2.1.1有理数的加法（讲义）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数加法核心知识点，系统梳理同号、异号两数及与0相加的法则，明确加法交换律和结合律的应用。从小学非负有理数加法过渡到引入负数后的细分法则，构建完整知识体系，为后续减法及混合运算提供学习支架。 该资料以分层通关设计和多情境题型为亮点，基础、提升、培优练习适配不同学生。实际应用题型如蚂蚁运动路线、充电桩时间计算，引导学生用数学眼光观察现实世界，符号问题及简便运算题培养运算能力与推理意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

2.1.1有理数的加法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数加法法则】 ● 【考点2：有理数加法运算律】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数加法运算】 ● 【题型2：有理数加法中的符号问题】 ● 【题型3：有理数加法在实际生活中的应用】 ● 【题型4：省略加号和括号的形式】 ● 【题型5：有理数加减中的简便运算】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数加法法则】 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 例：(−3)+(+5)=2，(−3)+(−5)=−8，(−3)+0=−3。 📌 【考点2：有理数加法运算律】 1.有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2.在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 例：(−3)+(+5)=(+5)+(−3)=2（交换律）；[(−3)+(+5)]+(−2)=(−3)+[(+5)+(−2)]=0（结合律）。 📝 【题型1：有理数加法运算】 【例1】下面给出的四个数，使式子的结果为正数的是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【变式1-1】计算： ， ， ． 【变式1-2】“一个数与0相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数： ． 【变式1-3】在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 📝 【题型2：有理数加法中的符号问题】 【例2】a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 【变式2-1】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【变式2-2】如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式2-3】有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 📝 【题型3：有理数加法在实际生活中的应用】 【例3】如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【变式3-1】如图，一只蚂蚁在的方格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他蚂蚁，如从A处到B处记为，从B处到A处记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中( ， )，( ， )，( ， )； (2)若这只蚂蚁从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P处的位置； (3)若这只蚂蚁的行走路线为，请计算该蚂蚁走过的路程； (4)若图中另有两处M，N，且，，则从N处到A处应记为什么？ 【变式3-2】某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【变式3-3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 📝 【题型4：省略加号和括号的形式】 【例4】写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】把写成统一成加法的形式是 ，写成省略加号的和形式 ，读作： ，或 ． 【变式4-2】把写成省略括号的和的形式，下列变形正确的是（  ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【变式4-3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 📝 【题型5：有理数加减中的简便运算】 【例5】观察下列式子：，，，…请计算( ) 【变式5-1】计算：． 【变式5-2】简便计算： (1)； (2)． 【变式5-3】计算． (1) (2) ✏️ 【基础通关练】 1．计算的结果是（    ） A．4 B． C． D． 2．若数轴上点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是（    ） A． B． C．或9 D．1或 3．的原理是（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 4．计算3+（–2）+5+（–8）时，运算律用得最为恰当的是（   ） A．[3+（–2）]+[5+（–8）] B．（3+5）+[–2+（–8）] C．[3+（–8）]+（–2+5） D．（–2+5）+[3+（–8）] 5．下列运算正确的个数为（    ） ①；    ②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如果，那么下列式子成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， ✏️ 【提升通关练】 1．计算应用了（    ） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．加法交换律 D．加法交换律和结合律 2．计算时，运算律用得最合理的是（    ） A． B． C． D． 3．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 6．若三个互不相等的有理数的和为零，则下列结论中正确的是（    ） A．三个加数全为零 B．最少有两个加数是负数 C．至少有一个加数是负数 D．最少有两个加数是正数 7．《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（    ） A． B． C． D． 8．已知a，b为有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，把a，﹣b，a＋b，a﹣b按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A．a＜a﹣b＜﹣b＜a＋b B．a﹣b＜a＋b＜﹣b＜a C．a﹣b＜a＜﹣b＜a＋b D．a﹣b＜﹣b＜a＜a＋b 9．三个数，，的和比它们的绝对值的和小 ． 10．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 11．（1）绝对值大于4小于8的所有整数？ （2）绝对值小于等于3的所有整数？这些整数之和等于多少? ✏️ 【培优通关练】 1．在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 2．一种零件的长度在图纸上标出为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过 ，最小不小于 ． 3．某商场9月24日销售衬衫100件，下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降）： 日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日 销售量/件 (1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多？哪一天最少？ (2)若每件衬衫的价格是80元，该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元？ 4．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1有理数的加法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数加法法则】 ● 【考点2：有理数加法运算律】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数加法运算】 ● 【题型2：有理数加法中的符号问题】 ● 【题型3：有理数加法在实际生活中的应用】 ● 【题型4：省略加号和括号的形式】 ● 【题型5：有理数加减中的简便运算】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数加法法则】 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 例：(−3)+(+5)=2，(−3)+(−5)=−8，(−3)+0=−3。 📌 【考点2：有理数加法运算律】 1.有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2.在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 例：(−3)+(+5)=(+5)+(−3)=2（交换律）；[(−3)+(+5)]+(−2)=(−3)+[(+5)+(−2)]=0（结合律）。 📝 【题型1：有理数加法运算】 【例1】下面给出的四个数，使式子的结果为正数的是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算、正负数等知识，熟练掌握有理数加法法则是解题关键．根据有理数加法法则以及负数的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】计算： ， ， ． 【答案】 0 0 0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 根据相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：； ； ， 故答案为：0，0，0． 【变式1-2】“一个数与0相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．写出一个数与0相加，再根据有理数的加法法则进行计算，从而解答即可 【详解】解：∵， ∴满足条件的数是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 【答案】 【分析】先确定每次输入指令后机器人的移动方向和格数，通过有理数的加法计算最终位置．本题主要考查有理数的加法在实际情境中的应用，理解正负数表示的移动方向，熟练进行有理数加法运算是解题的关键． 【详解】解：输入“”，机器人从原点O向右走格，此时位置是． 再输入“”，机器人从的位置向左走格，位置变为． 故答案为：． 📝 【题型2：有理数加法中的符号问题】 【例2】a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置判断出a，b，c的大小，利用有理数的加法法则逐一判断即可． 【详解】根据数轴上点的位置得：-4＜b＜-3＜-1＜a＜0＜1＜c，即|a|＜|c|＜|b|， ∴b+a＜0，故A选项错误，符合题意， b+c＜0，故B选项正确，不符合题意， a+b＜0，故C选项正确，不符合题意， a+c＞0，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法及数轴，正确判断a，b，c的大小，熟练掌握运算有理数加减法法则是解本题的关键． 【变式2-1】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 【变式2-2】如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】由图可知，，且，则−2<a+b<0，故可确定a+b的可能值． 【详解】由图可知，，且，则−2<a+b<0，所以a+b的值可能是−1 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的加法法则、利用数轴比较有理数的大小，正确理解题意是关键． 【变式2-3】有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，数字规律探索，当各项都是负数时，和最小，得出答案． 【详解】这列数的第项可表示为， 当各项都是负数时，和最小， 由当时，，当时，， 所以前288项的和最小． 故选：A． 📝 【题型3：有理数加法在实际生活中的应用】 【例3】如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 【变式3-1】如图，一只蚂蚁在的方格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他蚂蚁，如从A处到B处记为，从B处到A处记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中( ， )，( ， )，( ， )； (2)若这只蚂蚁从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P处的位置； (3)若这只蚂蚁的行走路线为，请计算该蚂蚁走过的路程； (4)若图中另有两处M，N，且，，则从N处到A处应记为什么？ 【答案】(1)，；，；， (2)见解析 (3) (4)从N处到A处应记为 【分析】本题考查了正数与负数的应用，有理数的加法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据题意结合图形即可得解； （2）根据题意把每个数对的第一个数字和第二个数字分别相加，从而得出点A到点P的平移方式，再画出P处的位置即可； （3）由题意可知，，，由此计算即可得解； （4）由题意可得，再求出，，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，，； 故答案为：，；，；，； （2）解：， ∴点A到点P的平移方式是：向右一个单位长度，向上两个单位长度， 则P处的位置如图所示． ； （3）解：由题意可知，，． 该蚂蚁走过的路程为； （4）解：，， ， ，， 从N处到A处应记为． 【变式3-2】某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】（答案不唯一） 200 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 【变式3-3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 📝 【题型4：省略加号和括号的形式】 【例4】写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数对各选项进行省略整理即可得解． 【详解】A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法，主要是省略加号和的形式的练习，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【变式4-1】把写成统一成加法的形式是 ，写成省略加号的和形式 ，读作： ，或 ． 【答案】，，的和，或负2减4加8加1． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：++得+，--得+，-+得-，+-得- 【详解】统一成加法的形式是， 省略加号的和形式， 读作：，或负2减4加8加1． 故答案为，，的和，或负2减4加8加1． 【点睛】正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 【变式4-2】把写成省略括号的和的形式，下列变形正确的是（  ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】根据绝对值和正负数的定义以及性质进行转换即可． 【详解】 故答案为：C． 【点睛】本题考查了去绝对值和括号的问题，掌握绝对值和正负数的定义以及性质是解题的关键． 【变式4-3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 📝 【题型5：有理数加减中的简便运算】 【例5】观察下列式子：，，，…请计算( ) 【答案】/ 【分析】该题考查了有理数的加减运算，观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5-1】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数混合运算，把原式变形为 进行解答即可． 【详解】解：原式 【变式5-2】简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减法，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数的加减法运算法则即可求解； （）根据有理数的加减法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 【变式5-3】计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】本题考查了有理数的加减运算，乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，再添加括号，然后计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，进行简算即可． （2）合理分组：，每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ； （2）解： 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； 原式． ✏️ 【基础通关练】 1．计算的结果是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：． 故选：B． 2．若数轴上点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是（    ） A． B． C．或9 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减运算，根据在数轴上与点相距5个单位长度分情况列式计算即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是， 与点相距5个单位长度的点表示的数为或， 故选：D． 3．的原理是（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【答案】A 【分析】根据题意，该式为省略括号的和的形式，则依据是加法交换律． 【详解】解：根据题意，原等式左边可以看成省略括号的和的形式，根据加法交换律，可得 故选：A 【点睛】本题考查了有理数加法运算和加法交换律，熟练掌握相关运算法则和运算律是解答关键． 4．计算3+（–2）+5+（–8）时，运算律用得最为恰当的是（   ） A．[3+（–2）]+[5+（–8）] B．（3+5）+[–2+（–8）] C．[3+（–8）]+（–2+5） D．（–2+5）+[3+（–8）] 【答案】B 【分析】计算3+（–2）+5+（–8）时应该运用加法的交换律先进行同分母的加法运算． 【详解】原式=（3+5）+[–2+（–8）] =9+（-11） =-2， 故选B. 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，根据加数的特点灵活运用运算律简化运算是解题的关键. 5．下列运算正确的个数为（    ） ①；    ②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法法则计算判断即可，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】，故①错误，不符合题意； ，故②错误，不符合题意； ，故③错误，不符合题意； ，故④正确，符合题意． 故正确的个数为1， 故选：B． 6．如果，那么下列式子成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法法则和绝对值的意义，根据有理数加法法则和绝对值的意义逐项排除即可，熟练掌握有理数加法法则和绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：、，，则，不成立，不符合题意； 、，，则，成立，符合题意； 、，，则，不成立，不符合题意； 、，，则不成立，不符合题意； 故选：． ✏️ 【提升通关练】 1．计算应用了（    ） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．加法交换律 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】根据加法的运算律求解可得． 【详解】解：计算是应用了加法的交换律和结合律， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握加法运算的运算律． 2．计算时，运算律用得最合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法结合律可进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 3．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 4．下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用有理数的运算律逐一判断即可． 【详解】解：A、，则A选项错误，故A选项不符合题意； B、，则B选项错误，故B选项不符合题意； C、，则C选项错误，故C选项不符合题意； D、，则D选项正确，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的运算律，熟练掌握其运算律是解题的关键． 5．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】由有理数的加减的运算法则进行判断，即可进行判断． 【详解】解：根据题意， 甲：，故甲错误； 乙：；故乙正确； 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的加减运算和运算律，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则． 6．若三个互不相等的有理数的和为零，则下列结论中正确的是（    ） A．三个加数全为零 B．最少有两个加数是负数 C．至少有一个加数是负数 D．最少有两个加数是正数 【答案】C 【分析】根据三个数相加可能为0的情况逐一进行分析即可． 【详解】解：A、三个加数全为0，与三个不同的有理数矛盾，故选项错误； B、例如：-2+2+0=0，故选项错误； C、选项正确； D、例如：-2+2+0=0，故选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的加法，解答此题的关键是熟知三个数相加可能为0的4种情况：（1）可能是三个数都是0；（2）可能是有一对相反数和一个0；（3）可能是两正数相加等于那个负数；（4）可能是两负数相加等于那个正数． 7．《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算． 由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， ∴图中表示的计算过程为． 故选：A． 8．已知a，b为有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，把a，﹣b，a＋b，a﹣b按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A．a＜a﹣b＜﹣b＜a＋b B．a﹣b＜a＋b＜﹣b＜a C．a﹣b＜a＜﹣b＜a＋b D．a﹣b＜﹣b＜a＜a＋b 【答案】D 【分析】根据数轴可以得到a＜0＜b，且|a|＜|b|，设a＝﹣1，b＝3，分别计算后，进行比较即可得到答案． 【详解】解：根据数轴可以得到a＜0＜b，且|a|＜|b|，设a＝﹣1，b＝3， 则a﹣b＝﹣1﹣3＝﹣4，﹣b＝﹣3，a+b＝﹣1+3＝2， ∴a﹣b＜﹣b＜a＜a+b， 故选：D． 【点睛】此题考查了数轴、有理数加减法、相反数等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9．三个数，，的和比它们的绝对值的和小 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数加法运算和绝对值的性质，此题可以首先根据绝对值的性质，计算三个数的绝对值的和，再减去三个数的和． 【详解】解：根据题意，得 ． 故答案为． 10．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】根据有理数的加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题考查有理数加法的符号法则，解决本题的关键是熟悉加法法则，并正确判断绝对值的大小． 11．（1）绝对值大于4小于8的所有整数？ （2）绝对值小于等于3的所有整数？这些整数之和等于多少? 【答案】（1），，；（2），，，；． 【分析】本题考查了绝对值的性质和有理数的大小加法，根据绝对值的性质求出所有符合条件的整数即可，熟知绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）绝对值大于4小于8的所有整数有：，，； （2）绝对值小于等于3的所有整数有：，，，， ． ✏️ 【培优通关练】 1．在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 【答案】C 【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可． 【详解】解：由到既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律，，，是解题的关键． 2．一种零件的长度在图纸上标出为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过 ，最小不小于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算．熟练掌握正负数的意义，有理数的加减运算是解题的关键． 根据最大不超过，最小不小于，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 3．某商场9月24日销售衬衫100件，下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降）： 日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日 销售量/件 (1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多？哪一天最少？ (2)若每件衬衫的价格是80元，该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元？ 【答案】(1)这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少． (2)该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算法则，弄清有理数的加减混合运算的实质就是加法运算是解本题关键． （1）计算出每天的销售衬衫的数量，通过比较，就可以得出结果； （2）计算出6天的销售衬衫的总数量，然后与单价相乘，即可得出销售衬衫的总收入． 【详解】（1）解：9月25日：（件），9月26日：（件）， 9月27日：（件），9月28日：（件）， 9月29日：（件），9月30日：（件）， 答：这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少． （2） （元）， 答：该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元． 4．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则； （1）根据绝对值的意义和，确定、的值，再计算； （2）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或，． 则或， 即的值为或； （2）已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3）因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个正数一个负数， 设，，， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $