2.2.2有理数的除法（讲义）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数除法核心知识点，系统梳理除法法则（除以非0数等于乘其倒数，同号得正异号得负，0除以非0数得0）及四则混合运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），作为有理数运算体系的关键环节，承接乘法学习，为后续复杂运算提供基础支架。 该资料亮点在于题型设计紧密联系现实（如洞洞乐游戏策略、高铁速度计算），培养数学眼光观察生活问题，通过多种解法对比（如简便运算的倒数法）发展运算能力与推理意识，分层通关练习（基础、提升、培优）助力课中教学实施与课后个性化查漏补缺。

2.2.2有理数的除法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数除法法则】 ● 【考点2：有理数的四则混合运算】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数的除法运算】 ● 【题型2：有理数除法的应用】 ● 【题型3：有理数乘除混合运算】 ● 【题型4：有理数乘除中的简便运算】 ● 【题型5：有理数混合运算的应用】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数除法法则】 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 例：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 📌 【考点2：有理数的四则混合运算】 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 例：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 📝 【题型1：有理数的除法运算】 【例1】如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，倒数的定义，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）因为，，与互为倒数，所以的商和的商互为倒数，而C的倒数是，由此可得答案． （2）先将除数化成假分数，分子用相乘的形式表示，即，再把除法变成乘法求解即可． 【详解】解：（1）如果“”，那么“”； （2） ， 故答案为：，． 【变式1-1】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键； 根据有理数的除法法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 【变式1-2】如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 【变式1-3】将十进制数36化为七进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了进位制之间的转化，解题的关键是掌握“除k取余法”． 把所给的十进制数除以7，得到商和余数，继续除以7，直到商为0，把余数倒序写下来即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 📝 【题型2：有理数除法的应用】 【例2】教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【答案】(1)后开始获胜，方法见解析 (2)先开始的人有必胜策略，方法见解析 【分析】本题考查了博弈策略，整数的除法运算及余数概念，熟练掌握整数的除法运算及余数概念是解题的关键； （1）根据每轮两人戳洞的总数情况，得出选择控制每轮两人一共戳3个洞（一人戳1个时另一人戳2个，或者一人戳2个时另一人戳1个）．根据不管先开始的人第一次戳1个还是2个圆圈，后开始的人都可以通过相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共3戳个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳3个圆圈，这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈获胜． （2）根据两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈，同样要从24个圆圈总数出发，找到合适的每轮戳洞总数，让其能整除（或结合余数来控制局面），以确定必胜策略．分别计算除以每轮可能总数的情况发现，如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 【详解】（1）解：后开始的必胜， ∵每人一次可戳一个或两个圆圈， ∴两人一轮戳洞的数量之和存在三种可能情况： 若两人都戳一个圆圈，一轮共戳2个圆圈； 若一人戳一个，另一人戳两个，一轮共戳3个圆圈； 若两人都戳两个圆圈，一轮共戳4个圆圈． 通过计算分别除以每轮可能的总数情况： （轮）； （轮）； （轮）． 发现24能被3整除，这意味着如果能保证每轮两人一共3戳个圆圈，经过8轮就能戳完所有圆圈，并且可以通过先后手的策略来控制局面． 具体操作如下： 先开始的人先戳洞，不管先开始的人第一次戳1个还是1个圆圈，后开始的人都可以相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共戳3个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共3戳个圆圈．这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈，从而获胜． （2）先开始的人有必胜策略． ∵游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个）， ∴两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈， ∴； ； ； ； ； ； ． 发现，即如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 具体操作如下： 先开始的人先戳4个圆圈，此时剩下个圆圈．然后不管后开始的人戳1个、2个、3个还是4个圆圈，先开始的人在后续的每一轮中，都根据后开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳5个圆圈．这样经过4轮后，先开始的人就可以戳到最后一个圆圈，进而获胜． 【变式2-1】据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 【答案】亿元 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（亿元）， 答：株洲市年地方财政收入约为亿元． 【变式2-2】中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？ 【答案】“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米． 【分析】本题考查有理数的混合运算．“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．先根据和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米求出“和谐号”的速度，再求“复兴号”的速度． 【详解】解：“和谐号”的速度为：（千米/小时） “复兴号”的速度为：（千米/小时）． 答：“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米． 【变式2-3】中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．    【答案】到站或到站，说明见解析 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，先求出每千米的票价，进而求出李老师买票的费用除以单价，求出里程，进行判断即可． 【详解】    （元/千米） （千米） （千米）或（千米） 到站或到站都可． 📝 【题型3：有理数乘除混合运算】 【例3】如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 【变式3-1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式3-2】小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式    …………第一步     …………第二步         …………第三步         …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配； (2)二； (3)见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”． （1）根据乘法分配律可得答案； （2）除法没有分配律，据此可得答案； （3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：分配； （2）解：她在第二步出错了，因为除法没有分配律， 故答案为：二； （3）解： ． 【变式3-3】在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算的应用，熟练掌握有理数的乘除法运算是解本题的关键．先求出20与26之间的数，再求出26与x之间的数，进而可求x的值． 【详解】解：∵相邻的连续三个数之积均为520， ∴20与26之间的数为：， ∴26与x之间的数为：， ∴， ∴x的值为 1． 故答案为：1． 📝 【题型4：有理数乘除中的简便运算】 【例4】阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【变式4-1】计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)13 (4)2 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）化除法为乘法，然后运用乘法交换律进行计算即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）先算除法，再运用减法的性质进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-2】简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 【变式4-3】计算：． 【答案】432 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 📝 【题型5：有理数混合运算的应用】 【例5】张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 2 5 1 4 6 2 (1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (2)这批样品总质量是多少千克？ 【答案】(1) (2)总质量为202.2千克 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据题意确定求出符合题意的数量除以总数量即可； （2）标准质量乘以总箱数加上与标准质量的差的总和即可． 【详解】（1）解：由题意得：合格的有（箱）， 故合格率为：； （2）解： （千克） （千克） 答：这批样品总质量为202.2千克． 【变式5-1】1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有多少个？ 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数除法的应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，从题中所给的一列数中发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据所给的一列数，发现从第1个数开始，每相邻的三个数中，前2个数为奇数，后1个数为偶数，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，在这列数中，从第1个数开始，每相邻的三个数中，前2个数为奇数，后1个数为偶数， 余， ， 在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有1350个， 答：在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有1350个． 【变式5-2】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 【答案】两站间的路程是200千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算．根据第一次相遇在距A地90千米的地方，可知甲乙每行驶一个总路程，一辆汽车就行了：（千米），第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方，据此列式计算求解即可． 【详解】解：（千米）， 第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方， 270米包含甲走了1个全程和1个的全程， 则270米对应的全程百分率为， 即1个全程为（千米）． 答：两站间的路程是200千米． 【变式5-3】“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求： (1)行人通过人行横道的时间； (2)若车闯黄灯，是否会撞到行人； (3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数） 【答案】(1)行人通过人行横道的时间为 (2)小车不会撞到行人； (3)小于或大于 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，解决本题的关键搞清甲、乙两车相撞的临界情况，抓住时间相等，根据路程关系求出临界速度。 （1）已知路程和时间，利用求出行人通过人行横道的时间； （2）先计算出小车穿过人行道的时间，再计算出此时行人到中心线时间，再进行比较即可； （3）根据匀速直线运动的求出两种临界情况下小车的速度，第一种临界为摩托车车头碰到小车车尾；第二种临界为小车车头碰到摩托车车尾，根据路程关系，抓住时间相等，求出小车的临界速度． 【详解】（1）解：行人通过人行横道的时间：； （2）解：， ， ， ， 所以，小车不会撞到行人； （3）解：①摩托车车头碰到小车车尾时，， 所以小车的速度大于不会撞上摩托车； ②当小车的车头刚好撞上摩托车的车尾，则摩托车行驶的路程为 摩托车行驶的时间为：， 小车的车头刚好撞上摩托车的车尾的速度为：， 所以甲车的速度小于也不会撞上摩托车； 综上可知，要使小车与摩托不相撞，小车的速度范围是或． ✏️ 【基础通关练】 1．计算的结果是（    ） A．12 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2．若，且，则（） A．1或 B．或 C．或 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用绝对值的代数意义判断得到中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 【详解】∵，且， ∴中负数有一个或三个， 则原式或， 故选A． 3．计算结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除运算法则直接计算即可，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 故选：． 4．算式______中的横线内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知运算法则．根据有理数的除法法则即可求解． 【详解】解：括号内应填． 故选：． 5．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（　　）个． ①；②；③；④；⑤．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题主要考查数轴与有理数的关系及有理数的计算．能够熟练通过数轴判断有理数的大小是解题关键．通过数轴得出有理数的大小再计算每个选项判断正误即可． 【详解】解∶由数轴知∶， ∴，，，，， ∴， ∴正确的有①⑤， 故选：B． 6.3，0，，，1.2，， (1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差多少千克？ (2)这6袋大米的平均质量是多少千克？ 【答案】(1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差1.9千克 (2)这6袋大米的平均质量为50.05千克 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的混合运算的实际应用、有理数的减法的实际应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意，利用有理数的减法列式计算即可； （2）先计算出6袋大米的总重量，再除以6即可得出平均质量． 【详解】（1）解：由题意得： 最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差， 最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差1.9千克； （2）解：由题意得： 这6袋大米的总质量为：， 这6袋大米的平均质量为：， 这6袋大米的平均质量为50.05千克． ✏️ 【提升通关练】 1．将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数 ，2008应排在A、B、C、D、E中 的位置．其中两个填空依次为（     ） A．-28，C B．-29，B C．-30，D D．-31，E 【答案】B 【分析】观察发现规律：每个峰排列5个数，并且“峰n”的D位置是（﹣1）n·5n，奇数是负数，偶数是正数，根据规律解答即可． 【详解】解：观察发现：每个峰排列5个数，并且“峰n”的D位置是（﹣1）n·5n，奇数是负数，偶数是正数， 则“峰6”中D的位置是有理数为5×6=30， ∴“峰6”中C的位置是有理数为﹣29， ∵2008÷5=401……3 ∴2008应排在“峰402”的第2个数，在B位置， 故选：B． 【点睛】本题考查了数字的变化规律探究，观察出每个峰有5个数，并且“峰n”的D位置是（﹣1）n·5n是解答的关键． 2．已知等式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算．根据有理数的加法、减法、乘法和除法运算法则计算即可判断． 【详解】解：∵，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 3．如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，且，，则下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义，有理数的运算中的符号确定，熟练的利用绝对值的含义逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，，，， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意； 故选：C． 4．对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的有 ． ①；②；③；④；⑤．    【答案】④⑤ 【分析】根据数轴可得，再根据有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】由数轴可知：， ∴，故①错误； ，故②错误， ，故③错误； ，故④正确； ，故⑤正确． 故答案为：④⑤ 【点睛】本题考查了数轴、有理数的四则运算，绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 6．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是根据3张卡片上各数之积最小为，确定m的最小取值． 【详解】解：∵5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，这3张卡片上各数之积最小为， ∴当抽到和时，m的取值最小， ∴m的最小值为． 故答案为：． 7．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 9．下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可； 本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1） （2） 10．阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 11．如图为5张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 【答案】(1)，；35 (2)，1； 【分析】本题考查有理数乘除法，有理数大小比较，绝对值．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数，所以选和； （2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，所以就要选1和，且1为分母； 【详解】（1）解：抽取的2张卡片上数的乘积要最大，则要抽符号相同且绝对值最大的数， ∵ ∴抽取和乘积最大，最大值为． （2）解：抽取的2张卡片上数相除的商要最小，则要抽符号不同，且分母绝对值越小越好，分子绝对值越在越好， ∵ ∴抽取和1，最小值为． ✏️ 【培优通关练】 1．定义一种新的运算：，如，则= ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：， ∴ ； 故答案为： 2．涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： (1)______；______； (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有． (3)计算 【答案】(1)； (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的除法．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）， ； 故答案为：，； （2）①对于任何正整数n，当n为偶数时， 有, n为奇数时， ， 故①错误； ②∵，， ∴， 故②错误； ③∵， 故③正确； ④对于任何正整数n， 都有， 而不是， 故④错误； 故答案为：③； （3） ． 3．气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是． (1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 即山顶的温度为； （2） （米）， 即他距山脚1500米． 4．今年上林县的稻谷喜获丰收，老李家的一片地收割的稻谷用规定可装稻谷的袋子共装了12袋，经过称重，这12袋稻谷的重量（单位：）记录如下；（超出的记作“”） 、、、、、、、、、、、 (1)老李家的这片地一共收割了多少千克稻谷？ (2)平均每袋装了多少千克稻谷？ (3)若每千克稻谷卖元，求老李家这片地的稻谷一共可卖多少元？ 【答案】(1)老李家的这片地一共收割了546千克稻谷 (2)平均每袋装了千克稻谷 (3)老李家这片地的稻谷一共可卖1365元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的运算的应用： （1）利用有理数的加法运算法则及有理数混合运算法则即可求解； （2）利用有理数的除法运算法则即可求解； （3）利用有理数的乘法运算法则即可求解； 熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， （千克）， 答：老李家的这片地一共收割了546千克稻谷． （2）（千克）， 答：平均每袋装了千克稻谷． （3）（元）， 答：老李家这片地的稻谷一共可卖1365元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2有理数的除法（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数除法法则】 ● 【考点2：有理数的四则混合运算】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数的除法运算】 ● 【题型2：有理数除法的应用】 ● 【题型3：有理数乘除混合运算】 ● 【题型4：有理数乘除中的简便运算】 ● 【题型5：有理数混合运算的应用】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数除法法则】 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 例：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 📌 【考点2：有理数的四则混合运算】 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 例：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 📝 【题型1：有理数的除法运算】 【例1】如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】将十进制数36化为七进制数为 ． 📝 【题型2：有理数除法的应用】 【例2】教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【变式2-1】据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 【变式2-2】中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？ 【变式2-3】中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．    📝 【题型3：有理数乘除混合运算】 【例3】如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【变式3-1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式    …………第一步     …………第二步         …………第三步         …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【变式3-3】在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 📝 【题型4：有理数乘除中的简便运算】 【例4】阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【变式4-1】计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 【变式4-2】简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【变式4-3】计算：． 📝 【题型5：有理数混合运算的应用】 【例5】张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 2 5 1 4 6 2 (1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (2)这批样品总质量是多少千克？ 【变式5-1】1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有多少个？ 【变式5-2】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 【变式5-3】“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求： (1)行人通过人行横道的时间； (2)若车闯黄灯，是否会撞到行人； (3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数） ✏️ 【基础通关练】 1．计算的结果是（    ） A．12 B．3 C． D． 2．若，且，则（） A．1或 B．或 C．或 D．无法判断 3．计算结果等于（    ） A． B． C． D． 4．算式______中的横线内应填（    ） A． B． C． D． 5．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（　　）个． ①；②；③；④；⑤．    A．1 B．2 C．3 D．4 6.3，0，，，1.2，， (1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差多少千克？ (2)这6袋大米的平均质量是多少千克？ ✏️ 【提升通关练】 1．将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数 ，2008应排在A、B、C、D、E中 的位置．其中两个填空依次为（     ） A．-28，C B．-29，B C．-30，D D．-31，E 2．已知等式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，且，，则下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的有 ． ①；②；③；④；⑤．    6．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为 ． 7．计算： (1)． (2)． 8．计算： (1)； (2)． 9．下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 10．阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 11．如图为5张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ ✏️ 【培优通关练】 1．定义一种新的运算：，如，则= ． 2．涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： (1)______；______； (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有． (3)计算 3．气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是． (1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？ 4．今年上林县的稻谷喜获丰收，老李家的一片地收割的稻谷用规定可装稻谷的袋子共装了12袋，经过称重，这12袋稻谷的重量（单位：）记录如下；（超出的记作“”） 、、、、、、、、、、、 (1)老李家的这片地一共收割了多少千克稻谷？ (2)平均每袋装了多少千克稻谷？ (3)若每千克稻谷卖元，求老李家这片地的稻谷一共可卖多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $