5.6.1 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换核心知识点，从y＝sinx出发，依次探究φ（左右平移）、ω（横向伸缩）、A（纵向伸缩）对图象的影响，构建“平移—伸缩—综合变换”的学习支架，系统梳理参数作用及作图方法。 资料以摩天轮、交流电实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过问题链引导学生探究参数影响，发展逻辑推理能力，例题对比变换路径强化数学抽象。课中助力教师引导直观想象，课后分层训练与小结帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第一课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换 课标要求 1.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响（直观想象）. 2.会利用图象的变换解决简单的问题（数学抽象、逻辑推理）. 情境导入 　　游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y＝Asin（ωx＋φ）＋b；再则，日常生活中家用电器使用的交流电，它的电流I与时间t的关系一般可以写成I＝Imsin（ωt＋φ）形式，其中，Im、ω、φ都是常数.我们本节课就研究此类函数的图象与y＝sin x（y＝cos x）图象存在怎样的关系，即研究A，ω，φ对函数图象的影响. 知识点一｜φ对函数y＝sin（x＋φ）的图象的影响 问题1　（1）函数y＝sin x的图象与函数y＝sin（x－）的图象有什么关系？ 提示：把y＝sin x的图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin（x－）的图象. （2）函数y＝sin x的图象与函数y＝sin（x＋）的图象有什么关系？ 提示：把y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝sin（x＋）的图象. 【知识梳理】 φ对函数y＝sin（x＋φ）的图象的影响 【例1】　为了得到函数y＝sin（x＋）的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：A　函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin（x＋）的图象，故选A. 【规律方法】 φ对函数y＝sin（x＋φ）图象影响的注意点 （1）y＝sin（x＋φ）的图象与y＝sin x的图象形状相同，是由y＝sin x的图象向左（右）平移得到的，此变换称为平移变换； （2）左右平移是对x本身而言的.若x前面的系数不是1，应先提取系数，再向左（右）平移.即从f（ωx）到f（ωx＋φ）进行平移时，平移量为｜｜个单位长度； （3）对一般函数y＝f（x），若将函数图象沿x轴向左（右）平移｜a｜个单位长度后，得到的图象对应的函数为y＝f（x＋a）（a≠0）. 　　提醒：研究三角函数的平移变换应首观察平移前后函数名称是否相同，若不同则先化为同名函数，再进行变换. 训练1　要得到函数y＝cos（x－）的图象，只需将y＝cos（x＋）的图象　　　　　 （平移方向和长度）. 答案：向右平移个单位长度 解析：将函数y＝cos（x＋）的图象向右平移个单位长度得到y＝cos（x＋－）＝cos（x－）的图象. 知识点二｜ω（ω＞0）对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响 问题2　（1）函数y＝sin（2x＋），y＝sin（x＋），y＝sin（x＋），x∈R的周期分别是多少？ 提示：π，2π，4π. （2）若P（x0，y0）是函数y＝sin（x＋）图象上的一点，则点P1（x0，y0）与P2（2x0，y0）分别在哪个函数图象上？ 提示：P1（x0，y0）是y＝sin（2x＋）图象上一点，P2（2x0，y0）是y＝sin（x＋）图象上一点. 【知识梳理】 ω（ω＞0）对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响 【例2】　为了得到函数 y＝sin（3x－）的图象，需将函数 y＝sin（x－）的图象（　　） A.纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变 B.横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变 C.横坐标变为原来的，纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的，横坐标不变 解析：C　函数y＝sin（x－）的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，即可得到函数y＝sin（3x－）的图象，故选C. 【规律方法】 1.y＝sin（x＋φ）的图象与y＝sin（ωx＋φ）的图象形状不同，此变换称为伸缩变换，函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，ω≠1）的图象，若横向伸长，则周期变大，x的系数变小；若横向缩短，则周期变小，x的系数变大. 2.一般地，函数y＝f（ωx）（ω＞0，ω≠1）的图象，可以看作是把函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的. 训练2　（1）要得到函数y＝sin（2x－）的图象，只需将y＝sin 2x的图象（　D　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：由y＝sin（2x－）＝sin［2（x－）］，将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝sin（2x－）的图象，故选D. （2）将函数y＝sin（x－）图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数y＝sin（－）的图象. 解析：将函数y＝sin（x－）图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数y＝sin（－）的图象. 知识点三｜A（A＞0）对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 问题3　（1）函数y1＝sin（x＋），y＝sin（x＋），y2＝2sin（x＋），x∈R图象上的所有点纵坐标有什么变化？ 提示：y1＝y，y2＝2y. （2）若P（x0，y0）是函数y＝sin（x＋）图象上的一点，则点P1（x0，y0）与P2（x0，2y0）分别在哪个函数图象上？ 提示：P1（x0，y0）是y＝sin（x＋）图象上一点，P2（x0，2y0）是y＝2sin（x＋）图象上一点. 【知识梳理】 A（A＞0）对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 【例3】　将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图象对应的函数为（　　） A.y＝3sin x B.y＝sin x C.y＝sin 3x D.y＝sin x 解析：B　由题，将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，即得到y＝sin x的图象，故选B. 【规律方法】 1.此变换也称伸缩变换，若A＞0，则函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域为[－A，A]，最大值为A，最小值为－A；若A＜0，则函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域为[A，－A]，最大值为－A，最小值为A. 2.一般地，函数y＝Af（x）（A＞0，且A≠1）的图象，可以看作是把函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的. 训练3　为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有点的（　　） A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 解析：D　将y＝cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，即可得到y＝cos x的图象. 提能点｜图象变换法作图 【例4】　函数y＝5sin（2x＋）＋1的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解：法一　①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（x＋）的图象； ②把所得曲线上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）的图象； ③把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），得到函数y＝5sin（2x＋）的图象； ④把所得曲线向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin（2x＋）＋1的图象. 法二　①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin 2x的图象； ②把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）的图象； ③把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），得到函数y＝5sin（2x＋）的图象； ④把所得曲线向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin（2x＋）＋1的图象. 【规律方法】 图象变换法作图的两个路径 训练4　已知函数y＝sin（2x＋），x∈R.该函数的图象可由y＝sin x（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（x＋）的图象， 再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin（2x＋）的图象， 再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin（2x＋）的图象. 1.要得到函数y＝3sin（3x－）的图象，只需将函数y＝3sin 3x的图象（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：D　y＝3sin（3x－）＝3sin［3（x－）］，故只需将函数y＝3sin 3x的图象向右平移个单位长度即可.故选D. 2.将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（　　） A.y＝sin（2x－2） B.y＝sin（2x＋2） C.y＝sin（x＋1） D.y＝sin（x－1） 解析：D　将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sinx的图象，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin＝sin（x－1），故选D. 3.已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asin ax的部分图象不可能是（　　） 解析：D　当a＝0时，f（x）＝1，C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，且最小值为正数，A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，且最小值为负数，B符合；D项，由图象知T＞2π，则0＜｜a｜＜1；最小值为负数，则｜a｜＞1，矛盾，故D不符合. 4.将函数f（x）＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（）＝－2. 解析：将函数f（x）＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得图象对应的解析式为y＝2cos 2x，则g（x）＝2cos ［2（x＋）］＝2cos（2x＋），故g（）＝2cos（2×＋）＝－2. 课堂小结 1.理清单 （1）平移变换； （2）伸缩变换； （3）“图象变换法”作图. 2.应体会 图象变换法作函数图象、数形结合法. 3.避易错 （1）左右平移变换时，忽视x的系数及对应的符号；（2）先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量的区别. 1.把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的函数解析式为（　　） A.y＝sin x－ B.y＝sin x＋ C.y＝sin D.y＝sin 解析：D　根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象. 2.（2025·泰安期末）为了得到函数y＝3sin（2x＋）的图象，只需要将函数y＝3sin 2x的图象（　　） A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：B　将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度得y＝3sin［2（x＋）］＝3sin（2x＋）的图象.故选B. 3.（2025·厦门期末）函数y＝sin（4x＋）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象；再将f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（　　） A.－sin 2x B.sin 2x C.sin（2x－） D.sin（2x＋） 解析：A　函数y＝sin（4x＋）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）＝sin（2x＋）的图象；将f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin［2（x＋）＋］＝sin（2x＋π）＝－sin 2x的图象，故选A. 4.（2025·成都期末）函数y＝sin（2x－）在区间［－，π］上的简图是（　　） 解析：A　当x＝0时，y＝sin（－）＝－＜0，故排除B、D；当x＝时，y＝sin（2×－）＝sin 0＝0，排除C. 5.〔多选〕（2025·潍坊期末）函数y＝3sin（2x－）的图象，可由y＝cos（x＋）的图象经过下列哪项变换而得（　　） A.向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍 B.向右平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍 C.横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D.横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 解析：BC　由诱导公式可得y＝cos（x＋）＝sin x，所以为了得到函数y＝3sin（2x－）＝3sin［2（x－）］的图象，可由y＝cos（x＋）的图象向右平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍，B选项满足条件，也可由y＝cos（x＋）的图象横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，C选项满足条件，故选B、C. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝2sin（2ωx＋）（ω＞0）图象上两相邻最高点的距离为π，把f（x）的图象沿x轴向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（　　） A.g（x）在［，］上单调递增 B.（，0）是g（x）的一个对称中心 C.g（x）是奇函数 D.g（x）在［，］上的值域为[－2，0] 解析：ACD　由题意可得：f（x）的最小正周期T＝＝π，则ω＝1，∴f（x）＝2sin（2x＋），则g（x）＝f（x＋）＝2sin［2（x＋）＋］＝2sin（2x＋π）＝－2sin 2x，对A：∵x∈［，］，则2x∈［，π］，则g（x）在［，］上单调递增，A正确；对B：∵g（）＝－2sin（2×）＝－2sin＝－2为最小值，则（，0）不是g（x）的一个对称中心，B错误；对C：∵g（－x）＝－2sin 2（－x）＝2sin 2x＝－g（x），则g（x）是奇函数，C正确；对D：∵x∈［，］，则2x∈［，π］，∴sin 2x∈[0，1]，则g（x）在［，］上的值域为[－2，0]，D正确.故选A、C、D. 7.函数y＝sin的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，可得到函数　　　　的图象. 答案：y＝sin（x－） 解析：把y＝sin的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，得到y＝sin（x－）的图象. 8.将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（4x＋φ）（0＜φ＜π）的图象，则φ的值为. 解析：将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin＝sin（4x＋），所以φ的值为. 9.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x＋），则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移个单位长度.（本题所填数字要求为正数） 解析：∵曲线C1：y＝cos x＝sin（x＋）＝sin（2·x＋－），∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y＝sin（2·x＋）向右至少平移个单位长度. 10.已知函数y＝f（x）的图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标伸长到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f（x）的解析式. 解：y＝2sin x的图象y＝2sin的图象y＝2sin（2x－）的图象 y＝sin（2x－）的图象，即f（x）＝－cos 2x. 11.（2025·广元期末）若将f（x）＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得函数为偶函数，则φ的最小正值是（　　） A. B. C. D. 解析：B　函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋）的图象向右平移φ个单位长度，所得函数为y＝sin（2x＋－2φ），图象是偶函数，即关于y轴对称，可得－2φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，当k＝－1时，φ的最小正值是.故选B. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝sin 3x＋cos 3x，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的图象可由函数y＝2sin 3x的图象向左平移个单位长度得到 B.f（x）的图象可由函数y＝2cos 3x的图象向右平移个单位长度得到 C.f（x）的图象关于直线x＝对称 D.f（x）的图象关于点（，0）中心对称 解析：AC　f（x）＝sin 3x＋cos 3x＝2sin（3x＋）＝2cos（3x－）.对于A、B选项：将函数y＝2sin 3x的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin（3x＋），即f（x）的图象，将y＝2cos 3x的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos＝2cos（3x－）＝2sin 3x，不是f（x）的图象，所以A正确，B错误；C选项：因为f（）＝2sin（3×＋）＝2，所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称，所以C正确；D选项：因为f（）＝2sin＝≠0，所以函数f（x）的图象不关于点（，0）中心对称，所以D错误.故选A、C. 13.（2025·长沙期末）下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cos 2x；③y＝3sin（2x＋），其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数f（x）＝sin 2x的图象重合的是①②.（填上符合要求的函数对应的序号） 解析：y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝－sin＝sin 2x的图象，故①符合要求；y＝cos 2x＝sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin［2（x－）＋］＝sin 2x的图象，故②符合要求；对于③，y＝3sin（2x＋），无论向左还是向右，纵坐标不变，故不符合条件. 14.已知函数f（x）＝2sin xcos x＋2sin2x. （1）若f（x）＝0，x∈（－，0），求x的值； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在［，］上的值域. 解：（1）f（x）＝2sin xcos x＋2sin2x＝sin 2x＋1－cos 2x＝2sin（2x－）＋1， 由f（x）＝0，得2sin（2x－）＋1＝0，即sin（2x－）＝－， 故2x－＝－＋2kπ或2x－＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝kπ或x＝－＋kπ，k∈Z， 又∵x∈（－，0）， ∴x＝－. （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可得函数图象的解析式为y＝2sin［2（x＋）－］＋1＝2cos 2x＋1， ∴g（x）＝2cos 2x＋1， ∵≤x≤，∴≤2x≤， ∴－1≤cos 2x≤， ∴函数g（x）在［，］上的值域为[－1，＋1]. 15.（2025·临泉期末）已知函数f（x）＝2sin ωx，其中常数ω＞0. （1）若y＝f（x）在［－，］上单调递增，求ω的取值范围； （2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值. 解：（1）因为ω＞0，根据题意有 解得0＜ω≤. 所以ω的取值范围是（0，］. （2）由f（x）＝2sin 2x可得， g（x）＝2sin＋1＝2sin（2x＋）＋1， g（x）＝0⇒sin（2x＋）＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z， 即g（x）的零点相邻间隔依次为和， 故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点， 则b－a的最小值为14×＋15×＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $