第22讲 三角恒等变换暑假预习讲义（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第22讲 三角恒等变换（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两角差的余弦公式 知识点02：两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 知识点03：两角和与差的正切公式 知识点04：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点05：半角公式 知识点06：三角恒等变换与三角函数 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦与正切 题型02：用与逆用和、差角的余弦公式化简、求值 题型03：用与逆用和、差角的正弦公式化简、求值 题型04：用与逆用和、差角的正切公式化简、求值 题型05：二倍角的正弦、余弦、正切公式 题型06：降幂公式 题型07：辅助角公式 题型08：三角恒等变换的化简问题 题型09：给值求值型问题 题型10：半角公式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)． 注意点： (1)该公式对任意角都能成立． (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和． (3)公式的逆用仍然成立． 【例1】利用两角差余弦公式求的值。 【知识点02】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 1．两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． 2．两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 【例2】求值。 【知识点03】两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)，简记作T(α＋β)． 2．两角差的正切公式 tan(α－β) ＝，其中α，β，α－β≠kπ＋ (k∈Z)，简记作T(α－β)． 3．T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan αtan β＝1－ 4．T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； tan αtan β＝ 注意点： (1)只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)时，上述公式才能成立． (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”． 【例3】已知，，求的值。 【知识点04】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦公式 sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2．二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3．二倍角的正切公式 tan 2α＝，其中α，2α≠kπ＋ (k∈Z)，简记作T2α. 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想． (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)． (4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝. 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α. 【例4】已知，求的值。 【知识点05】半角公式 半角公式 ； ； . 注意点： 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号． 【例5】求的值。 【知识点06】三角恒等变换与三角函数 辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ) (其中) 注意点： (1)该函数的最大值为，最小值为－ (2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)． 【例6】化简并求最值： 【题型01】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦与正切 【典例1-1】（25-26高一下·江西南昌·期中）若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·甘肃定西·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知是第一象限角，且，则的值为_________． 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，,均为锐角，求的值． 【题型02】用与逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【典例2-1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·甘肃兰州·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）求值：______． 【变式2-3】（25-26高一下·四川成都·期中）（1）证明：； （2）已知，．求，的值（用m表示）． 【题型03】用与逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【典例3-1】（25-26高一下·江西景德镇·期末）的结果为（     ） A． B． C．0 D． 【变式3-1】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知α∈，β－α∈，，，（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一下·陕西渭南·期中）_____． 【变式3-3】（25-26高一下·上海长宁·期末）已知，，，，求和的值； 【题型04】用与逆用和、差角的正切公式化简、求值 【典例4-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·山东日照·期中）若且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·江西·期中）求值：______. 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为锐角三角形的内角，求证：． 【题型05】二倍角的正弦、余弦、正切公式 【典例5-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）（24-25高一下·四川南充·阶段检测）下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课后作业）证明：． 【变式5-3】（25-26高一下·江西赣州·期末）已知为锐角，为钝角且，. (1)求的值； (2)求的值. 【题型06】降幂公式 【典例6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】已知，则__________. 【变式6-3】已知，．求 （）； （）的值． 【题型07】辅助角公式 【典例7-1】（25-26高一下·广东珠海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一下·江苏镇江·期中）若对于恒成立，则__________. 【变式7-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求的值． 【题型08】三角恒等变换的化简问题 【典例8-1】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测） （    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·上海·开学考试）设为第四象限的角，若，则________________. 【变式8-2】（多选）（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一下·重庆綦江·期末），其最小正周期为． (1)求的值及函数的单调减区间； (2)已知，求． 【题型09】给值求值型问题 【典例9-1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中），则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知，则__________. 【变式9-2】（多选）（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·福建莆田·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【题型10】半角公式 【典例10-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一下·全国·课前预习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，，那么的值为______． 【变式10-3】（2026高一·全国·专题练习）在中，已知，求证：． 知识点01两角和与差公式（基础母公式） 1. 余弦和差公式 口诀：余余正正，和差反号 2. 正弦和差公式 口诀：正余余正，和差同号 3. 正切和差公式 口诀：分子同号，分母异号 适用条件： 知识点02二倍角公式（高频必考） 二倍角公式由和角公式推导得出，可正用、逆用、降幂变形 1. 正弦二倍角 2. 余弦二倍角（三组万能公式） 3. 正切二倍角 4. 核心降幂变形（化简专用） 知识点03半角公式（符号优先判象限） 根式形式需判断符号，有理式形式无符号争议，为解题首选 1. 根式形式 符号规则：正负由所在象限决定 2. 无符号有理式形式（重点） 知识点04三角恒等变换综合核心：辅助角公式 用于将正余弦一次式归一为标准型，是求解三角函数周期、单调、最值的终极工具 其中辅助角 归一后标准形式：，可直接套用三角函数所有性质解题 知识点05四大核心解题技巧 1. 角的配凑：将未知角拆分为已知角的和、差、倍、半，如、； 2. 公式灵活用：优先公式逆用、变形用，高频用于降幂、凑角化简； 3. 统一思想：化简时优先统一角度、统一函数名称、统一式子结构； 4. 范围优先：求值、判符号问题，必须先确定角的象限与取值范围。 知识点06本节高频易错点总结 1. 正切和差、二倍角公式有定义域限制，需优先检验角度是否使正切有意义； 2. 半角根式公式必须判断象限符号，不可随意默认正值； 3. 余弦和差公式符号与正弦和差公式符号规律易混淆，需区分记忆； 4. 二倍角余弦三个公式适用场景不同，降幂化简优先用变形公式； 5. 辅助角公式归一后，需准确确定辅助角，避免单调性、最值求解错误。 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）设，则有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北承德·期末）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东滨州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·河北承德·期末）下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·青海西宁·期末）下列式子中结果为的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·山东枣庄·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一下·贵州安顺·期末）已知，，则_______. 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）若，则__________. 14．（25-26高一下·四川凉山·期末）若，，则__________． 四、解答题 15．（2026高一·全国·专题练习）证明：． 16．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）求值： (1)； (2)． 17．（25-26高一下·上海黄浦·期末）（1）若不是直角三角形，求证：． （2）已知，且，，求的值． 18．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知，均为锐角，． (1)求的值； (2)若，求的值． 19．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 三角恒等变换（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两角差的余弦公式 知识点02：两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 知识点03：两角和与差的正切公式 知识点04：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点05：半角公式 知识点06：三角恒等变换与三角函数 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦与正切 题型02：用与逆用和、差角的余弦公式化简、求值 题型03：用与逆用和、差角的正弦公式化简、求值 题型04：用与逆用和、差角的正切公式化简、求值 题型05：二倍角的正弦、余弦、正切公式 题型06：降幂公式 题型07：辅助角公式 题型08：三角恒等变换的化简问题 题型09：给值求值型问题 题型10：半角公式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)． 注意点： (1)该公式对任意角都能成立． (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和． (3)公式的逆用仍然成立． 【例1】利用两角差余弦公式求的值。 解：角度配凑：，代入两角差余弦公式： 代入特殊角三角函数值： 分步计算： 答：. 【知识点02】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 1．两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． 2．两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 【例2】求值。 