5.5三角恒等变换(讲义) 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角恒等变换核心知识点，以两角差的余弦公式为起点，系统推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，延伸至二倍角公式及降幂变形，构建从基础公式到应用的完整知识支架。 该资料通过新知导图梳理逻辑脉络，题型分类训练覆盖公式正逆用及拆角凑角等应用，结合易错清单与方法总结，培养学生抽象能力、推理运算及规范表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过检测与清单查漏补缺，强化知识掌握。

第 20 讲 5.5 三角恒等变换 ▶ 预习目标 ● 1．掌握两角差的余弦公式 ，能由它推出两角和与差的余弦、正弦公式。 ● 2．掌握两角和与差的正切公式 与 ，知道公式成立的条件。 ● 3．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及余弦二倍角的三种形式与降幂变形。 ● 4．会逆用公式进行化简与求值，会用"拆角、凑角"处理给值求值问题，会由三角函数值反求角。 ▶ 知识回顾 前面学习了诱导公式，它能把 、、 等特殊角与 组合后的三角函数，转化为 的三角函数。但像 、、 这类角，并不能直接用诱导公式拆成特殊角来处理。又比如已知 与 ，能否不求 本身就算出 ？本讲就来建立一套把"两个角的三角函数"与"和、差、倍角的三角函数"联系起来的公式——三角恒等变换。 ▶ 新知导图 起点 两角差的余弦： 推广 两角和与差的正弦、余弦：、 推广 两角和与差的正切： 取 二倍角：、、 变形 降幂公式与"角的配凑"，服务于化简、求值、求角 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 两角差的余弦公式 对任意角 、，都有 ：。这是本讲全部公式的"起点"，其余公式都可以由它结合诱导公式推出。 ◆ 理解提示 记忆口诀："余余加正正"——余弦的差等于余弦乘余弦加上正弦乘正弦。注意它与两角和的余弦只差一个符号，不要混淆。 ◆ 知识点 02 两角和与差的余弦、正弦公式 在 中用 代替 ，结合 、，得两角和的余弦公式 ：。 再由 可推出两角和与差的正弦公式 ：；：。 ◆ 理解提示 正弦公式口诀"正余余正，符号跟着走"：，中间是"+"； 中间是""。余弦恰好相反：和用""，差用""。 ◆ 知识点 03 两角和与差的正切公式 由 展开后分子分母同除以 ，得 ：；把 换成 得 ：。 ◆ 理解提示 两个分母恰好相反：和角是 ，差角是 。使用时必须保证 、 与 都有意义，即分母不能为 。 ◆ 知识点 04 二倍角的正弦、余弦、正切公式 在和角公式中令 ，即得二倍角公式：（）；（）；（，要求 有意义且 ）。 利用 消去其中一个， 还可写成两种常用形式： 与 。三者等价，解题时按题目给的是正弦还是余弦灵活选用。 ◆ 理解提示 "二倍角"的核心是"统一角"：把式子中出现的 与 统一起来。见到 要想到 ，见到 要想到 。 ◆ 知识点 05 公式的变形与角的配凑 由 的两种变形式解出平方项，得降幂公式：，；由 得 。降幂公式能把"二次式"化为"一次式"，是化简与求值的常用工具。 处理"给值求值"问题时，关键是观察已知角与目标角之间的关系，把目标角用已知角凑出来。常见的配凑有：，，，、 等。 ◆ 理解提示 "给值求角"分两步走：第一步先求出该角的某一个三角函数值；第二步再结合该角的取值范围，把角唯一确定下来。少了第二步，往往会多解或错解。 ▶ 题型分类训练 ◆ 题型01 两角差的余弦公式 【例 1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 把 拆成 ，由 得 。故选 A。 【变式 1-1】 对任意角 、， 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 两角差的余弦公式为 ，口诀"余余加正正"。其余三式中，第二个是两角和的余弦，第三个是两角和的正弦，第四个是两角差的正弦。故选 C。 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 逆用两角差的余弦公式，原式 。故选 B。 【变式 1-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 逆用两角差的余弦公式，原式 ；再由余弦是偶函数得 。故选 D。 ◆ 题型02 两角和的余弦公式 【例 2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 把 拆成 ，由 得 。故选 A。 【变式 2-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 把 拆成 ，则 ，其值为负数。故选 C。 【变式 2-2】 对任意角 、， 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 两角和的余弦公式为 ，口诀"余余减正正"。第二个式子是两角差的余弦，第三个是两角和的正弦，第四个是两角差的正弦。故选 B。 【变式 2-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 逆用两角和的余弦公式，原式 。故选 D。 ◆ 题型03 两角和与差的正弦公式 【例 3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 把 拆成 ，由 得 。故选 A。 【变式 3-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 把 拆成 ，由 得 。故选 C。 【变式 3-2】 （多选题）下列关于两角和与差的正弦、余弦公式的等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABD 【详解】 两角和的正弦、两角差的正弦、两角和的余弦这三个公式都正确；而两角差的余弦应为 ，中间是""，故最后一个式子错误。故选 ABD。 【变式 3-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 逆用两角差的正弦公式，原式 。故选 B。 ◆ 题型04 两角和与差的正切公式 【例 4】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 把 拆成 ，则 。分子分母同乘 得 。故选 D。 【变式 4-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 把 拆成 ，则 。分子分母同乘 得 。故选 A。 【变式 4-2】 当公式中各正切值都有意义时， 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 两角和的正切公式为 ，分母是""。第二个式子是两角差的正切公式（分母为""），第三、四个式子分母或位置都不对。故选 C。 【变式 4-3】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。故选 B。 ◆ 题型05 二倍角的正弦、余弦、正切公式 【例 5】 对任意角 ， 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 二倍角的正弦公式为 。第二个式子等于 ，第三个式子是 的一种形式，第四个式子漏乘了 。故选 D。 【变式 5-1】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 得 。故选 A。 【变式 5-2】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 已知余弦值，故选用 ，得 。故选 C。 【变式 5-3】 （多选题）下列关于 的等式中，恒成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】 ACD 【详解】 前三个式子都是二倍角的余弦公式，它们之间用 可以互推，都恒成立；而 是二倍角的正弦公式，不等于 。故选 ACD。 ◆ 题型06 二倍角公式的变形与降幂 【例 6】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 用降幂公式 ，取 则 ，故 。故选 B。 【变式 6-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 用降幂公式 ，取 则 ，故 。故选 D。 【变式 6-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 ，取 得 。故选 A。 【变式 6-3】 （多选题）下列等式中，恒成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 前三个式子分别是两个降幂公式与二倍角正弦公式的变形，都成立；而由同角三角函数的基本关系应有 ，不等于 。故选 ABC。 ◆ 题型07 公式的逆用与角的配凑 【例 7】 已知 ，且 、 都有意义，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 由 及和角公式得 ，即 。于是 。故选 C。 【变式 7-1】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 注意 ，故 。又 ，代入得 。故选 B。 【变式 7-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 逆用两角和的正弦公式，原式 。故选 D。 【变式 7-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 逆用两角和的正切公式，原式 。故选 A。 ◆ 题型08 给值求值 【例 8】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 因为 是第二象限角，所以 ，由 得 。于是 。故选 C。 【变式 8-1】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 已知余弦值，直接用 ，得 。这里不必再求 ，也不受象限影响。故选 B。 【变式 8-2】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 由 得 。故选 D。 【变式 8-3】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 已知正弦值，故选用 ，得 。故选 A。 ◆ 题型09 给值求角与角的变换 【例 9】 已知 、 都是锐角，，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 先求函数值：。再定范围：因为 、 都是锐角，所以 ；又 ，故 ，于是 。故选 C。 【变式 9-1】 已知 、 都是锐角，，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 先求函数值：。再定范围：由 、 都是锐角得 ；又 ，故 ，于是 。故选 B。 【变式 9-2】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 把 配凑成 ，于是 。故选 D。 【变式 9-3】 （多选题）已知 、 都是锐角，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 BCD 【详解】 ，结合 且正切值为正得 ，故前两条正确；又 ，故第三条正确而第四条错误。故选 BCD。 ◆ 题型10 三角函数式的化简与求值 【例 10】 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 分别展开：，。两式相加，含 的项抵消，得 。故选 A。 【变式 10-1】 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 分别展开：，。两式相减，含 的项抵消，得 。故选 C。 【变式 10-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 逆用二倍角的余弦公式 ，取 ，原式 。故选 B。 【变式 10-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 把 写成 ，则原式 。故选 D。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、单项选择题（8 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 逆用两角和的余弦公式，原式 。故选 A。 2． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 由两角和的正弦公式得 。故选 C。 3． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。故选 B。 4． 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 是第二象限角，故 。于是 。故选 D。 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 逆用 ，取 ，原式 。故选 A。 6． 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 用 。故选 C。 7． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。分子分母同乘 得 。故选 B。 8． 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 分别展开后相减，含 的项抵消，得 。故选 D。 ◆ 二、多项选择题（4 题） 9． （多选题）下列两角和与差的公式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABD 【详解】 前三个分别是两角差的余弦、两角和的余弦、两角和的正弦公式，都正确；而两角差的正弦应为 ，最后一个式子把两项写反了。故选 ABD。 10． （多选题）关于二倍角公式，下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】 ACD 【详解】 前三个分别是二倍角的正弦、余弦、正切公式，都成立；而 漏乘了 ，一般不成立（例如取 ，左边为 ，右边为 ）。故选 ACD。 11． （多选题）下列计算中，结果正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 第一个式子左边 ，正确；第二个式子左边 ，正确；第三个式子左边 ，正确；第四个式子左边 ，不等于 ，错误。故选 ABC。 12． （多选题）已知 ，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】 BCD 【详解】 ，故第一条正确、第四条错误。又由 可取 、（同号即可），于是 ，，第二、三条正确。故选 BCD。 ◆ 三、填空题（4 题） 13． ________________。 【答案】 【详解】 把 拆成 ，则 。 14． 已知 ，，则 ________________。 【答案】 【详解】 是第一象限角，故 ，于是 。 15． ________________。 【答案】 【详解】 由 得 ，即 ，移项得 。 16． ________________。 【答案】 【详解】 逆用 ，取 ，原式 。 ◆ 四、解答题（4 题） 17． 已知 ，。（1）求 ；（2）求 ；（3）求 。 【答案】 （1）；（2）；（3）。 【详解】 先求 ：因为 ，所以 ，。（1）。（2）。（3）。检验：由 ，用 ，结果一致。 18． 已知 ，，且 、 都是锐角，求 。 【答案】 。 【详解】 第一步，求和角的正切值：。第二步，确定角的范围：因为 、 都是锐角，所以 ，，从而 。又 ，而正切值在 上只有当角落在 时才为正，故 。在 内正切值为 的角只有一个，即 ，所以 。 19． 已知 ，，，。求 与 的值。 【答案】 ，。 【详解】 先补齐所需的四个函数值。由 是第二象限角得 ；由 是第一象限角得 。（1）用两角差的余弦公式：。（2）用两角和的正弦公式：。检验：由 、 知 ；由 、 知 。于是 ，余弦约为 ，与 吻合；，正弦约为 ，与 吻合。 20． 已知 ，。（1）求 ；（2）求 。 【答案】 （1）；（2）。 【详解】 （1）把已知式两边平方：。又已知 ，故 ，得 。（2）先判符号：由 知 与 异号；又 时 ，故 ，即 ，于是 。再算平方：。结合 ，得 。检验：由 与 联立解得 、，此时 ，与（1）一致。 ▶ 易错清单 ● 1．公式的符号记反： 中间是""， 中间是""；正弦恰好相反， 中间是""， 中间是""。 ● 2．正切公式的分母记反： 的分母是 ， 的分母是 ；用之前还要确认分母不为 。 ● 3．给值求值时漏掉象限讨论：已知 求 必须先看 所在象限再定符号，否则 、 极易差一个负号。 ● 4．给值求角只算到"函数值"就停：必须再用角的范围把角唯一确定下来，否则会漏解或多解。 ● 5． 的三种形式要按已知条件选用：已知 用 ，已知 用 ，两者都已知才用 。 ● 6．拆角时搞错方向：应把"目标角"用"已知角"表示，例如 ，而不是反过来硬凑。 ▶ 方法总结墙 （1）记公式：以 为根，用 代 推出 ，用 推出正弦公式，两式相除得正切公式，令 得二倍角公式。 （2）正用与逆用：正用是"把和差倍角展开"，逆用是"把散式收成一个角"，看到 、 这类结构就要想到逆用。 （3）选形式： 三种形式按需选用；遇到 、、 这类二次结构，用降幂公式化为一次，即 、、。 （4）凑角：目标角 已知角的线性组合。常用 、、、。 （5）给值求值三步走：定象限 补齐所需的 、、 代入公式计算。 （6）给值求角两步走：先求该角的某一三角函数值，再结合范围定角。范围宁可写细一点，也不要省掉这一步。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 20 讲 5.5 三角恒等变换 ▶ 预习目标 ● 1．掌握两角差的余弦公式 ，能由它推出两角和与差的余弦、正弦公式。 ● 2．掌握两角和与差的正切公式 与 ，知道公式成立的条件。 ● 3．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及余弦二倍角的三种形式与降幂变形。 ● 4．会逆用公式进行化简与求值，会用"拆角、凑角"处理给值求值问题，会由三角函数值反求角。 ▶ 知识回顾 前面学习了诱导公式，它能把 、、 等特殊角与 组合后的三角函数，转化为 的三角函数。但像 、、 这类角，并不能直接用诱导公式拆成特殊角来处理。又比如已知 与 ，能否不求 本身就算出 ？本讲就来建立一套把"两个角的三角函数"与"和、差、倍角的三角函数"联系起来的公式——三角恒等变换。 ▶ 新知导图 起点 两角差的余弦： 推广 两角和与差的正弦、余弦：、 推广 两角和与差的正切： 取 二倍角：、、 变形 降幂公式与"角的配凑"，服务于化简、求值、求角 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 两角差的余弦公式 对任意角 、，都有 ：。这是本讲全部公式的"起点"，其余公式都可以由它结合诱导公式推出。 ◆ 理解提示 记忆口诀："余余加正正"——余弦的差等于余弦乘余弦加上正弦乘正弦。注意它与两角和的余弦只差一个符号，不要混淆。 ◆ 知识点 02 两角和与差的余弦、正弦公式 在 中用 代替 ，结合 、，得两角和的余弦公式 ：。 再由 可推出两角和与差的正弦公式 ：；：。 ◆ 理解提示 正弦公式口诀"正余余正，符号跟着走"：，中间是"+"； 中间是""。余弦恰好相反：和用""，差用""。 ◆ 知识点 03 两角和与差的正切公式 由 展开后分子分母同除以 ，得 ：；把 换成 得 ：。 ◆ 理解提示 两个分母恰好相反：和角是 ，差角是 。使用时必须保证 、 与 都有意义，即分母不能为 。 ◆ 知识点 04 二倍角的正弦、余弦、正切公式 在和角公式中令 ，即得二倍角公式：（）；（）；（，要求 有意义且 ）。 利用 消去其中一个， 还可写成两种常用形式： 与 。三者等价，解题时按题目给的是正弦还是余弦灵活选用。 ◆ 理解提示 "二倍角"的核心是"统一角"：把式子中出现的 与 统一起来。见到 要想到 ，见到 要想到 。 ◆ 知识点 05 公式的变形与角的配凑 由 的两种变形式解出平方项，得降幂公式：，；由 得 。降幂公式能把"二次式"化为"一次式"，是化简与求值的常用工具。 处理"给值求值"问题时，关键是观察已知角与目标角之间的关系，把目标角用已知角凑出来。常见的配凑有：，，，、 等。 ◆ 理解提示 "给值求角"分两步走：第一步先求出该角的某一个三角函数值；第二步再结合该角的取值范围，把角唯一确定下来。少了第二步，往往会多解或错解。 ▶ 题型分类训练 ◆ 题型01 两角差的余弦公式 【例 1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 对任意角 、， 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 的值为（ ） A． B． C． D． ◆ 题型02 两角和的余弦公式 【例 2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 对任意角 、， 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 的值为（ ） A． B． C． D． ◆ 题型03 两角和与差的正弦公式 【例 3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 （多选题）下列关于两角和与差的正弦、余弦公式的等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 的值为（ ） A． B． C． D． ◆ 题型04 两角和与差的正切公式 【例 4】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 当公式中各正切值都有意义时， 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． ◆ 题型05 二倍角的正弦、余弦、正切公式 【例 5】 对任意角 ， 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 5-1】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 5-2】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 5-3】 （多选题）下列关于 的等式中，恒成立的有（ ） A． B． C． D． ◆ 题型06 二倍角公式的变形与降幂 【例 6】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 6-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 6-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 6-3】 （多选题）下列等式中，恒成立的有（ ） A． B． C． D． ◆ 题型07 公式的逆用与角的配凑 【例 7】 已知 ，且 、 都有意义，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 7-1】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 7-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 7-3】 的值为（ ） A． B． C． D． ◆ 题型08 给值求值 【例 8】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 8-1】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 8-2】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 8-3】 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． ◆ 题型09 给值求角与角的变换 【例 9】 已知 、 都是锐角，，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 9-1】 已知 、 都是锐角，，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 9-2】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 9-3】 （多选题）已知 、 都是锐角，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． ◆ 题型10 三角函数式的化简与求值 【例 10】 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式 10-1】 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式 10-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 10-3】 的值为（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、单项选择题（8 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 2． 的值为（ ） A． B． C． D． 3． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 4． 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 6． 已知 ，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 7． 的值为（ ） A． B． C． D． 8． 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． ◆ 二、多项选择题（4 题） 9． （多选题）下列两角和与差的公式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 10． （多选题）关于二倍角公式，下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 11． （多选题）下列计算中，结果正确的有（ ） A． B． C． D． 12． （多选题）已知 ，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． ◆ 三、填空题（4 题） 13． ________________。 14． 已知 ，，则 ________________。 15． ________________。 16． ________________。 ◆ 四、解答题（4 题） 17． 已知 ，。（1）求 ；（2）求 ；（3）求 。 18． 已知 ，，且 、 都是锐角，求 。 19． 已知 ，，，。求 与 的值。 20． 已知 ，。（1）求 ；（2）求 。 ▶ 易错清单 ● 1．公式的符号记反： 中间是""， 中间是""；正弦恰好相反， 中间是""， 中间是""。 ● 2．正切公式的分母记反： 的分母是 ， 的分母是 ；用之前还要确认分母不为 。 ● 3．给值求值时漏掉象限讨论：已知 求 必须先看 所在象限再定符号，否则 、 极易差一个负号。 ● 4．给值求角只算到"函数值"就停：必须再用角的范围把角唯一确定下来，否则会漏解或多解。 ● 5． 的三种形式要按已知条件选用：已知 用 ，已知 用 ，两者都已知才用 。 ● 6．拆角时搞错方向：应把"目标角"用"已知角"表示，例如 ，而不是反过来硬凑。 ▶ 方法总结墙 （1）记公式：以 为根，用 代 推出 ，用 推出正弦公式，两式相除得正切公式，令 得二倍角公式。 （2）正用与逆用：正用是"把和差倍角展开"，逆用是"把散式收成一个角"，看到 、 这类结构就要想到逆用。 （3）选形式： 三种形式按需选用；遇到 、、 这类二次结构，用降幂公式化为一次，即 、、。 （4）凑角：目标角 已知角的线性组合。常用 、、、。 （5）给值求值三步走：定象限 补齐所需的 、、 代入公式计算。 （6）给值求角两步走：先求该角的某一三角函数值，再结合范围定角。范围宁可写细一点，也不要省掉这一步。 学科网（北京）股份有限公司 $