2.2.2 有理数的除法 暑假知识梳理讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

2.2.2 有理数的除法 暑假知识梳理讲义 2026-2027 学年 人教版数学七年级上册 暑期自主预习专用 · 适用对象：七年级新生 · 预计学习时间：60 分钟 一、本节预习导航 【与小学知识的联系】小学阶段我们学过“除以一个分数等于乘这个分数的倒数”，也知道“0 不能作除数”，还熟悉“被除数÷除数=商”这一组名称。这些经验在初中完全适用，只需要把数的范围从非负有理数扩大到全体有理数。换句话说，本节并不是从零开始学一种新运算，而是把小学已有的除法规则搬到含负数的世界里，再补上一条“符号怎么定”的说明。理解了这一点，你会发现有理数除法学起来比想象中轻松得多。 【本节核心内容】① 除法法则的第一种表述（转化式）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数；② 除法法则的第二种表述（直接式）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；③ 零的除法：0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0；0 不能作除数；④ 分数与除法的关系，以及分数的化简；⑤ 乘除混合运算的顺序与技巧：统一化为乘法后从左往右依次计算；⑥ 用有理数除法解决平均数、增长率、单价、速度等实际问题。 【所需图形类型】流程图一幅，梳理“一看二改三定四算五查”的操作步骤；结构对照图一幅，把减法与相反数、除法与倒数这两组对称关系并列呈现；柱状对照图一幅，直观展示四种符号搭配下商的符号；数轴图一幅，演示用除法求两数平均数的几何意义；知识框图一幅，整体串联本节内容。 【小升初术语衔接】小学的“被除数、除数、商”在初中继续沿用，只是三者都可以是负数。小学写除法常用“÷”，初中更多写成分数线的形式，例如 a 除以 b 写作 b 分之 a。这种写法上的转变很重要，因为它把除法与分数彻底统一了起来，为后续学习分式打下基础。此外，小学讲“除尽”“余数”，初中在有理数范围内一般不再强调余数，除不尽时直接用分数表示商即可。 【数学思想渗透】转化思想再次登场：减法借助相反数转化为加法，除法借助倒数转化为乘法，两者形成完美的对称结构，这种“成对出现”的美感正是数学的迷人之处；类比思想：把加与减、乘与除放在一起对比学习，可以事半功倍；分类讨论思想：按被除数与除数的符号分四类研究；符号意识：始终把“定号”与“算值”当作两件独立的事来处理。 【预习方法建议】建议先复习倒数的求法，特别是负分数、带分数、小数的倒数，这是本节的技术前提。接着对照阅读 2.1.2 减法法则与本节除法法则，把两者写在同一页纸的左右两栏，亲眼看看它们有多像。做题时坚持“能约分先约分”的原则，很多看似复杂的除法题约分后只剩下一两步心算。最后完成分层自测卷，尤其要重视含 0 的题目和乘除混合运算题。 二、各小节知识清单 （一）有理数的除法法则 🎯 第一步：预习目标 ✔ 能说出除法法则的两种表述，并知道它们在什么场合各自更好用。 ✔ 会把除法算式改写成乘法算式，做到“除号变乘号、除数变倒数”两处同时完成。 ✔ 牢记 0 不能作除数，并能判断一个含字母的除法算式在什么条件下有意义。 ✔ 会计算四种符号搭配的两数相除，并把结果化为最简分数或整数。 ✔ 理解分数与除法的关系，能在分数形式与除号形式之间自由转换。 📌 第二步：知识清单 📌 知识点1：除法法则（转化式）。除以一个不等于 0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为：当 b 不等于 0 时，a÷b=a×(b 分之一)。这条法则把除法彻底归入乘法的管辖范围，与减法归入加法的思路完全一致。 📌 知识点2：除法法则（直接式）。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这条表述与乘法法则几乎一模一样，只是把“绝对值相乘”换成了“绝对值相除”。当两个数能够整除时，用直接式更快。 📌 知识点3：两种表述如何选用。遇到整数除以整数且能整除，用直接式，例如 (−36)÷(−9)=4，一步到位；遇到除数是分数或小数、或者除不尽，用转化式，例如 (−五分之二)÷(−十分之三) 改写为 (−五分之二)×(−三分之十)，约分后得三分之四。两种方法结果必然一致，可以互相验算。 📌 知识点4：零的除法。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0，即当 a 不等于 0 时 0÷a=0。但是 0 不能作除数，a÷0 没有意义。原因在于：若 a 不等于 0，找不到任何数与 0 相乘能得到 a；若 a 等于 0，任何数与 0 相乘都得 0，商就不唯一了。两种情况都不符合“商必须存在且唯一”的要求。 📌 知识点5：分数与除法的关系。分数线本身就是除号：b 分之 a 就是 a÷b（b 不等于 0）。因此所有除法算式都可以写成分数形式，反之亦然。负号的位置有三种等价写法：分子带负号、分母带负号、整个分数前带负号，它们表示同一个数，通常规范写法是把负号写在分数线前面。 📌 知识点6：商的化简。计算结果必须化为最简形式：能约分的要约到分子分母互质；假分数一般保留假分数形式而不必化成带分数（初中习惯）；结果是整数的直接写整数；小数与分数混合时，通常统一化成分数更便于约分。 📌 知识点7：除法与减法的对称性。减法：a−b=a+(−b)，借助相反数，相反数的特征是“和为 0”；除法：a÷b=a×(b 分之一)，借助倒数，倒数的特征是“积为 1”。0 是加法的单位元，1 是乘法的单位元，这对照关系体现了数学结构的高度对称。 💡 方法点拨 解除法题的标准动作是：第一眼看除数是否为 0（含字母时要写明条件），第二步决定用直接式还是转化式，第三步单独定符号，第四步算绝对值并约分。含分数的除法一定要先把带分数化成假分数、小数化成分数，再取倒数，否则极易出错。另外提醒一点：约分要在乘法形式下进行，即先把除法改写成乘法，再上下约分，直接在除法算式里约分是不规范的。 图1 有理数除法的五步操作流程：先确认除数不为 0，再改写为乘法，然后分别处理符号与数值，最后回查。 图2 减法与除法的对称结构：减法依靠相反数（和为 0），除法依靠倒数（积为 1），两次都用了转化思想。 图3 四种符号搭配对应的商的符号：同号得正、异号得负；被除数为 0 且除数非 0 时商为 0。 ⚠ 第三步：特别提醒 ⚠ 0 不能作除数，这是一条绝对不能违反的底线。凡是分母中含字母的算式，都要先说明字母不取使分母为 0 的值。 ⚠ 改写为乘法时，只把除数换成倒数，被除数保持不变，这与减法中“只变减数不变被减数”完全一致。 ⚠ 取倒数时不要连符号一起丢掉。−四分之三 的倒数是 −三分之四，符号保持不变。 ⚠ 除法不满足交换律与结合律：一般情况下 a÷b 不等于 b÷a，(a÷b)÷c 也不等于 a÷(b÷c)，所以乘除混合运算必须从左往右依次进行。 ⚠ 除法没有分配律。(a+b)÷c 可以拆成 a÷c+b÷c，但 c÷(a+b) 绝对不能拆成 c÷a+c÷b，这是高频陷阱。 🔍 第四步：易错点剖析 ❌ 错例：(−六分之五)÷(−三分之二)=(−六分之五)×(−二分之三)=−四分之五。 错因：倒数取对了，但符号判断错误。两个负数相除应当得正。 ✅ 规避：先在草稿角落写下“负÷负=正”再算数值，正确结果是 四分之五。 ❌ 错例：认为 0÷0=0 或 0÷0=1。 错因：混淆了“0 作被除数”与“0 作除数”两种情形，只要除数是 0，算式就没有意义。 ✅ 规避：看到除数为 0 立即判定“无意义”，不必也不能给出数值答案。 ❌ 错例：计算 (−12)÷四分之三×三分之四 时，先算后面的乘法得 1，再算 (−12)÷1=−12。 错因：乘除是同级运算，必须从左往右依次进行，不能因为后面“看起来好算”就提前计算。 ✅ 规避：同级运算严格从左往右，正确过程为 (−12)×三分之四×三分之四=−16×三分之四=−三分之六十四。 ✏️ 第五步：典型例题 【例题1】（基础·★☆☆）计算：(1) (−48)÷(−8)；(2) 63÷(−7)；(3) 0÷(−15)。 【解】(1) 同号相除得正，48÷8=6，故原式=6。(2) 异号相除得负，63÷7=9，故原式=−9。(3) 0 除以任何非零数都得 0，故原式=0。 【答案】(1) 6；(2) −9；(3) 0。 旁批：能整除时优先使用直接式，速度最快。 【例题2】（基础·★☆☆）计算：(1) (−八分之三)÷(−四分之九)；(2) (−2.4)÷0.6；(3) (−一又三分之二)÷(−六分之五)。 【解】(1) 原式=(−八分之三)×(−九分之四)，同号得正，约分后为 六分之一。(2) 异号相除得负，2.4÷0.6=4，故原式=−4。(3) 先把带分数化为假分数：−三分之五；原式=(−三分之五)×(−五分之六)，同号得正，约分后为 2。 【答案】(1) 六分之一；(2) −4；(3) 2。 旁批：分数除法先取倒数再约分，带分数必须先化假分数。 【例题3】（中档·★★☆）已知有理数 a、b 满足 a÷b<0，且 a+b>0，|a|=7，|b|=3，求 a 与 b 的值。 【分析】a÷b<0 说明 a、b 异号；a+b>0 说明绝对值大的那个数是正数。 【解】由 |a|=7 得 a=±7，由 |b|=3 得 b=±3。由 a÷b<0 知两数异号。若 a=7、b=−3，则 a+b=4>0，符合；若 a=−7、b=3，则 a+b=−4<0，不符合。故 a=7，b=−3。 【答案】a=7，b=−3。 旁批：先用符号条件缩小范围，再用数值条件唯一确定答案。 📝 第六步：随堂小测 1. 计算 (−56)÷7 的结果是（ ）。 A. 8 B. −8 C. −49 D. 49 2. 下列算式中没有意义的是（ ）。 A. 0÷5 B. 0÷(−5) C. 5÷0 D. (−5)÷1 3. −九分之四 的倒数是________，(−九分之四)÷(−三分之二)=________。 4. 若 a÷b>0，且 a<0，则 b________0（填“大于”或“小于”）。 5. 判断：两个数相除，商一定小于被除数。（ ） （二）乘除混合运算与实际应用 🎯 第一步：预习目标 ✔ 能把乘除混合算式统一改写成只含乘法的算式，再一次性约分求值。 ✔ 知道乘除是同级运算，在没有括号时必须从左往右依次计算。 ✔ 会处理含分数、小数、带分数的乘除混合运算，做到形式统一后再动手。 ✔ 能用除法求平均数、平均增长量、单价与速度等实际量。 ✔ 能用作商比较法判断两个同号数的大小关系。 📌 第二步：知识清单 📌 知识点8：乘除混合运算的基本策略。先把所有除法按转化式改写成乘法，整个算式就变成了纯粹的连乘。这时可以先数负因数个数定符号，再把所有分子相乘、所有分母相乘并统一约分，一步得出结果，避免中间反复通分。 📌 知识点9：运算顺序。乘法与除法是同级运算，没有括号时按从左往右的顺序进行；有括号时先算括号内的。切不可因为某两项凑起来好算就擅自提前计算，除非已经先统一成了乘法。 📌 知识点10：形式统一原则。一道算式中若同时出现小数、分数与带分数，动手前先统一：带分数一律化假分数，小数一般化分数（如 0.75 化成四分之三、1.2 化成五分之六），这样约分才顺畅。若所有数都是有限小数且分母不便约分，也可以统一化成小数计算。 📌 知识点11：平均数模型。若干个数的平均数等于它们的和除以个数。在含负数的情境中，平均数可以是负数，例如某周五天的气温分别为 −3、−1、2、0、−3 摄氏度，平均气温为 (−3−1+2+0−3)÷5=(−5)÷5=−1（摄氏度）。数轴上，两个数的平均数恰好是它们对应两点的中点。 📌 知识点12：作商比较法。对两个同为正数的数 a、b：若 a÷b>1 则 a>b；若 a÷b=1 则 a=b；若 a÷b<1 则 a<b。注意这条方法对负数需要反向判断，因此初中阶段更常用的还是作差比较法。 📌 知识点13：除法在实际问题中的三类典型用法。① 等分：总量除以份数求每份量，如平均气温、人均产量；② 包含：总量除以每份量求份数，如总路程除以每小时路程求时间；③ 比值：两个同类量相除表示倍数关系，如增长率、达标率、盈亏比例。 图4 数轴上求平均数：−4 与 2 的平均数为 (−4+2)÷2=−1，恰好是两点连线的中点，体现了除法的几何意义。 ⚠ 第三步：特别提醒 ⚠ 统一成乘法之后才可以整体约分，否则容易把除数的分子分母上下颠倒。 ⚠ 求平均数时，分母是数据的个数，不要漏数其中为 0 的数据。 ⚠ 实际问题中要注意单位与符号的实际含义，负的平均数表示低于基准，不能简单说成“没有”。 ⚠ 结果如果是分数，要检查是否已经约到最简；如果是小数，要按题目要求保留位数。 🔍 第四步：易错点剖析 ❌ 错例：计算 (−六分之五)÷(−三分之一)×(−五分之三) 时写成 (−六分之五)×(−3)×(−三分之五)，得到 −二分之五 却把符号写成正。 错因：负因数共 3 个应为负，数负号时漏掉了一个。 ✅ 规避：统一成乘法后用铅笔圈出全部负号并写下个数，正确结果为 −二分之五。 ❌ 错例：求 −6、0、4、−2 四个数的平均数时算成 (−6+4−2)÷3=−三分之四。 错因：把数据 0 忽略不计，导致分母少了 1。 ✅ 规避：0 也是一个数据，必须计入个数，正确结果为 (−6+0+4−2)÷4=(−4)÷4=−1。 ✏️ 第五步：典型例题 【例题4】（基础·★☆☆）计算：(−九分之八)÷(−三分之四)×(−四分之三)。 【解】统一成乘法：(−九分之八)×(−四分之三)×(−四分之三)。负因数共 3 个，积为负。绝对值部分：分子 8×3×3=72，分母 9×4×4=144，约分得 二分之一。故原式=−二分之一。 【答案】−二分之一。 旁批：一次性把所有分子分母写出来再统一约分，比逐步计算更不容易出错。 【例题5】（中档·★★☆）计算：(−36)÷(−四分之九)×0.25÷(−2)。 【解】把小数化成分数：0.25 即 四分之一。统一成乘法：(−36)×(−九分之四)×四分之一×(−二分之一)。负因数共 3 个，积为负。绝对值：36×九分之四=16，16×四分之一=4，4×二分之一=2。故原式=−2。 【答案】−2。 旁批：小数化分数后能大量约分，比直接用小数除法快得多。 【例题6】（中档·★★☆）某地一周七天的最低气温依次为 −5、−3、0、2、−1、−4、−3（单位：摄氏度）。(1) 求这一周最低气温的平均值；(2) 这一周中有几天的最低气温低于平均值？ 【解】(1) 七天气温之和为 (−5)+(−3)+0+2+(−1)+(−4)+(−3)。先把负数归堆：−5−3−1−4−3=−16；再加正数 2，得 −14。平均值为 (−14)÷7=−2（摄氏度）。(2) 低于 −2 的有 −5、−3、−4、−3 共 4 天。 【答案】(1) −2 摄氏度；(2) 4 天。 旁批：先求和再除以个数，注意 0 也要计入天数。 【例题7】（拓展·★★★）一辆汽车从甲地开往乙地，去时平均速度为 60 千米每小时，返回时因堵车平均速度为 40 千米每小时。求这辆车往返全程的平均速度。 【分析】平均速度等于总路程除以总时间，绝不是两个速度的算术平均。可以设单程为 120 千米（60 与 40 的公倍数），使计算变得简洁。 【解】设单程为 120 千米。去时用时 120÷60=2（小时），返回用时 120÷40=3（小时）。总路程为 240 千米，总时间为 5 小时，平均速度为 240÷5=48（千米每小时）。 【答案】48 千米每小时。 旁批：若误算成 (60+40)÷2=50 就掉进了陷阱；平均速度必须用总路程除以总时间。 📝 第六步：随堂小测 6. 计算 (−五分之二)÷(−十分之三) 的结果是________。 7. 计算 (−18)÷三分之二×(−六分之一) 的结果是________。 8. 五个数 −4、1、0、−3、6 的平均数是________。 9. 若 a÷b=−1，则 a 与 b 的关系是（ ）。 A. 相等 B. 互为相反数（且都不为 0） C. 互为倒数 D. 无法确定 10. 判断：乘除混合运算中，可以先算后面的乘法再算前面的除法。（ ） 三、本节思维导图 （中心：2.2.2 有理数的除法） ┌─ 转化式：除以一个不为 0 的数 = 乘这个数的倒数 ├─ 直接式：同号得正，异号得负，绝对值相除 ├─ 零的规定：0÷非零数 = 0；0 不能作除数 ├─ 分数即除法：b 分之 a 就是 a÷b；负号可写在分子、分母或分数线前 ├─ 混合运算：统一化乘法 → 数负号定符号 → 分子分母统一约分 ├─ 顺序规则：乘除同级，从左往右；有括号先算括号 └─ 实际应用：平均数 / 单价 / 速度 / 增长率 / 比值与倍数 图5 2.2.2 有理数的除法知识框图：两条法则、零的规定与乘除混合运算三线并行，最终服务于实际问题。 四、本节核心概念速查卡 🔑 除法转化式：b 不为 0 时，a÷b=a×(b 分之一)。 🔑 除法直接式：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 🔑 零的规定：0÷a=0（a 不为 0）；a÷0 无意义。 🔑 分数即除法：b 分之 a 就是 a÷b，负号有三种等价写法。 🔑 无交换结合律：a÷b 不等于 b÷a；乘除同级从左往右算。 🔑 无分配律：c÷(a+b) 不能拆成 c÷a+c÷b。 🔑 平均数：各数之和除以数据个数，0 也要计入个数。 🔑 平均速度：总路程除以总时间，不是两个速度的算术平均。 记忆口诀：除号变乘号，除数变倒数；同号商为正，异号商为负；零作被除数商为零，零作除数没意义。 五、本节易错点汇总 1. 【0 作除数】写出 a÷0 的“答案”，或认为 0÷0 等于 0 或 1。 2. 【倒数取错】取倒数时把符号弄丢，例如把 −四分之三 的倒数写成 三分之四。 3. 【动错对象】改写时把被除数取了倒数，正确做法是只动除数。 4. 【符号判断错】两个负数相除写成负数，把乘除法则与加减法则混用。 5. 【顺序颠倒】乘除混合运算中擅自先算后面的乘法，违反同级从左往右的规则。 6. 【滥用分配律】把 c÷(a+b) 错拆成 c÷a+c÷b。 7. 【平均数漏数据】求平均数时忽略数值为 0 的数据，导致分母偏小。 8. 【平均速度误算】把往返平均速度算成两个速度的算术平均。 六、本节分层自测卷（共 10 题） A 层 · 基础巩固（5 题） 1. 计算 (−72)÷(−9) 的结果是（ ）。 A. −8 B. 8 C. −81 D. 81 2. 下列说法正确的是（ ）。 A. 0 除以任何数都得 0 B. 任何数除以 0 都得 0 C. 0 除以任何非零数都得 0 D. 0÷0=1 3. −1.5 的倒数是________；(−1.5)÷(−0.5)=________。 4. 计算：(1) 45÷(−5)；(2) (−七分之三)÷(−十四分之九)；(3) 0÷(−八分之七)。 5. 四个数 −8、2、0、−6 的平均数是________。 B 层 · 能力提升（3 题） 6. 计算：(−五分之四)÷(−八分之三)×(−六分之五)。 7. 计算：(−48)÷(−三分之八)×0.5÷(−3)。 8. 已知 |a|=10，|b|=4，且 a÷b<0，a+b<0，求 a÷b 的值。 C 层 · 拓展挑战（2 题） 9. 某检测站抽查 8 袋大米，以每袋 25 千克为标准，超出记为正，不足记为负，误差（单位：千克）依次为 +0.3、−0.2、0、+0.5、−0.4、−0.1、+0.2、−0.3。(1) 求这 8 袋大米误差的平均值；(2) 求这 8 袋大米的总质量。 10. 一架无人机从起飞点出发做上下升降，向上记为正。六次升降记录为 +12、−8、+5、−15、+10、−6（单位：米）。(1) 求最终高度；(2) 求六次升降高度变化量的平均值；(3) 若无人机每上升或下降 1 米耗电 0.4 毫安时，求六次升降共耗电多少毫安时。 七、参考答案与解析 【随堂小测】 1. B。异号两数相除得负，56÷7=8，故结果为 −8。 2. C。除数为 0 的算式没有意义，其余三项除数均不为 0。 3. −四分之九；三分之二。(−九分之四)÷(−三分之二)=(−九分之四)×(−二分之三)=六分之四=三分之二。 4. 小于。同号相除才得正，a<0 时 b 也必须小于 0。 5. ×。例如 (−6)÷(−2)=3，商 3 大于被除数 −6；又如 6÷0.5=12 也大于被除数。 6. 三分之四。原式=(−五分之二)×(−三分之十)=十五分之二十=三分之四。 7. 二分之九。原式=(−18)×二分之三×(−六分之一)，负因数 2 个积为正，18×二分之三=27，27×六分之一=二分之九。 8. 0。五数之和为 −4+1+0−3+6=0，平均数为 0÷5=0。 9. B。a÷b=−1 说明 a=−b 且 b 不为 0，即 a 与 b 互为相反数且都不为 0。 10. ×。乘除同级，没有括号时必须从左往右依次计算；只有先统一成乘法后才能调换顺序。 【分层自测卷】 A 层：1. B（同号得正，72÷9=8）；2. C；3. −三分之二，3（(−1.5)÷(−0.5)=3）；4. (1) −9，(2) 三分之二（(−七分之三)×(−九分之十四)=六十三分之四十二=三分之二），(3) 0；5. −3（(−8+2+0−6)÷4=(−12)÷4=−3）。 B 层：6. −九分之十六。统一成乘法：(−五分之四)×(−三分之八)×(−六分之五)，负因数 3 个积为负；分子 4×8×5=160，分母 5×3×6=90，约分得 九分之十六，故结果为 −九分之十六。 　　　7. −3。原式=(−48)×(−八分之三)×二分之一×(−三分之一)，负因数 3 个积为负；48×八分之三=18，18×二分之一=9，9×三分之一=3，故结果为 −3。 　　　8. −2.5。由 a÷b<0 知 a、b 异号；由 a+b<0 知绝对值大的数为负，即 a=−10、b=4。故 a÷b=(−10)÷4=−2.5。 C 层：9. (1) 误差之和为 0.3−0.2+0+0.5−0.4−0.1+0.2−0.3=(0.3+0.5+0.2)+(−0.2−0.4−0.1−0.3)=1.0+(−1.0)=0，平均值为 0÷8=0（千克）。(2) 总质量＝25×8+0=200（千克）。 　　　10. (1) 12−8+5−15+10−6=(12+5+10)+(−8−15−6)=27+(−29)=−2，即最终位于起飞点下方 2 米处。(2) 平均值＝(−2)÷6=−三分之一（米）。(3) 总升降距离取绝对值相加：12+8+5+15+10+6=56（米），耗电 56×0.4=22.4（毫安时）。 八、本节学习资源与延伸 📚 数学文化 · 阅读与思考：为什么 0 不能作除数 “0 不能作除数”并不是数学家们随口定下的禁令，而是逻辑推导的必然结论。设想 6÷0 有一个确定的商 x，那么按照除法与乘法的互逆关系，应当有 x×0=6。可是我们已经知道任何数乘 0 都得 0，永远不可能等于 6，所以这样的 x 根本不存在。再看 0÷0，如果它等于 x，那么 x×0=0，这个等式对任何 x 都成立，商就不唯一了。数学要求每一次运算的结果都必须存在且唯一，于是只能把“0 作除数”排除在外。历史上印度数学家婆罗摩笈多曾试图定义 0 除以 0，后来的数学家们经过反复讨论，最终确立了今天的规定。 📚 相反数与倒数：一对孪生兄弟 如果把加法与乘法看成两个平行的世界，那么 0 是加法世界的“原点”，1 是乘法世界的“原点”。在加法世界里，与 a 配对使和为 0 的数叫相反数；在乘法世界里，与 a 配对使积为 1 的数叫倒数。减法借助相反数回到加法，除法借助倒数回到乘法。唯一的不对称之处是：每个数都有相反数，但 0 没有倒数。这个小小的例外，恰恰是“0 不能作除数”的另一种说法。当你以后学到分式、负指数幂时，这组对照关系还会不断出现，值得现在就牢牢记住。 📚 除法在生活中的建模价值 除法最常见的用途是“求平均”与“求比率”。天气预报中的月平均气温、体检报告中的体质指数、球队的场均得分、手机的每小时耗电量、汽车的百公里油耗，本质上都是除法。需要警惕的是，平均数会掩盖个体差异：一个班平均分 80 分，可能是全班都在 80 分左右，也可能是一半人 100 分、一半人 60 分。所以在用平均数说话时，还要结合最大值、最小值和数据的分散程度一起看，这个思想在八年级学习统计时会正式展开。 🗺️ 后续衔接指引 学完除法，有理数的四则运算就全部齐备了。紧接着 2.3.1 乘方会引入第五种运算，届时要处理的是“先乘方、再乘除、后加减”的完整运算顺序。2.3.2 科学记数法与 2.3.3 近似数则会大量使用除法进行单位换算与精度处理。到了第四章整式的加减，字母参与的除法会以分式的雏形出现；第五章一元一次方程的求解，最后一步“系数化为 1”正是一次除法运算。可以说，本节是通往整个初中代数运算体系的最后一块拼图。 💡 暑假自主练习建议 建议每天完成八道两数相除、六道乘除混合、三道实际应用题。练习时给自己立三条规矩：第一，凡遇除法先在心里问一句“除数是 0 吗”；第二，凡遇分数除法必须先写出改写成乘法的那一行，不许跳步；第三，凡是结果为分数的题目，写完后再检查一次是否约到最简。另外可以准备一张对照表，把减法与相反数、除法与倒数的对应关系抄在上面贴到书桌前，每天看一眼，很快就能形成条件反射。 学科网（北京）股份有限公司 $