解：角度配凑：，套用两角和正弦公式： 代入特殊角数值： 答：. 【知识点03】两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)，简记作T(α＋β)． 2．两角差的正切公式 tan(α－β) ＝，其中α，β，α－β≠kπ＋ (k∈Z)，简记作T(α－β)． 3．T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan αtan β＝1－ 4．T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； tan αtan β＝ 注意点： (1)只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)时，上述公式才能成立． (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”． 【例3】已知，，求的值。 解：直接代入两角和正切公式： 答：. 【知识点04】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦公式 sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2．二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3．二倍角的正切公式 tan 2α＝，其中α，2α≠kπ＋ (k∈Z)，简记作T2α. 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想． (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)． (4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝. 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α. 【例4】已知，求的值。 解：第一步：求 由，余弦为负： 第二步：计算 第三步：计算 答：. 【知识点05】半角公式 半角公式 ； ； . 注意点： 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号． 【例5】求的值。 解：角度配凑：，为第一象限角，正弦取正号。 代入： 答：. 【知识点06】三角恒等变换与三角函数 辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ) (其中) 注意点： (1)该函数的最大值为，最小值为－ (2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)． 【例6】化简并求最值： 解：第一步：辅助角公式归一化简 第二步：求函数最值 由，得： 答：，最大值，最小值 【题型01】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦与正切 【典例1-1】（25-26高一下·江西南昌·期中）若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案. 【详解】由，，得， 所以. 【变式1-1】（25-26高一下·甘肃定西·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解. 【详解】已知， 则， 则 . 【变式1-2】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知是第一象限角，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系求得，再结合正切的差角公式求解即可. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 又因为 所以． 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，,均为锐角，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的余弦公式求解. 【详解】由和为锐角，得， 由和，得， 所以 ． 【题型02】用与逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【典例2-1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 【变式2-1】（25-26高一下·甘肃兰州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 【变式2-2】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）求值：______． 【答案】/ 【详解】原式． 【变式2-3】（25-26高一下·四川成都·期中）（1）证明：； （2）已知，．求，的值（用m表示）． 【答案】 （1）注意到，， 代入左边展开即可； ； （2）， ． 【分析】（1）利用和差公式进行证明； （2）设，对进行平方，再相加结合和差化简，开方即可求出，两式相减即可求． 【详解】解：（1）略 （2）设，则两边平方，得，（*） 将已知式两边平方，得，（**） 将两式（*）（**）相加，得， 即，故． 将两式（*）（**）相减，得， 所以， ， ， ． 【题型03】用与逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【典例3-1】（25-26高一下·江西景德镇·期末）的结果为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】. 【变式3-1】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知α∈，β－α∈，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用结合两角和的正弦公式化简即可 【详解】因为，，，， 所以,, 所以 【变式3-2】（25-26高一下·陕西渭南·期中）_____． 【答案】1 【详解】. 【变式3-3】（25-26高一下·上海长宁·期末）已知，，，，求和的值； 【答案】， 【详解】由于，，，，故， 所以， . 【题型04】用与逆用和、差角的正切公式化简、求值 【典例4-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 【变式4-1】（25-26高一下·山东日照·期中）若且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正切公式化简计算即可得解. 【详解】因为，由两角和的正切公式可得， 整理可得， 所以 . 【变式4-2】（25-26高一下·江西·期中）求值：______. 【答案】 【详解】由， 得， 所以． 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为锐角三角形的内角，求证：． 【答案】证明：在中，可得，所以， 可得， 又由，所以， 可得， 所以． 【分析】由三角形的内角和定理，得到，结合两角和的正切公式，进行化简，即可得证. 【详解】略. 【题型05】二倍角的正弦、余弦、正切公式 【典例5-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 【变式5-1】（多选）（24-25高一下·四川南充·阶段检测）下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式可判断ABD选项；计算出的值，可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A满足条件； 对于D选项，，D满足条件； 对于C选项，，C不满足条件； 对于B选项，，而，故，B不满足条件. 故选：AD. 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课后作业）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由平方差公式结合正弦、余弦二倍角公式从左向右证明即可. 【详解】证明：左边 右边． 得证. 【变式5-3】（25-26高一下·江西赣州·期末）已知为锐角，为钝角且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合条件求出，利用同角的平方关系和商数关系即可求解； （2）利用同角的平方关系和商数关系求出，结合二倍角的正切公式求出，最后利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又且为锐角，解得； 所以； （2）由（1）可求得， 因为为钝角，又，所以， 所以，. 【题型06】降幂公式 【典例6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 【变式6-1】已知，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合降次公式化简函数解析式，再根据正弦函数图像性质，即可求解. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，即， 故函数值域为. 故选：B. 【变式6-2】已知，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 【变式6-3】已知，．求 （）； （）的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先用降幂公式化简，进而用诱导公式即可求得； （2）先将降幂化简；将进行通分变形为，再通过二倍角公式进行化简，通过（1）求出，进而解出答案. 【详解】（1）∵，∴， （2） ∵，∴，∴，. ∴原式. 【题型07】辅助角公式 【典例7-1】（25-26高一下·广东珠海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式结合二倍角余弦公式可得答案. 【详解】， 则. 【变式7-1】设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，结合周期可得为正整数，利用对称轴可得答案. 【详解】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 【变式7-2】（25-26高一下·江苏镇江·期中）若对于恒成立，则__________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】因为，其中，， 所以. 【变式7-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据两角差的余弦定理和平方差公式进行化简，再由辅助角公式计算即可. 【详解】因为，所以 ． 【题型08】三角恒等变换的化简问题 【典例8-1】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测） （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系将切化弦，二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得； 【详解】 . 【变式8-1】（24-25高一下·上海·开学考试）设为第四象限的角，若，则________________. 【答案】/ 【分析】将化为的过程，利用两角和差的三角公式以及倍角公式化简即可. 【详解】因 ， 则，解得， 又为第四象限的角，则，， . 故答案为：. 【变式8-2】（多选）（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对A选项，结合辅助角公式化简；对B选项，利用二倍角余弦公式计算；对C选项，将转化为，利用诱导公式化简后计算即可；对D选项，利用积化和差公式和两角差的余弦公式化简，再结合特殊角三角函数值计算. 【详解】选项A，，A正确. 选项B，，B正确. 选项C，因为，故，原式，C正确. 选项D，由积化和差公式：， 代入：，D错误. 【变式8-3】（25-26高一下·重庆綦江·期末），其最小正周期为． (1)求的值及函数的单调减区间； (2)已知，求． 【答案】(1)，单调减区间为． (2)． 【分析】（1）先通过三角恒等变换把函数化成的标准形式，再用周期公式求，最后结合正弦函数的单调性求单调减区间； （2）先代入已知条件求出，再根据的范围确定的象限，求出其余弦值，最后用余弦差角公式展开计算 【详解】（1） 化简函数： ． 由最小正周期，得，． 由，解得，， 故单调减区间为． （2），即． 由，得，又，故， 则． 所以 【题型09】给值求值型问题 【典例9-1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 【变式9-1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知，则__________. 【答案】 【详解】. 【变式9-2】（多选）（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误； 选项B，因为为锐角，所以，， 则， ，B错误； ， 选项C，由B选项可知，C正确； 选项D，由B选项可知，D正确 【变式9-3】（25-26高一上·福建莆田·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据及，结合，求出、的值，代入计算即可． （2）根据两角差的余弦公式及二倍角公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以，故， 因为，则，结合， 所以，， 可得 （2）易知，． 【题型10】半角公式 【典例10-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 【变式10-1】（25-26高一下·全国·课前预习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【详解】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 【变式10-2】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系，及半角公式即可求解． 【详解】由，，则， 所以，， 所以，故． 【变式10-3】（2026高一·全国·专题练习）在中，已知，求证：． 【答案】法一：由， 则， ， 两式相除得， 又，， 所以，即． 法二(利用万能公式) 由cos A＝及万能公式可得， 即， 则交叉相乘，并整理得，即． 【分析】法一：先分别计算，，再算，再根据半角公式即可证明； 法二：利用万能公式化简即可得证． 【详解】略 知识点01两角和与差公式（基础母公式） 1. 余弦和差公式 口诀：余余正正，和差反号 2. 正弦和差公式 口诀：正余余正，和差同号 3. 正切和差公式 口诀：分子同号，分母异号 适用条件： 知识点02二倍角公式（高频必考） 二倍角公式由和角公式推导得出，可正用、逆用、降幂变形 1. 正弦二倍角 2. 余弦二倍角（三组万能公式） 3. 正切二倍角 4. 核心降幂变形（化简专用） 知识点03半角公式（符号优先判象限） 根式形式需判断符号，有理式形式无符号争议，为解题首选 1. 根式形式 符号规则：正负由所在象限决定 2. 无符号有理式形式（重点） 知识点04三角恒等变换综合核心：辅助角公式 用于将正余弦一次式归一为标准型，是求解三角函数周期、单调、最值的终极工具 其中辅助角 归一后标准形式：，可直接套用三角函数所有性质解题 知识点05四大核心解题技巧 1. 角的配凑：将未知角拆分为已知角的和、差、倍、半，如、； 2. 公式灵活用：优先公式逆用、变形用，高频用于降幂、凑角化简； 3. 统一思想：化简时优先统一角度、统一函数名称、统一式子结构； 4. 范围优先：求值、判符号问题，必须先确定角的象限与取值范围。 知识点06本节高频易错点总结 1. 正切和差、二倍角公式有定义域限制，需优先检验角度是否使正切有意义； 2. 半角根式公式必须判断象限符号，不可随意默认正值； 3. 余弦和差公式符号与正弦和差公式符号规律易混淆，需区分记忆； 4. 二倍角余弦三个公式适用场景不同，降幂化简优先用变形公式； 5. 辅助角公式归一后，需准确确定辅助角，避免单调性、最值求解错误。 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据降幂公式计算，即可得答案. 【详解】， 故选：A 2．（25-26高一下·北京·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦二倍角公式，对原式化简，可求得，再结合正余弦的平方关系，即可求解. 【详解】由正弦二倍角公式，可得， 所以， 又，所以， 所以化简得，解得， 所以. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式、二倍角正弦公式和半角公式，先把，，分别化成同一类三角函数值，再利用余弦函数在上的单调性比较大小． 【详解】因为，，所以. 由两角和的余弦公式，得. 因为.所以. 又因为，所以. 由半角公式，得. 即. 因为为锐角，所以，从而. 又因为，所以. 由于. 且余弦函数在上单调递减，所以. 即. 4．（25-26高一下·河北承德·期末）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简根号内的三角函数式，再结合半角公式与α的取值范围去绝对值即可得到结果. 【详解】已知，因此，可得， 根据诱导公式得 ， 由余弦半角公式得 ， 结合，去绝对值得. 5．（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简得，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 所以. 6．（25-26高一下·山东滨州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 且，则， 所以 . 7．已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 8．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 因为，，所以，所以. 所以 . 二、多选题 9．（25-26高一下·河北承德·期末）下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式对各选项逐一化简求值，判断结果是否为． 【详解】对于A，由诱导公式得，，， 则原式，选项A错误； 对于B，由二倍角公式得，，选项B正确； 对于C，原式，选项C正确； 对于D，由两角和的正切公式得， 原式， 因为， 所以，选项D错误． 10．（25-26高一下·青海西宁·期末）下列式子中结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】借助两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及其应用分析各选项即可． 【解答】A： ，错误； B：； C：； D：． 11．（25-26高一下·山东枣庄·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，，，， 则，， 可得，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 三、填空题 12．（25-26高一下·贵州安顺·期末）已知，，则_______. 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系式和两角和正弦公式计算得到结果； 【详解】已知，，所以 则. 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用和差角的正余弦公式，结合凑特殊角的方法求解. 【详解】由，得， 若，则，与矛盾，因此，， 所以 . 14．（25-26高一下·四川凉山·期末）若，，则__________． 【答案】 【分析】首先利用同角三角函数的商数关系，将已知的正切条件转化为正弦、余弦的比例关系，再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】 由 ，得 ，交叉相乘整理得： ， 已知 ，代入得 ，解得： . 根据正弦和角公式： 利用二倍角公式，， 代入得： 四、解答题 15．（2026高一·全国·专题练习）证明：． 【答案】左边 右边， 所以． 16．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 17．（25-26高一下·上海黄浦·期末）（1）若不是直角三角形，求证：． （2）已知，且，，求的值． 【答案】（1）证明： 不是直角三角形， ， ， ， ， ，得证． （2） 【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的正切公式即可证明； （2）由题意利用同角三角函数基本关系可求，的值，由结合两角差的正弦公式可求解的值. 【详解】（1）略； （2）因为，，所以， 又因为，所以，因为， 所以，， 所以 ． 18．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知，均为锐角，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及，均为锐角，可得； （2）法1：求解；法2：设，由 求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以，     因为，所以， 所以． （2）法1：由（1），所以， 所以，即． 因为，且， 所以，     ， 所以 ．     法2：设，因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以 ， 所以. 19．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可； （3）根据两角和正弦公式、辅助角公式，结合同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1） ； （2） （3） ， 因为，所以， 所以， 所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $