因数提出来。 图3 有理数乘法的四步操作流程：看符号、乘绝对值、写结果、再检查，把“定号”与“算值”彻底分开。 图4 负因数个数与积的符号：柱高为 +1 表示积为正，为 −1 表示积为负，呈现明显的奇偶交替规律。 图5 面积模型解释乘法分配律：把宽为 m、长为 a+b 的大长方形沿虚线分成两块，两块面积之和等于大长方形面积。 ⚠ 第三步：特别提醒 ⚠ 数负因数时要把每一个负号都数到，包括写在括号外面的负号，漏数一个符号就全错。 ⚠ 使用分配律时，括号里每一项都要与括号外的数相乘，一项都不能漏，尤其是最后一项。 ⚠ 分配律中括号外的数如果是负数，与括号内每一项相乘后都要变号，这是最容易出错的地方。 ⚠ 分配律只对“乘与加（减）的混合”成立，不能写成 a+(b×c)=(a+b)×(a+c)，那是完全错误的。 ⚠ 简便运算不是随意变形，每一步都要有运算律作依据，考试中过程不合理同样要扣分。 🔍 第四步：易错点剖析 ❌ 错例：计算 (−4)×(−三分之一)×(−0.75)×0×(−6) 时费力地去数负号个数。 错因：没有先扫描是否含 0，白白浪费时间，还容易在中途算错。 ✅ 规避：看到因数中有 0，直接写积为 0，答案就是 0。 ❌ 错例：(−12)×(六分之一 − 四分之三 + 三分之二)=(−2)+9−8=−1，但过程中把 (−12)×(−四分之三) 算成了 −9。 错因：括号外是负数时，与括号内的负项相乘应得正，符号处理不到位。 ✅ 规避：逐项相乘时把符号单独写在旁边核对一遍，正确结果为 −2+9−8=−1。 ✏️ 第五步：典型例题 【例题4】（基础·★☆☆）计算：(−2)×3×(−4)×(−5)。 【解】先数负因数：−2、−4、−5 共 3 个，是奇数，故积为负；再算绝对值：2×3×4×5=120。所以原式=−120。 【答案】−120。 旁批：奇负偶正，先圈负号再算数。 【例题5】（中档·★★☆）用简便方法计算：(−0.25)×(−17)×4×(−2)。 【解】负因数有 −0.25、−17、−2 共 3 个，积为负。利用交换律与结合律把 0.25 与 4 配对：0.25×4=1，再乘 17×2=34，故绝对值为 1×34=34。所以原式=−34。 【答案】−34。 旁批：凑整配对能把四个数的连乘变成两次心算。 【例题6】（中档·★★☆）用分配律计算：(−36)×(九分之四 − 六分之五 + 十二分之七)。 【解】原式=(−36)×九分之四 + (−36)×(−六分之五) + (−36)×十二分之七 = −16 + 30 + (−21) = −7。 【答案】−7。 旁批：括号外为负数时，每一项相乘后的符号都要重新判定，共三次判定不能偷懒。 【例题7】（中档·★★☆）用简便方法计算：99 又 十七分之十六 × (−17)。 【分析】把带分数拆成 100 减去十七分之一，再用分配律，可以避免化假分数带来的大数计算。 【解】原式=(100 − 十七分之一)×(−17)=100×(−17) − 十七分之一×(−17)=−1700 + 1=−1699。 【答案】−1699。 旁批：接近整百的带分数，优先考虑“拆成整数减小数”再用分配律。 【例题8】（拓展·★★★）某商品原价 200 元，第一次提价 10%，第二次降价 10%。请问最终价格与原价相比是升高了、降低了还是不变？相差多少元？ 【分析】提价 10% 相当于乘 1.1，降价 10% 相当于乘 0.9，两次变化是连乘关系而不是相加关系。 【解】最终价格＝200×1.1×0.9=200×0.99=198（元）。与原价 200 元相比降低了 200−198=2（元）。 【答案】降低了，相差 2 元。 旁批：先涨后降相同百分比，结果一定低于原价，因为 1.1×0.9=0.99 小于 1。 📝 第六步：随堂小测 6. 计算 (−1)×(−2)×(−3)×(−4)×(−5) 的结果是（ ）。 A. 120 B. −120 C. 15 D. −15 7. 计算 (−8)×(四分之一 − 二分之一) 的结果是________。 8. 用简便方法计算 125×(−8)×(−0.5)×(−2)，结果是________。 9. 若 abc<0 且 a>0，b<0，则 c________0（填“大于”“小于”或“等于”）。 10. 判断：几个数相乘，若负因数有 6 个，则积一定是正数。（ ） 三、本节思维导图 （中心：2.2.1 有理数的乘法） ┌─ 两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘 ├─ 零的乘法：任何数乘 0 得 0；积为 0 则必有因数为 0 ├─ 倒数：乘积为 1 的两数互为倒数；0 无倒数；1 与 −1 的倒数是自身 ├─ 多数相乘：奇负偶正；只要有 0 积就为 0 ├─ 运算律：交换律 ab=ba；结合律 (ab)c=a(bc)；分配律 a(b+c)=ab+ac ├─ 简算招式：倒数配对 / 凑整配对 / 先约分 / 分配律正用与逆用 └─ 实际应用：连续涨跌、面积体积、单位换算、平均数偏差统计 图6 2.2.1 有理数的乘法知识框图：法则、零与倒数、多数相乘与运算律三条主线，共同汇入实际应用。 四、本节核心概念速查卡 🔑 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 🔑 零的乘法：任何数与 0 相乘都得 0；若积为 0，则必有一个因数为 0。 🔑 倒数定义：乘积是 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数。 🔑 特殊倒数：1 的倒数是 1；−1 的倒数是 −1；倒数与原数同号。 🔑 奇负偶正：几个非零数相乘，负因数为奇数个积为负，为偶数个积为正。 🔑 交换律：ab=ba，用于把便于计算的因数调到相邻位置。 🔑 结合律：(ab)c=a(bc)，用于自由加减括号先算整数。 🔑 分配律：a(b+c)=ab+ac，逆用即提取公因数 ab+ac=a(b+c)。 记忆口诀：两数相乘先看号，同正异负记得牢；绝对值相乘定大小，遇零结果一定小；多数连乘数负号，奇负偶正跑不了。 五、本节易错点汇总 1. 【负负得负】把两个负数相乘的结果写成负数，没有落实“同号得正”。 2. 【加乘混淆】用加法法则去判断乘法的符号，误以为“绝对值大的决定符号”。 3. 【漏数负号】多因数连乘时漏数括号外的负号，导致符号判断出错。 4. 【忽视因数 0】没有先扫描是否存在因数 0，白白进行大量计算。 5. 【倒数概念错】认为 0 的倒数是 0，或把带分数的整数部分与分数部分分别取倒数。 6. 【倒数相反数混淆】把 −5 的倒数写成 5，实际上应为负五分之一。 7. 【分配律漏项】用分配律时漏乘括号内的某一项，或括号外为负数时忘记逐项变号。 8. 【百分比误加】认为先涨 10% 再降 10% 就回到原价，忽视了两次变化的基数不同。 六、本节分层自测卷（共 10 题） A 层 · 基础巩固（5 题） 1. 计算 (−9)×(+6) 的结果是（ ）。 A. 54 B. −54 C. −3 D. 3 2. 下列各数中，没有倒数的是（ ）。 A. −1 B. 0 C. 0.1 D. −7 3. −三分之二 的倒数是________，它的相反数是________。 4. 计算：(1) (−1.2)×(−5)；(2) (−七分之三)×十四分之一；(3) 0×(−2026)。 5. 计算 (−3)×(−4)×(−5) 的结果是________。 B 层 · 能力提升（3 题） 6. 用简便方法计算：(−25)×(−1.6)×(−4)×0.5。 7. 用分配律计算：(−24)×(八分之三 − 六分之五 + 四分之一)。 8. 已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，x 的绝对值等于 3，求 x×(c+d) − a×b + x 的所有可能值。 C 层 · 拓展挑战（2 题） 9. 某超市为促销先把商品提价 25%，再按新价打八折出售。若某商品原价 160 元，求打折后的售价，并说明它与原价相比是升是降。 10. 观察下列算式：(−2)×(−2)=4，(−2)×(−2)×(−2)=−8，(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=16。(1) 写出 5 个 −2 相乘的结果；(2) 归纳：n 个 −2 相乘，结果的符号有什么规律？(3) 若 n 个 −2 相乘的结果是 64，求 n 的值。 七、参考答案与解析 【随堂小测】 1. B。同号两数相乘得正，7×5=35，故结果为 35。 2. C。1 与 −1 的倒数都等于自身，四个选项中只有 −1 符合；0 没有倒数，2 的倒数是二分之一，−2 的倒数是负二分之一。 3. −4；0.25。−0.25 化为负四分之一，其倒数为 −4；相反数为 0.25。 4. a、b 中至少有一个为 0。这是“积为 0”的等价条件。 5. ×。例如 (−2)×3=−6，积比两个因数都小；再如 0.5×0.4=0.2，积也比两因数小。 6. B。负因数共 5 个，是奇数，积为负；绝对值为 1×2×3×4×5=120，故结果为 −120。 7. 2。原式=(−8)×(−四分之一)=2，也可用分配律：(−8)×四分之一 + (−8)×(−二分之一)=−2+4=2。 8. −1000。负因数有 −8、−0.5、−2 共 3 个，积为负；绝对值为 125×8×0.5×2=1000，故结果为 −1000。 9. 大于。因为 a>0、b<0，所以 ab<0；要使 abc<0，需 c>0。 10. √。6 是偶数，按“奇负偶正”规律积为正数（前提是各因数都不为 0）。 【分层自测卷】 A 层：1. B（异号得负，9×6=54）；2. B（0 没有倒数）；3. 倒数为 −二分之三，相反数为 三分之二；4. (1) 6，(2) 负九十八分之三，(3) 0；5. −60（负因数 3 个，绝对值 60）。 B 层：6. −80。负因数为 −25、−1.6、−4 共 3 个，积为负；绝对值 25×4=100，1.6×0.5=0.8，100×0.8=80，故结果 −80。 　　　7. 5。原式=(−24)×八分之三 + (−24)×(−六分之五) + (−24)×四分之一 = −9 + 20 + (−6) = 11 − 6 = 5。 　　　8. 2 或 −4。因为 c、d 互为相反数，c+d=0，故第一项为 0；因为 a、b 互为倒数，ab=1，故第二项为 −1。原式化为 0 − 1 + x = x − 1。又 |x|=3，故 x=3 或 x=−3，对应结果为 2 或 −4。 C 层：9. 售价 160×1.25×0.8=160×1=160（元），与原价相同，既没升也没降。原因是 1.25×0.8 恰好等于 1，这正是“先提价四分之一再打八折”会回到原价的道理。 　　　10. (1) 5 个 −2 相乘为 −32；(2) 当 n 为偶数时结果为正，当 n 为奇数时结果为负，绝对值均为 2 的 n 次方；(3) 因为结果 64 为正数，所以 n 为偶数，又 2 的 6 次方等于 64，故 n=6。 八、本节学习资源与延伸 📚 数学文化 · 阅读与思考：负负得正的漫长争论 “负负得正”今天看来天经地义，历史上却争论了整整几百年。十七世纪的一些欧洲学者认为负数是“荒谬的数”，因为找不到比“一无所有”还少的实物；法国数学家帕斯卡甚至断言“从零减去四纯属胡说”。真正让负数站稳脚跟的，是数学家们的一个洞见：数学法则的选择不能只看直观，还要看它能否与已有的运算律保持一致。如果承认分配律永远成立，那么由 (−1)×[1+(−1)]=0 展开可得 (−1)×1+(−1)×(−1)=0，即 −1+(−1)×(−1)=0，于是 (−1)×(−1) 只能等于 1。可见“负负得正”不是人为规定的怪癖，而是维护整个数学体系自洽性的必然选择。 📚 我国古代的正负数乘法 《九章算术》给出了正负数加减的“正负术”，而三国时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步阐述了正负数的意义。到了宋元时期，我国数学家在“天元术”中已经能够熟练地进行含负数的多项式乘法运算，比欧洲系统接受负数早了数百年。这段历史提醒我们：数学的发展从来不是一蹴而就的，一个今天写在课本上的简单法则，往往凝聚着许多代人的思考。 📚 乘法在生活中的建模价值 有理数乘法最重要的应用之一是描述“连续变化”。银行存款的复利、人口的自然增长、细菌的分裂繁殖、商品的连续涨跌，都属于“乘法型变化”，与“加法型变化”有本质区别。例如某商品连续两次降价 20%，很多人误以为总共降了 40%，其实是降到了原价的 0.8×0.8=0.64，即降价 36%。搞清楚一个量的变化是加法型还是乘法型，是数学建模的第一步，也是日常生活中避免被数字误导的重要能力。 🗺️ 后续衔接指引 紧接本节的是 2.2.2 有理数的除法，你会看到除法被转化为乘法，倒数在其中扮演的角色与相反数在减法中的角色完全对应。再往后 2.3.1 乘方是相同因数连乘的简写，本节的“奇负偶正”正是判断负数乘方符号的直接依据。到了第四章整式的加减，分配律会以“去括号”“合并同类项”的面貌重新出现。可以说，乘法法则与运算律是贯穿整个初中代数的主干道。 💡 暑假自主练习建议 建议每天完成十道两数相乘、五道多数连乘、五道简便运算题。做多数连乘题时，强制自己先用铅笔把所有负号圈出来并在旁边写下个数，再动手算绝对值。做简便运算题时，写完答案后回头问一句：我用的是哪条运算律？如果说不出名字，说明这一步只是凭感觉，需要重新梳理。此外可以每周做一次“分配律专项”，把正用与逆用各练十题，为整式化简提前铺路。 学科网（北京）股份有限公司 $