内蒙古乌兰浩特第一中学2026-2027学年高三上学期第一次学程考试数学试题

**基本信息** 融合高考真题（如2024年全国甲卷题）与原创情境（如选考科目选择、小球交换概率），覆盖函数性质、导数应用、概率统计等核心模块，梯度设计适配高三一轮复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、充分必要条件、函数值域|含高考真题改编，注重基础概念辨析| |多选题|3题|排列组合、函数性质、三次函数拐点|结合实际情境（选考科目），考查批判性思维| |填空题|3题|函数零点、切线方程、单调性|强调数学抽象与运算能力| |解答题|5题|集合与逻辑、函数奇偶性、概率分布、导数极值与证明|综合题（如导数证明）突出逻辑推理，概率题（小球交换）体现数据意识与模型观念|

乌兰浩特一中 高三第一次学程考试 数学模拟卷 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 4．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 10．已知函数，且，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（   ） A．， B．方程有三个根 C．存在，，，使得不等式成立，则实数t的取值范围为 D．若函数在区间上有最大值，则 三、填空题 12．已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________. 13．若直线是曲线的切线，则________． 14．设函数当时单调递增，则的取值范围为__________. 四、解答题 15．设函数的定义域为，集合 . (1)求集合； (2)若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且. (1)判断的奇偶性； (2)求在区间[-3,3]上的最大值； 17．甲、乙两个箱子中装有大小相同的小球，甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中装有2个黑球和3个红球，现从甲箱和乙箱中各取一个小球并且交换． （1）求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率． （2）设交换后甲箱中黑球的个数为，求的分布列和数学期望． 18．已知函数在时有极值，其图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值和函数的单调区间； （2）若当时，恒有，试确定的取值范围． 19．已知函数． (1)当时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点、，求证：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B B C C B ABD BCD 题号 11 答案 BD 1．D 【来源】2024年高考全国甲卷数学（理）真题 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2．A 【来源】北京市通州区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 反之，，，，取，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．B 【来源】湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 4．B 【来源】2019届黑龙江省哈三中等九州之巅合作体高三第三次联考数学（文）试题 【分析】令，可得，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域. 【详解】解：令，可得， 可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增， 当时，，故函数的值域为， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数的性质进行求解. 5．B 【来源】2021年全国新高考II卷数学试题 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 6．C 【来源】[主题二]函数 第二章 函数 第5节 指数与指数函数 【分析】利用指数幂运算规则可得，从而可得，故可得三数的大小关系. 【详解】， 因为，故即，故. 因为， 所以，所以. 故选：C. 7．C 【来源】中原名校2022-2023学年高三上学期期末联考文科数学试题 【分析】求出时的函数解析式，计算，，从而求出切线方程. 【详解】当时，，所以， 因为是奇函数，所以， 则，，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：C 8．B 【分析】由已知的导函数不等式构造新的单调函数，将原不等式转化为一次不等式恒成立问题求解. 【详解】因为，，构造函数，所以， 因为，且恒成立，因此，即是在上的严格单调递增函数， 因为，因此，对原不等式两边同时除以， 可得，即，等价于，即， 因为在上恒成立，因为，不等式可变形为， 因为是单调递减函数，最小值在处取得，为，因为是对上恒成立， 所以，即，所以的取值范围为. 9．ABD 【来源】江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期开学收心检测数学试题 【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误． 【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误 对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误 对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确 对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有种选法 选化学，不选物理，有种选法 物理与化学都选，不选历史，有种选法 故总数为种，故D错误 故选：ABD 10．BCD 【来源】周测10 对数函数的图象与性质- 【蓝海启航�启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019） 【分析】根据函数图象可得且，利用基本不等式求解即可. 【详解】作出图象如下， 因为，且， 所以，由图象可知，， 所以， 所以，所以也即，A错误； ，B错误； ， 当且仅当即时取得等号，C正确； 因为, 当且仅当时取得等号，由于， 所以，D正确， 故选:BCD. 11．BD 【分析】求出，令，结合的对称中心、求出a，b可判断A；令，求出x可判断B；设，转化为使得不等式成立，令，根据在为单调递减函数求出t可判断C；利用导数求出极值，再结合图象求出m可判断D. 【详解】对于A，，，令， 可得，解得，所以， 再由，解得，故A错误； 对于B，由A知，由， 即 可得，或，解得，或，， 所以方程有三个根，故B正确； 对于C，设，则， 要使得不等式成立，即成立， 令， 可得在存在单调递减区间，而， 故即,故C错误； 对于D，令，解得，或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得在处有极大值，为，在处有极小值，为， 且由解得，或， 若函数在区间上有最大值，则， 解得，故D正确. 12． 【来源】湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三下学期6月联考数学（文）试题 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令，由，即或，解得或， 当时，解得或；当由，解得， 即函数的所有零点所构成的集合为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法和分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查换元思想，以及推理与运算能力. 13． 【来源】湖南省湘东教学联盟2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】设直线与曲线的切点坐标为. 由求导得. ，化简得，解得. ∴ 将代入切线方程，得； 再将代入曲线方程，得. 联立两式得，解得. 14． 【来源】浙江省杭州市学军中学2016-2017学年高一上学期12月竞赛测试（二）数学试题 【分析】原题等价于当时，恒成立，转化为不等式恒成立求参数范围的问题，结合导函数分析单调性即可得解. 【详解】函数，， 由题当时函数单调递增，即当时，恒成立， ， 当时，恒成立，仅当时， 在单调递增， 满足题意； 当时，得，得， 所以在递减，在递增， ，与当时恒成立矛盾，不合题意，舍去， 综上所述：. 故答案为： 【点睛】此题考查根据函数单调性求参数的取值范围，其本质是根据不等式恒成立求参数的取值范围，常见处理办法，正面分类，分离参数和端点效应. 15．(1) (2) 【来源】福建省龙岩市第二中学2024届高三上学期开学考数学试题 【分析】(1) 由定义域的定义即可求解; (2) 由是的必 要不充分条件可判断集合是集合的真子集, 分类讨论的情况即可求解. 【详解】（1）要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合 （2）因为是的必要不充分条件，所以， 当时，，解得(舍去) 当时，解得， 综上可知，实数的取值范围是 16．（1）奇函数（2）6（3）或者 【来源】【全国百强校】河南省实验中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）令x＝y＝0⇒f（0）＝0，再令y＝﹣x，⇒f（﹣x）＝﹣f（x）； （2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而得到在区间[-3,3]上的最大值； （3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围． 【详解】（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0； 取y=﹣x，则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)， ∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立 ∴f(x)为奇函数； （2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0； ∴f（x2）＜﹣f（﹣x1）， 又∵f（x）为奇函数， ∴f（x1）＞f（x2）； ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数； ∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3） 而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6； ∴f（﹣3）=﹣f（3）=6； ∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6； （3）由（2）可知函数在的最大值为 所以要使对所有的恒成立 只需要 即对所有恒成立 令，则即解得 所以实数的取值范围是 【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理． 17．（1）0.5；（2）1.9. 【来源】广东省佛山市南海区罗村高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题 【详解】（1）第一类：记“取出的两个球都是黑球”为事件 第二类：记“取出的两个球都是红球”为事件 （2）可能取1，2，3 ， ，的分布列为 1 2 3 P 18．（1）；增区间为和,减区间为；（2）. 【来源】2014-2015学年福建省三明市一中高二上学期第二次月考理科数学试卷1 【详解】试题分析：（1）用待定系数法列方程组，解出的值，确定函数解析式，求导，求出单调区间；（2） 由（1）得：在上单调递减，在上单调递增，当时取得极小值是，即为最小值，又所以，所以当时，恒有. 试题解析：（1） ∴． 由已知可得： 4分 由 ， ∴的单调递增区间为和；单调递减区间为． 7分 （2） 由（1）得：在上单调递减，在上单调递增， ∴ 当时取得极小值是，又 ∴ ， ∴ 当时，恒有 12分 考点：（1）待定系数法求解析式，利用导数求单调性；（2）导数解决恒成立问题. 19．(1)1 时，，， 则恒成立，故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得上存在唯一的零点，故函数的零点个数为1； (2)，，，， 令，即， 因为函数有两个极值点、，， 故有两个不等实根，， 则，解得， ， 令，，则， 所以，，单调递减； ，，单调递增． 故，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $