第16章第7课《乘法公式2》课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过温故平方差公式与多项式乘法，结合正方形农田面积情景，从直接与间接计算面积建立联系，以旧知为支架自然引入新知。 其亮点在于代数推导与几何解释结合培养几何直观，通过计算观察猜想公式发展推理意识，辨析典型错误提升运算能力，分层练习与杨辉三角拓展适配不同学生。学生能深化理解减少错误，教师可高效实施教学。

第十六章 整式的乘法 16.3乘法公式 第2课时 完全平方公式（1） 学习目标： 1.经历完全平方公式的代数推导与几何面积解释，掌握两个完全平方公式的结构特征，能识别公式里的 a、b，熟练运用公式进行基础整式计算。 2.通过计算、观察、猜想、归纳得到公式，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，提升符号运算与代数推理能力。 3.重点辨析常见错误(a±b) 2 不等于 a 2±b 2，养成先识别公式结构，再规范代入运算的习惯，减少符号、漏项类运算失误。 教学重点：理解完全平方公式的结构，能正确运用完全平方公式进行基础计算。 教学难点：理解公式中字母的广泛含义，规避(a±b) 2=a 2±b 2典型错误，处理带系数、负号的完全平方运算。 平方差公式 注意 内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个项数相同的多项式的积才有可能应用平方差公式； 对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. (a+b) (a-b)=a2-b2 温故知新 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.体现了转化的思想。 (a+b)(m+n) = am +an +bm +bn 温故知新 相等 一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？ a b b a 直接求：总面积 = 间接求：总面积 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 创设情景 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 完全平方公式： (a-b)2 = a2 -2ab + b2 首平方，尾平方，积的2倍加减在中央 讲解新知 (a+b)2 = a2 +2ab + b2 完全平方公式的特点： 等号左边是两个数的和或差的平方 等号右边为二次三项式，其中两项为这两数的平方和，另一项是两数积的2倍，当a、b 同号时取“+”号，异号时取“-”号 公式中的字母 a、b 可以为数、单项式、多项式 （1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = __________； （2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = __________ ； （3）(p–1)2 = (_____)(_____) = __________ ； （4）(m–2)2 = (_____)(_____) = __________. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ p2 + 2p + 1 m + 2 m + 2 m2 + 4m + 4 p–1 p–1 p2 – 2p + 1 m–2 m–2 m2 – 4m + 4 探究新知 都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘 右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍 (a + b)2 =____________ (a – b)2 =____________ a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 猜想证明 （1）(a + b)2 与 (– a – b)2 相等吗？ (–a–b)2 = [–(a + b)]2 = (a + b)2 (–a–b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2 或 （2）(a – b)2 与 (b – a)2 相等吗？ (a–b)2 = [–(b–a)]2 = (b – a)2 (a–b)2 = a2 –2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 或 = (b – a)2 （3）(a- b)2 与 a2 -b2 相等吗？ (a–b)2 = (a –b)(a–b) a2–b2 = (a + b)(a–b) 相等 相等 不相等 公式辨析 = (a + b)2 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？ a a b b a b b 直接求：S = 间接求：S = (a + b)2 a2 + 2ab + b2 a S = S = (a–b)2 a2–2ab + b2 ab b2 a2 ab ab b2 ab 数形结合 例1　运用完全平方公式计算：　 (1) (4m + n)2； (2) 解：(1) (4m + n)2 = (4m)2 + 2·(4m)·n + n2 = 16m2 + 8mn + n2 分析：(1) a = ___，b = ____ (2) a = ___，b = ____ 4m n y 例题分析 例2　运用完全平方公式计算：　 (1) 1022； (2) 992 . 解：(1) 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2×100×2 + 22 = 10000 + 400 + 4 = 10404 (2) 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2×100×1 + 12 = 10000 – 200 + 1 = 9801 通过合理变形，利用完全平方公式，可以简化运算. 例题分析 例3.计算： (2) 9.72； (3) 9012 . （1） 解：（1）原式 = （2）原式 = (10–0.3)2 = 102–2×10×0.3 + 0.32 = 94.09 （3）原式 = (900 + 1)2 = 9002 + 2×900×1 + 12 = 811801 例题分析 例4.计算： (2) (–4x + 6y)2 . （1） ； （1）原式 = （2）原式 = (6y–4x)2 = (6y)2 –2·6y·4x + (4x)2 = 36y2–48xy +16x2 解： 杨辉三角 拓展视野 利用图中的三角形，写出 (a + b)6 的展开式. (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 拓展视野 1. 下列计算正确的是（ ） A. (2x–1)2 = 4x2–4x + 1 B. C. (x + y)2 = x2 + y2 D. (a –b)2 = b2 –a2 A 分层练习 2. 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( ) A．(a−b)2 B．(−a−b)2 C．−(a＋b)2 D．−(a−b)2 D 3. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2) (a−b)2=a2−ab+b2； (3) (−x +y)2 =x2+2xy +y2； (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2. 原式=x2−2xy +y2 不正确 不正确 不正确 不正确 分层练习 原式=a2+2ab+b2 原式=a2−2ab+b2 原式=4x2 +4xy +y2 4. 运用完全平方公式计算：（1）(x + 6)2； （2）(y – 5)2； （3）(–2x + 5)2；（4） 解：(1) (x + 6)2 = x2 + 2·x·6 + 62 (2) (y–5)2 = y2–2·y·5 + 52 = x2 + 12x + 36 = y2–10y + 25 (3) (-2x+5)2 = 52–2·2x·5 + (2x)2 = 4x2–20x+25 = (5–2x)2 分层练习 5. 运用完全平方公式计算：（1）982； （2）70.52 . 解：(1) 982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2×100×2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604 (2) 70.52 = (70 + 0.5)2 = 702 + 2×70×0.5 + 0.52 = 4900 + 70 + 0.25 = 4970.25 分层练习 6.计算： 解：（1）原式 = 72 + 2·7·a + a2 （1）(7+a)2； = a2 + 14a + 49 （2） ； （2）原式 = （3）原式 = (–3a)2 + 2·(–3a)·2 + 22 = 9a2 – 12a + 4 也可看作(2–3a)2 （3）(–3a + 2)2 . （3）原式 = 22–2×3a×2 + 3a2 = 9a2–12a + 4 分层练习 $