2.2.2 有理数的除法 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的除法法则这一核心知识点，通过回顾乘法法则、乘除关系及分数与除法的关系搭建学习支架，系统推导“同号得正、异号得负，绝对值相除”的法则及除法转化为乘法的方法，形成完整知识脉络。 资料设计注重旧知与新知衔接，通过乘除逆运算推导法则培养学生推理意识，结合汽车耗油等实际问题渗透应用意识。例题分层从基础到提升，课中助力教师高效授课，课后帮助学生回顾总结，查漏补缺。

初中数学 · 七年级上册 · 第2.2.2节 有理数的除法 讲义 2.2.2有理数的除法 讲义 一、学习目标 1. 理解有理数除法的法则，能正确确定商的符号和绝对值，掌握“同号得正、异号得负”的核心规律。 2. 理解除法是乘法的逆运算，能够灵活转换乘除运算。 3. 能运用有理数除法法则进行计算，包括正数、负数、分数、小数的除法。 4. 能利用有理数除法解决实际问题，并理解除法运算中的注意事项。 二、知识回顾（新知识的基石） 1. 乘法法则回顾 同号得正，异号得负，绝对值相乘。例如 (-3) × (-4) = 12，(-3) × 4 = -12。 2. 乘除法的关系 除法是乘法的逆运算。已知因数积和其中一个因数，求另一个因数用除法。例如因为 3 × 5 = 15，所以 15 ÷ 3 = 5，15 ÷ 5 = 3。 3. 分数与除法的关系 除法可以写成分数的形式。a ÷ b = a × ()。例如 6 ÷ 3 = 6 × () = 2。这一关系是有理数除法法则的理论基础。 三、有理数除法法则（重中之重） 1. 核心法则（两数除法） 同号得正，异号得负，并把绝对值相除 用字母表示：若 a、b 为任意两个有理数（b ≠ 0），则 a ÷ b 的符号由 a 和 b 的符号决定，绝对值为 |a| ÷ |b|。 四种情形一览： ① 正 ÷ 正 = 正。例：12 ÷ 3 = 4。 ② 负 ÷ 负 = 正。例：(-12) ÷ (-3) = 4。 ③ 正 ÷ 负 = 负。例：12 ÷ (-3) = -4。 ④ 负 ÷ 正 = 负。例：(-12) ÷ 3 = -4。 除法符号规律与乘法完全一致：同号得正，异号得负！ 2. 除法法则的推导 根据乘除互为逆运算的关系推导。例如求 (-12) ÷ (-3) 的结果： 设 (-12) ÷ (-3) = x，则根据除法定义：(-3) × x = -12。 由乘法法则：要使 (-3) × x = -12，x 必须是正数（异号得负）。尝试 x = 4：(-3) × 4 = -12，正确。 所以 (-12) ÷ (-3) = 4。这验证了“负除以负得正”。 再例：(-12) ÷ 3 = ? 设结果为 x，则 3 × x = -12。x 必须是负数（异号得负）。x = -4，因为 3 × (-4) = -12。 所以 (-12) ÷ 3 = -4。这验证了“负除以正得负”。 3. 除法法则的另一种表述（转化为乘法） a ÷ b = a × ()，其中 b ≠ 0 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 例如：(-12) ÷ (-3) = (-12) × (- ) = 4。先定符号（负×负=正），再算 12×()=4。 又如：6 ÷ (-2) = 6 × (- ) = -3。先定符号（正×负=负），再算 6×()=3，结果 -3。 应用场景：当除法直接算不方便时，可以转化为乘法来简化计算。尤其是分数除法，转为乘法后可以约分。 除法转乘法的关键：除以 b 等于乘以 ，其中 b ≠ 0！ 4. 0 的除法 0 ÷ a = 0，其中 a ≠ 0 例如：0 ÷ 5 = 0，0 ÷ (-3) = 0。 原因：因为 a × 0 = 0，所以 0 ÷ a = 0。 0 可以做被除数，但绝对不能做除数！ 5 ÷ 0 无意义， 0 ÷ 0 也无意义！ 重点强调：在有理数范围内，除数不能为 0。任何除法算式都要先检验除数是否为 0。 四、典型例题精讲（基础篇） 例题1（基础计算） 计算：(1) 18 ÷ (-6)；(2) (-24) ÷ (-4)；(3) (-15) ÷ 5；(4) 0 ÷ (-7)。 解：(1) 异号得负，18÷6=3，结果 -3。(2) 同号得正，24÷4=6，结果 6。 (3) 异号得负，15÷5=3，结果 -3。(4) 0除以非零数得 0，结果 0。 关键：先定符号，再算绝对值的除法。步骤与乘法完全一致。 例题2（分数除法） 计算：(1) (- ) ÷ ()；(2) (- ) ÷ (- )。 解：分数除法转为乘法——除以一个分数等于乘以它的倒数。 (1) (- ) ÷ () = (- ) × (5/4) = (-2×5)÷(3×4) = -10÷12 = - 。 (2) (- ) ÷ (- ) = (- ) × (- ) = (3×2)÷(4×1) = 6÷4 = 。 技巧：分数除法“倒过来”，把除号后的分数倒过来变成乘法，再约分计算。 分数除法诀窍：倒数乘法，约分简算，先定符号再算值。 例题3（小数除法） 计算：(1) (-0.6) ÷ 0.2；(2) 1.5 ÷ (-0.5)。 解：(1) 异号得负，0.6÷0.2=3，结果 -3。(2) 异号得负，1.5÷0.5=3，结果 -3。 技巧：小数除法可以先当整数算，再根据小数点后面的位数调整。但更简单的做法是直接除：0.6÷0.2 = 6÷2 = 3，因为分子分母同时扩大10倍。 同理：1.5 ÷ 0.5 = 15 ÷ 5 = 3。分子分母同时扩大10倍，小数除法变成整数除法。 例题4（转化为乘法计算） 计算：(-18) ÷ (-6) ÷ 3。 解：从左到右逐步计算。 第一步：(-18) ÷ (-6) = 3（同号得正，18÷6=3）。 第二步：3 ÷ 3 = 1。 答案：1。 又解：转为乘法。(-18) ÷ (-6) ÷ 3 = (-18) × (- ) × () = 3 × () = 1。 连除运算从左到右逐步计算，或统一转为乘法后再算。不能随意交换顺序！ 五、除法与乘除混合运算 1. 运算顺序 有理数乘除混合运算的顺序规则： 同级运算从左到右逐步计算 可以把所有除法统一转为乘法后再计算 例如：(-6) × (-3) ÷ (-2) × 4。 方法一（逐步算）：(-6)×(-3)=18；18÷(-2)=-9；(-9)×4=-36。 方法二（转为乘法）：(-6)×(-3)×(- )×4 = 18×(- )×4 = -9×4 = -36。 两种方法结果一致。推荐方法二：统一转为乘法后，可以用乘法运算律简化计算。 2. 优先级问题（附加减法时） 当算式中同时有加减和乘除时：先算乘除，后算加减。 例如：(-12) ÷ (-3) + (-4) × 2。 第一步：算乘除。(-12)÷(-3)=4；(-4)×2=-8。 第二步：算加减。4 + (-8) = -4。 答案：-4。 运算顺序口诀：先乘除后加减，有括号先算括号内！ 六、典型例题精讲（揑升篇） 例题5（负数个数与符号判断） 判断下列算式结果的符号：(1) (-2)÷(-3)÷(-4)；(2) (-1)÷(-2)÷(-3)÷(-4)。 解：转为乘法后数负因数个数。 (1) (-2)÷(-3)÷(-4) = (-2)×(- )×(- )，共 3 个负因数（奇数）→ 结果为负。 (2) (-1)÷(-2)÷(-3)÷(-4) = (-1)×(- )×(- )×(- )，共 4 个负因数（偶数）→ 结果为正。 技巧：除法转为乘法后，符号规律完全一样——负因数偶个得正，奇个得负。 例题6（分数与小数混合） 计算：(- ) ÷ 0.25 × (-8)。 解：先把 0.25 化为分数。因为 0.25 = 。 第一步：(- ) ÷ () = (- ) × 4 = -3。 第二步：(-3) × (-8) = 24。 答案：24。 技巧：小数化分数后转为乘法，可以大幅简化计算。建议背识常用小数与分数的对应关系：0.25= ，0.5= ，0.75= ，0.2= 。 例题7（运算律简化） 计算：(-24) ÷ (-6) ÷ (-2)。 解：方法一（逐步）：(-24)÷(-6)=4；4÷(-2)=-2。 方法二（转为乘法）：(-24)×(- )×(- )。先看符号：3个负因数→ 负。 绝对值：24×()×() = = 2。加符号得 -2。 答案：-2。 例题8（实际应用问题） 汽车油箱有 48 升油，每天耗油 6 升，这箱油可以用多少天？如果改用节能模式每天耗油 4 升，可以多用多少天？ 解：第一问：48 ÷ 6 = 8 天。 第二问：48 ÷ 4 = 12 天。节能后多用 12 - 8 = 4 天。 答：原来可用 8 天，节能后可用 12 天，多用 4 天。 七、知识总结（必背清单） 除法法则：同号得正，异号得负，绝对值相除 a ÷ b = a × ()，其中 b ≠ 0 0 ÷ a = 0，其中 a ≠ 0 除数不能为 0,a ÷ 0 无意义 分数除法：倒过来，约分简算 运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内 除法符号与乘法一样：同号得正，异号得负。除以分数等于乘以倒数。 — 第 页 — 学科网（北京）股份有限公司 $