第七单元 运用数量关系解决问题（教学设计）2026-2027学年北师大版四年级数学上册

该小学数学教学设计聚焦数量关系运用，涵盖总量与分量、单价数量总价、速度时间路程及相遇问题。通过美术馆参观、超市购物等生活情境导入，从具体到抽象构建知识支架，衔接前后知识点。 资料以情境化教学为特色，结合猎豹速度对比等实例培养数学眼光，引导抽象数量关系发展数学思维，古代“两蔓相遇”问题渗透文化。用线段图等数学语言表达关系，提升学生应用意识，为教师提供结构化教学流程。

第七单元　运用数量关系解决问题 第1课时　总量与分量 教材第85～86页的内容。 1．结合具体情境，理解总量与分量的含义，掌握总量与分量之间的关系。 2．经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，发展数学思维。 3．感受数学与生活的密切联系，体会数学学习的价值。 理解总量与分量的关系，能运用关系解决实际问题。 从具体情境中抽象出总量与分量的数量关系。 一、情境导入 师：同学们，美术馆举办中国年画艺术展，我们一起去看看吧！(出示教材第85页情境图)从图中你获得了哪些信息？ 生：我知道了第一周有1269人来参观，周六上午中小学生来了57人，成人来了102人；周六下午中小学生来了86人，成人来了94人。周日上午中小学生来了64人，成人来了133人；周日下午中小学生来了115人，成人来了167人。 师：观察得真仔细！根据这些信息，你能提出什么数学问题呢？ 生：双休日一共有多少人参观？ 生：是周一到周五参观的人多，还是双休日参观的人多？ 师：大家提的问题都很有价值！今天我们就一起来研究这些问题，探索其中的数量关系。 二、互动新授 1．探究总量与分量的关系 师：我们先来解决“双休日一共有多少人参观”这个问题。怎样列式计算呢？ 生：周六总人数：57＋102＋86＋94＝339(人)； 周日总人数：64＋133＋115＋167＝479(人)。 生：周六总人数＋周日总人数＝双休日总人数：339＋479＝818(人)。 师：很好！还有不同的方法吗？ 生：也可以先算上午的总人数，再算下午的总人数，然后把这两天上午和下午的总人数加起来。 师：观察这些算式，它们有什么共同之处？(引导学生讨论) 生：都是把几个部分的数量合起来，求一个总数。 师：对了！像这样，把几个分量合起来就得到总量。我们可以用这样的关系来表示： (板书：总量＝分量＋分量) 2．探究已知总量和分量，求另一个分量 师：已知一周来了1269人参观，双休日有818人参观，你能求出什么？ 生：可以求出平日参观总人数：1269－818＝451(人)。 师：这个算式表示什么意思？ 生：用总量减去一个分量，得到另一个分量。 师：非常正确！已知总量和其中一个分量，求另一个分量，用减法。我们可以这样表示： (板书：分量＝总量－分量) 3．拓展举例 师：生活中还有哪些问题可以用总量与分量的关系来解决？ 生：统计全校学生总数可以把各年级人数加起来，也可以把男生人数和女生人数加起来。 生：我步行上学大约需要12分钟，已经走了5分钟，12减5等于7，大约还要7分钟才能到学校。 学生互相交流，感受总量、分量模型在生活中的广泛应用。 4．理解加减法的意义 师：结合总量与分量的关系，说一说你对加法和减法的理解。 生：加法就是把几个分量合在一起，求总量。 生：知道了总量和分量，求另一个分量，可以用减法。 师：减法是加法的逆运算。 三、巩固练习 完成教材第86页“练一练”。 引导学生观察表格，找出总量与分量，找出各段路程与总路程的关系。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：今天我们认识了总量与分量的关系，这是解决很多实际问题的重要方法。希望大家在生活中多观察、多思考，发现更多的数量关系。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 总量与分量 总量＝分量＋分量 分量＝总量－分量 本节课通过美术馆参观人数的情境引入，让学生在解决实际问题的过程中，逐步理解总量与分量的关系。教学中注重引导学生从具体情境中抽象出数量关系，通过对比不同算式的共同点，帮助学生建立数学模型。在练习环节，阅兵式和铁路线路图的情境既激发了学生的兴趣，又巩固了所学知识。整体教学效果良好，学生能较好地掌握总量与分量的关系，但在从较复杂情境中提取数量关系时，部分学生仍有困难，需要在后续练习中加强训练。 第2课时　单价、数量与总价(1) 教材第87～88页的内容。 1．结合购物情境，理解单价、数量与总价的含义，掌握三者之间的关系。 2．经历观察、比较、分析的过程，能正确运用数量关系解决实际问题。 3．感受数学在生活中的应用，培养应用意识。 1．理解并掌握“总价＝单价×数量”的数量关系。 2．理解单价的含义，能从购物情境中抽象出数量关系。 理解单价的含义，能从购物情境中抽象出数量关系。 一、情境导入 师：同学们，淘气和笑笑去超市购物了，我们一起来看看他们的购物小票吧！(出示教材第87页情境图) 师：从购物小票中你获得了哪些信息，能提出什么问题？ 生：我知道两个人都买了矿泉水和酸奶，总价都是20元。 生：为什么都花了20元，但购买的件数不一样？ 师：这个问题提得真好！今天我们就来研究购物中的数量关系。 二、互动新授 1．认识单价、数量与总价 师：我们先来看淘气的购物小票。矿泉水单价2元，买了4瓶，总价8元；酸奶单价4元，买了3盒，总价12元。观察这些数据，你有什么发现？ 生：矿泉水单价2元，数量是4瓶，总价是2×4＝8(元)。 生：酸奶单价4元，数量是3盒，总价是4×3＝12(元)。 师：观察得很仔细！这里的“2元”“4元”表示什么？ 生：表示每瓶矿泉水2元，每盒酸奶4元。 师：像这样，每件商品的价格叫作单价，买了多少叫作数量，一共花的钱叫作总价。 2．探究总价与单价、数量的关系 师：结合购物小票中的信息，说一说单价、数量与总价之间有什么关系。 生：矿泉水单价2元，数量是4瓶，总价就是2×4，也就是8元。 生：酸奶总价12元，数量是3盒，单价就是12÷3，也就是4元。 师：你能用一句话概括它们之间的关系吗？ 生：总价等于单价乘数量。 师：说得太好了！这就是我们今天要学习的数量关系。 师：知道了总价和数量，怎样求单价呢？ 生：单价等于总价除以数量。 师：知道了总价和单价，怎样求数量呢？ 生：数量等于总价除以单价。 师：完全正确！ 3．实际问题的探究 (出示教材第88页上图) 师：根据给出的信息，提出和“单价、数量与总价”有关的问题？ 生：买2千克苹果要花多少元？40元可以买几千克苹果？ 生：每本笔记本多少元？ 生：每千克大米多少元？ …… 三、巩固练习 完成教材第89页“练一练”第1题。 引导学生说出：12÷3＝4表示每袋牛奶4元；12÷4＝3表示12元可以买3袋；3×4＝12表示3袋牛奶一共12元。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：今天我们学习了单价、数量与总价的关系，这是生活中非常常用的数量关系。希望大家做生活中的有心人，发现更多的数学问题。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 单价、数量与总价(1) 总价＝单价×数量 单价＝总价÷数量 数量＝总价÷单价 本节课通过超市购物的情境引入，贴近学生生活实际，激发了学生的学习兴趣。教学中引导学生从具体的购物小票中观察、发现单价、数量与总价之间的关系，通过对比淘气和笑笑不同的购物情况，帮助学生理解三者的关系。学生在“说一说”“算一算”的过程中，逐步抽象出数量关系式。但在教学中发现，部分学生对“单价”的概念理解不够深刻，容易与总价混淆，后续需要结合更多生活实例加强辨析。 第3课时　单价、数量与总价(2) 教材第88～89页的内容。 1．进一步巩固单价、数量与总价的关系，能灵活运用解决实际问题。 2．经历提出问题、解决问题的过程，发展分析问题和解决问题的能力。 3．体会数学与生活的联系，感受数学的应用价值。 根据问题情境选择合适的关系式进行计算。 灵活运用单价、数量与总价的关系解决实际问题。 结合所学内容，加深对乘法和除法的理解。 一、情境导入 师：上节课我们学习了单价、数量与总价的关系，今天我们继续来解决一些实际问题。 (出示教材第88页“试一试”情境图) 师：观察图片，你看到了什么？能提出什么数学问题？ 生：图中有一盒蛋糕，一盒里面有12个蛋糕。可以问：4盒有多少个蛋糕？ 生：图中有数学书，每本书长26厘米，教室的长大约可以摆35本数学书。可以问：教室大约有多长？ 师：这些问题和我们上节课学习的“单价、数量与总价”有什么关系呢？让我们一起去探究吧！ 二、互动新授 1．拓展理解数量关系 师：我们先来看第一个问题，4盒有多少个蛋糕？每盒12个是什么意思？ 生：每盒12个就是每盒蛋糕的数量，4盒就是盒数。 师：这里的“每盒12个”和我们上节课学的“单价”有什么相同之处？ 生：“每盒12个”和“单价”一样，都表示一份是多少。 师：说得真好！“每盒12个”可以看作每份的数量，4盒就是份数，求总个数就是求总数，所以可以列式为12×4＝48(个)。 2．解决教室长度问题 师：再来看第二个问题，教室大约有多长？从图中你知道了什么？ 生：每本数学书长26厘米，大约可以摆35本。 师：这个问题该用什么方法解决呢？ 生：用乘法，26×35＝910(厘米)。 师：这里的26厘米和35本分别表示什么？ 生：26厘米是每本书的长度，相当于“单价”；35本是书的本数，相当于“数量”。 师：对！虽然这不是购物问题，但数量关系是一样的。每份的量×份数＝总量。 3．深入理解乘除法 师：结合前面学习的内容，再来说一说你对乘法和除法的理解。 生：乘法就是把若干个相同的数量合起来。 生：除法是把整体分成若干个相同的部分。 生：除法是乘法的逆运算。 师：无论是购物问题、蛋糕问题还是教室长度问题，它们都有相同的数量关系。只要我们找到每份是多少、有多少份，就能求出总量。 三、巩固练习 完成教材第89页“练一练”第2～3题。 学生独立完成，教师巡视指导。集体订正时，让学生说一说想法。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么新的收获？ 学生自由发言，教师总结：今天我们进一步学习了单价、数量与总价的关系，发现这个数量关系在生活中有广泛的应用。希望大家能学以致用，用数学知识解决生活中的问题。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 单价、数量与总价(2) 每份的量×份数＝总量 总量÷每份的量＝份数 总量÷份数＝每份的量 本节课是在上节课基础上的拓展与深化，通过蛋糕问题和教室长度问题，帮助学生认识到单价、数量与总价的关系不仅适用于购物情境，还可以推广到更广泛的实际问题中。教学中注重引导学生发现不同情境背后的相同数量关系，培养学生的抽象思维能力。练习环节的书店销售问题综合性较强，涉及求数量、估算、预测等多个层次，对学生提出了较高的要求。部分学生在理解“营业额”与“总价”的关系时存在困难，需要在后续教学中加强联系实际的语言训练。 第4课时　速度、时间与路程 教材第90～91页的内容。 1．结合具体情境，理解速度的含义，掌握速度、时间与路程之间的关系。 2．经历观察、比较、抽象的过程，能正确运用数量关系解决实际问题。 3．感受数学在交通、运动等领域的应用，培养数学应用意识。 理解速度的含义，掌握“路程＝速度×时间”的数量关系。 理解速度单位的特殊性，能正确读写速度。 一、情境导入 师：同学们，今天老师带来了几位特殊的“运动员”，我们来看看谁跑得最快！(出示教材第90页情境图：猎豹、轨道摄像机“猎豹”、速度滑冰运动员) 师：读一读图中的信息，说一说谁最快。 生：猎豹每分钟大约跑2千米。 生：轨道摄像机“猎豹”最快可达每小时90千米。 生：速度滑冰运动员每秒可以滑行18米。 …… 生：我觉得猎豹最快，因为2千米很远。 师：大家的判断各不相同，要比较谁最快，我们需要认识一个新的概念——速度。 二、互动新授 1．认识速度 师：猎豹每分钟大约跑2千米，这句话还可以怎样说？ 生：猎豹的速度是2千米/分。 师：2千米/分怎么读？表示什么意思？ 生：读作“2千米每分”，表示猎豹每分钟跑2千米。 师：说得很好！像这样，单位时间内所行的路程叫作速度。速度的单位很特别，既有长度单位，又有时间单位。你能用这样的方式写一写轨道摄像机和运动员的速度吗？ 生：轨道摄像机“猎豹”的速度是90千米/时。 生：速度滑冰运动员的速度是18米/秒。 师：现在我们来比较一下谁最快。要注意什么？ 生：单位不一样，不能直接比较。 师：那怎么办呢？(引导学生统一单位进行比较) 2．探究速度、时间与路程的关系 师：成人一般每4秒眨眼一次，这4秒间速度滑冰运动员能滑行多远呢？ 生：运动员每秒滑18米，4秒就是18×4＝72(米)。 师：这个算式中，18、4、72分别表示什么？ 生：18是速度，4是时间，72是路程。 师：你能用一句话概括它们之间的关系吗？ 生：路程等于速度乘时间。 师：太棒了！这就是我们今天要学习的数量关系。(板书：路程＝速度×时间) 师：知道了路程和时间，怎样求速度？ 生：速度等于路程除以时间。 师：知道了路程和速度，怎样求时间？ 生：时间等于路程除以速度。 师：完全正确！ (板书：速度＝路程÷时间　时间＝路程÷速度) 3．理解速度、时间与路程的关系 师：结合上面的情况想一想，速度、时间与路程有什么关系？ 生：运动员滑冰的速度乘时间就是滑行的路程。 教师板书：路程＝速度×时间 速度＝路程÷时间 时间＝路程÷速度 三、巩固练习 1．完成教材第91页“练一练”第1题。 引导学生正确读出速度，理解速度单位的含义。 2．完成教材第91页“练一练”第2题。 引导学生统一单位比较，感受第一宇宙速度之快。 3．完成教材第91页“练一练”第3题。 引导学生列式：60×10＝600(米)，路程＝速度×时间。140÷70＝2(时)，时间＝路程÷速度。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：今天我们认识了速度，学习了速度、时间与路程的关系。这个关系和单价、数量与总价的关系有相似之处，希望大家能举一反三，灵活运用。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 速度、时间与路程 路程＝速度×时间 速度＝路程÷时间 时间＝路程÷速度 猎豹：2千米/分　轨道摄像机“猎豹”：90千米/时 速度滑冰运动员：18米/秒 本节课通过猎豹、轨道摄像机“猎豹”和速度滑冰运动员的速度对比引入，激发了学生的学习兴趣。教学中重点引导学生理解速度的含义和速度单位的特殊性，通过读写速度、统一单位比较等活动，帮助学生建立正确的速度概念。在探究数量关系时，借助眨眼时间的趣味问题，让学生在具体计算中发现“路程＝速度×时间”的关系。练习环节的第一宇宙速度问题拓展了学生的视野，感受了速度的巨大差异。但在教学中，部分学生对速度单位的换算仍有困难，需要在后续练习中加强训练。同时，应引导学生将新学的数量关系与前面学过的单价、数量与总价的关系进行联系和对比。 第5课时　相遇问题 教材第92～93页的内容。 1．结合“两蔓相遇”问题，理解相遇问题的特点，掌握相遇问题的解决方法。 2．经历阅读理解、制订计划、解决问题、回顾反思的过程，发展解决问题的能力。 3．感受古代数学文化的魅力，培养学习数学的兴趣。 理解相遇问题的数量关系，能正确解决相遇问题。 理解相遇问题中“速度和”的含义，能用线段图分析数量关系。 一、情境导入 师：同学们，今天老师给大家带来了一道有趣的古代数学题。(出示教材第92页情境图)这是改编自我国古代数学名著《九章算术》中的“两蔓相遇”问题。 师：读一读题目，你知道了什么？ 生：一墙高9尺。瓜蔓从上往下爬，每日长5寸，葫芦蔓从下往上爬，每日长1尺。问：两蔓几日相遇？ 师：尺和寸是我国古代的长度单位，1尺＝10寸。这个问题是什么意思呢？ 生：就是问瓜蔓和葫芦蔓几天能碰到一起。 师：今天我们就来研究这种“相遇”问题。 二、互动新授 1．阅读理解 师：我们先来仔细读题，理解题意。墙高9尺是多少寸？ 生：9尺＝90寸。 师：瓜蔓每天向下长多少？葫芦蔓每天向上长多少？ 生：瓜蔓每天向下长5寸，葫芦蔓每天向上长1尺，也就是10寸。 师：“几日相遇”是什么意思？ 生：就是问什么时候能够正好碰上。 生：我猜相遇地点更靠近上面，因为葫芦蔓长得快。 师：分析得很好！接下来我们制订计划来解决这个问题。 2．制订计划 师：90÷5是瓜蔓爬到墙根的时间，可是瓜蔓和葫芦蔓一起爬，该怎么算呢？ 生：可以画图来帮助我们思考。 师：好主意！我们画一条线段表示墙高90寸。 瓜蔓从上往下爬，每日长5寸，葫芦蔓从下往上爬，每日长10寸。它们每日一共靠近多少寸？ 生：每日一共靠近5＋10＝15(寸)。 师：这个15寸表示什么？ 生：表示它们每日合起来爬的总距离，就是速度和。 师：那几日能相遇呢？ 生：90÷15＝6(日)。 师：为什么用90除以15? 生：因为总路程是90寸，每日合爬15寸，所以90÷15＝6(日)。 师：思路非常清晰！ 3．解决问题 师：我们来验证一下。 (板书：1日→5＋10＝15(寸)；2日→30寸；3日→45寸；4日→60寸；5日→75寸；6日→90寸) 师：验证结果正确吗？ 生：正确！6日正好爬了90寸，相遇了。 4．回顾反思 师：如果瓜蔓和葫芦蔓按上面的速度，经过10日相遇，这面墙有多高？ 生：15×10＝150(寸)，150寸＝15尺。 师：如果墙高90寸，经过10日相遇，它们的速度和是多少？ 生：90÷10＝9(寸/日)。 师：生活中也有类似的相遇问题。(出示教材第93页情境图)笑笑和淘气也相遇过，他们两家的距离大约是800米，他们同时从家里出发，笑笑每分钟走40米，淘气每分钟走60米，经过几分钟相遇？ 生：先求速度和：40＋60＝100(米/分)，再求时间：800÷100＝8(分)。 师：为什么这样列式？ 生：总路程是800米，他们每分钟合走100米，所以800÷100＝8(分)相遇。 师：完全正确！这就是相遇问题的基本数量关系。 三、巩固练习 两辆汽车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米，两地相距280千米，几小时后相遇？ 引导学生分析：速度和＝60＋80＝140(千米/时)，时间＝280÷140＝2(时)。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：今天我们学习了相遇问题，知道了“时间＝总路程÷速度和”。在解决问题时，要先理解题意，再画图分析，最后列式解答。希望大家能在生活中运用所学知识解决这类问题。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 相遇问题 墙高：9尺＝90寸 瓜蔓：5寸/日　葫芦蔓：1尺/日(即10寸/日) 速度和：5＋10＝15(寸/日) 相遇时间：90÷15＝6(日) 时间＝总路程÷速度和 总路程＝速度和×时间 本节课以《九章算术》中的“两蔓相遇”改编问题引入，既激发了学生的学习兴趣，又渗透了数学文化。教学中按照“阅读理解—制订计划—解决问题—回顾反思”的步骤展开，引导学生经历完整的解决问题过程。通过画线段图和列表验证，帮助学生理解相遇问题中“速度和”的含义。练习环节联系了学生熟悉的实际情境，巩固了相遇问题的解法。同时，应鼓励学生用多种方法解决问题，培养思维的灵活性。 学科网（北京）股份有限公司 $