2025-2026学年高三1月质量检测数学试题

四、起答斯：本西典小题，洗”分容应写留文字形正快对耀欧情装步（代F代斯限小本）下1 麻中睡王四年表合居的3组可瑞练三床0○组A-3解梦四代3A#时机，图时 的效性座，地面1高三数学 沿△，长五阳多大习长学①8A面 :且A东( 静蔡面单武为涧3gA面平园O处直宋，己=8荐() 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。9宜〔0点8比汁爽⊙≤1 三3圆游联国 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。，门T交○记处直的0比不率稀且(0，风)点址，点信言的○比限长在人客( 1.已知i为虚数单位，若3。-，则 ,工整直宝容克：阳证，M点干交H8,OA A.1-3i 留B1+3i长限的06 C.-1-3i D.-1+3i 2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(s,t)在C上，且|PF|=3,O为原点，则IOP|= A.2√2 B.4 C.23 D.6 3.印刷电路板(PCB)是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到 2021一2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88,3.84,4.16,4.46,4.71，则这5个数 据的40%分位数是 图游年帕税货新单生。席0)通养（生 A.3.84 B.3.88 C.4.00 D.4.02 菩(S 4,若向量a=(一1,2)，b=a=(3,0),记0=〈a,b),则cos20=t验曲已且(0,1-)9点女年t(8 A把 B.、10 10 n-青 5.已知正数x,y满足x十y=xy,则x十4y的最小值为 A.9 B.8 C.7 D.6 6.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,6c若a=4,A=子，s血B+s如C=3源 4 ,则bc A号 B.16 C.20 D.3 【高三1月质量检测·数学第1页（共4页）】 X 7.已知正四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M,则球O与球M的表面积之比为四 A.3 1位怀4BE为B.9 4府被年C.3πE阴合体，西D.9π代小本) 8一8际2麻可通帕度凌时因 8.若函数f(x)=eln(1+工)有极值，则实数a的取值范围是 楼出卷景{，：预西(1) A,(e,+∞) 求线下。热5装最预笔B(的？0》城盖华限徐2荐@ C.(-∞，-e)U(0,+∞) D.(-∞，0)U(e,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 (仗21测小本) 9:已知集合M={1,2},若集合N满足M∩N=☑，则N可以是蛋朱进业东新#职求态主桌 A.{x|x2+2x=0} :卖瓶的不玻新，好静出佛果达类猫游绿5，旅菩若00S斑进时的 B.{x|x2-x≤0》 001 堡人 C=1- 50 D.{xx=3n-1,n∈Z} 10.若(-1千x)a+a1x+a22+.…+a6x+a,2,则 铁，剑洲立此油00一》自率小梨脉(1 天讯动摩贯妇好女证，Y式(g)母气族番料单联占，领员核休进蝶土天：撕加同过处(S A.a2=21 B.a≤a3(i=0,1,2,3,…,7) :快民亦代的名相 C.a1+a3+a5+a7=64 D.21a=127 11.已知定义域与值域均为R的函数f(x)满足Vx1,x2∈R,f(f(x一x2)=f(2x1)+f(-2x2)一1， 且f(0)=一1，则 :比版帝设帝X味宾土修出积剪 A.f(-1)=-3 B罗f0=-4052 旅管味生积题过味益装螺士危连，制【用被容时函中蓝晋的湛蛛方太件两态 C.3k∈R,g(x)=f(x)十k是奇函数 影的6干大量总放膏米3的隆献来，此卫琳量海 D.3k∈R,g(x)=f(x)十kx满足g(x十1)=g(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 中 100. 10.0 80.0 12.()×1og4= 05 18.已知双曲线C等-苦=1(a>0,6>0),记c=V匠+F,C经过点P(c,n),Qc,)(%≠)，且 |PQ=√2|OP|(O为原点)，则C的离心率为 14.若函数f(x)=la十sinx+lal一sinx-a-号有零点，则实数a的取值范围是 【高三1月质量检测·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。○1神面四五联， 15.(本小题满分13分) ea 8 已知数列{an}的前n项和Sn=3一3am 过静尚装突，具划卡十m9=()儿函斧8 (1)证明：{an}是等比数列： (2)若，号S,分别是等差数列6，}的第1项与第3项，求(6，)的公差d. (⊙T2)A (c心+，0)U(5-,n-), 哈金。来建因國合醉煎逸春，中测张的出能愿小秘卉。彩1共，代∂强小瓣，暖小无共服本：层鞋数，二 16.(本小题满分15分) 。依徐导的解普年，代农脑权碳数暗，代∂臀的权数 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统(A型与B型)对果实品质的影响.农场 随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： {0=xS-十xx1./ 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 (05.xa A型 62 38 100 B型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量(kg)为X,通过测试得到使用无 土栽培时X的分布列为： 1 1.5 2 P 0.2 70.5 0.3 老的赋静已慰义家联厅，国 使用传统土壤栽培时X的分布列为： 佩，(9且点 X 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的 产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于3kg的概率 n(ad-bc)2 A十(x)(3)8,月)以EG 附：X=a+bc+ac)6+d其中n=a+b+c+d 代共 ,代2服小醉，小￡共密水：醒空数，日 a 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 且行)()9.（化：)接，+骨 5T,0d,06)「= 王，与类的贬陵日8 安州。率小商陆5旋（知张试00上09 绿用善指限前。爽银，点含-。一五形+上运十。风提函苦 【高三1月质量检测·数学第3页（共4页）】 X 17.(本小题满分15分)的（位0面，切球的对，球0球1的洁计 如图，几何体ABCDEF为四棱锥E-ABCD和三棱锥F-BCE的组合体.在四棱锥E-ABCD中，底 面ABCD是边长为4的正方形，△BCE是正三角形，平面BCE⊥平面ABCD,EF⊥BE,BF=CF. (1)求证：EF∥AB; (2)若BF=5,求直线CF与平面ADE所成角的正弦值. 资对绿行中，做款熟终共被能接制潘为勇的黑米意云0济汽讯必豪法，油头梦 细自酸弘故土十碳公华时8佩，京家装出婆科误林： 生千识次玉珍家多帐★，齿冷尘头 上字数果望写珠害公责用在跃件数：黑常科爱答 18.(本小题满分17分) 。效天誉补土雅解草，券年，效天案客的冠牛过☒赐客出到 已知椭圆C后+芳=1a>6>0)的实箱长为45，点D(3,1)在C上 要(1)求C的离心率；只，中闻数个四的出他國小每亦。代m共，公心露小殊，小8共圆本，丽验数， (2)若A,B分别为C的左、右顶点，过点E(√3,0)且斜率不为0的直线与C交于G,H两点，直线 AG,BH交于点M,证明：点M在定直线上； (3)已知P,Q,R均在C上，0为原点，O求=mO驴+nO点，其中P,Q均不在x轴上，m≠0，且+=1， 记直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,证明：k1k2为定值. 一0海，点试0,8=阿9甘，上○序1)4点，1兴从州+一：)奖绿拟5 性新面需牌特某校行年该善品汗知全弃国中，州能小对馆业海宅波真支乱（红月）进强中海阳 19.(本小题满分17分) ,上+，38,398代为州（元5下：分单路味市OT码中0S一0C 已知函数f(x)=x3十ax-1(a∈R). 县喷0代0坐的圆 (1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围； 88.8国 38A (2)若a=0,证明：f(x)≤27e-3; (3)试讨论过点P(一1,0)且与曲线y=f(x)(x∈（一∞，1）U(1,+∞)相切的直线的条数.闻 0 代宜小是的心小十卿，龙士=+工品斯《，绿候5 发@ 开0做：学一事0香时点答限台度校他门，A单内，中58△的 有女响官话火 【高三1月质量检测·数学第4页（共4页）】 X高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B南3--得=3=3-=1+3就放选B 2.C由抛物线的定义，得|PF|=s+1=3,解得s=2,所以2=4s=8,所以|OP=√3+=√4+8=2√5.故选C 3.D因为5×40%=2，故这5个数据的40%分位数是将数据从小到大排列后第2个数据(3.88)与第3个数据(4.16)的 平均数4.02.故选D. 4D由题意，得6=(-1,2)+3.0)=，2.所以ms=合万又2万晋所以s20=2s0-1=2X a·b 2 10 品-1=寺放选D 元A由十y=得上十+号=1，所以x+4y=(十4)(+）=5++号≥5+2√但×号=9，当且仅当- y 工，即x=2y=3时等号成立.故选A A由Bc得B-血C-得所肾60= 4 ,即b+c=6,又a2=6+c2-2 bccos A=6+ 2一=（叶e)-3欢，所以k一士d_8,-号易知此时三角形有解.放透A 3 3 7.B设正四面体的棱长为1，过A作平面BCD的垂线，垂足为F,则F为△BCD的中心，连接 BF并延长交CD于E,则BE-,BF-号，0在AP上，易求得AF-号，设球O的半径为 R,则=BF十(AF-R),即R=吉+（停-R)',解得R设四面体ABCD内切球 的半径为，则号×4Sm·一号Sm×气，所以，所以球0与球M的表面积之比 B 为4尽=9.故选B 4π2 &D因为fx)=eh(1+话)，所以f)=e[n(1+)++a],令f)=0,得n(1+兰）)+十。=若a> 0,得h+a)+十。ha-0,设)=h(十a)+木lna,则g)=。=产品，易得当 1 x∈（一a,l-a)时，g'(x)<0;当x∈(1-a,+o∞）时，g'(x)>0,所以g(x)在(-a,1一a)上单调递减，在 (1一a,+o∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1一a)=1-lna.又当x>一a时，g(x)→十∞；当x→+∞时，g(x) 十∞，所以当1一lna<0,即a>e时，g(x)存在零点且在该零点的左右两侧变号，故f(x)有极值；若a<0,则 n(1+)十十a=h(-a)+an(-a).设)=ln(-a)+。n(-a,则()=a。 (x+a)2, A()在(-∞，一a)上单调递减，且h(0)=日<0：又当一-∞时，h()十o∞，所以h(x)存在零点且在该零点的 左右两侧变号，所以f(x)一定有极值.综上所述，实数a的取值范围是（一∞，0）U(e,+∞).故选D. 9.AC对于A,N={0,一2}，则M∩N=☑，满足题意；对于B,N={x|0≤x≤1冫，则M∩N={1〉，不满足题意：对于 C,N={yly<1,则M∩N=☑，满足题意；对于D,当n=1时，31-1=2,2∈M∩N,不满足题意.故选AC. 10.BCD通项T+1=C(-1)7-'x',所以a,=C7(-1)7-r(r=0,1,2,…,7),得a2=-C号=-21，a3=C(-1)4=35, a4=C(一1)3=-35，由二项式系数的性质知ag最大，故A错误，B正确；令x=1,得a0十a1十…十a6十a=0;令x= 一1，得a-a十a2一ag十…十a6一a=-2,两式相减，得2(a1十a3十a十a7)=2,所以a1十a十a5十a?=64,故C正 确；由a,=C仿(-1)-「，得|a,|=C,所以∑|a:|=C+C%+…+C?=2?-1=127,故D正确.故选BCD, 11.ACD因为Hx,∈R,f(f(1-2))=f(2)+f(-2x2)-1,取=2=0，得f(f(0))=2f(0)-1,即 【高三1月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 X f(-1)=-3,故A正确：取==号，得f(f(0)=f(x)+f(-x)-1,即f(x)+f(-x)=-2,所以 )=-2X2026+f0)=-4053,放B错误：当6=1时g6)+g《-)=f+1+1K-+1=0,所 以当=1时，g(x)是奇函数，故C正确：取=受，=一受，得f(f(x)=2f(x)-1.设f(x)=1,则1的取值范 围是R,且f(t)=21一1，所以f(x)=2x一1.当k=一2时，g(x)=f(x)-2x=-1,所以g(x十1)=g(x)=-1,故 D正确.故选ACD. 122()厂e4=3x号=2 13.1+5 2 由题意，知PQ过C的右焦点F,且PQLOF,易求得|PFl-,由PQl=2OP1,得△POF是等腰直角 三角形，0P为斜边，所以nP0=m45=E1-名所以谷=a,即cac=0d-t1=0,所以C的离 心率e=1+⑤ 2 14[-号，号]①当1a≥时，/x)=2la-a-号若≥1.则fx)=a-号>0：若a-1.则fx)=-3a-号 ≥3-号>0，故当a≥1时，f(x)没有零点：②当la<1时，若|simx小<al,则-a≤n<a,f()= 1al+sinx+a-sinx-a-号=2引a-a-号若x)有零点，则2引a-a-号=0，解得a=号，或a=-号若 |sinx>la,则sim>la,或sn<-la<la,若sinx>la,则fx)=la+sinx+sinx-al-a号 =2sinx-a-号：若simx<-la,则f)=-lal-mx+a-simx-a-号=-2sina-号，所以f(x)= 2sn-a-号，若/八0有零点，则sm=(a+号)>al.又a<l,解得-号<a<号.综上，a的取值范围 是[÷号] 15.(1)证明：因为Sn=3-3au,所以Sw+1=3一3aw+1, …1分 两式相减，得a+1=3一3a+1一(3一3an)=3an一3ag+1,… …3分 所以a=a, 4分 又S,=3-3a,得a=S,=3-3a,解得a1=子 6分 所以。二=是，故{a是首项为公比为子的等比数列 7分 an (2)解：由1)得a=子×(）=()月， …8分 6-a=()广-器， …9分 法-地十8点十名边-子-号】 2 2 6 6 11分 所以数列伍的公差山=众一么=子一得-高 13分 法二：a的公差d=2-)=2(分s-a）=21-2a)=[1-2×()门]=品 13分 16.解：(1)零假设H。:番茄果实糖度达标与灌溉类型无关联 …1分 依据列联表计算，得X=200c62X5一45X38) 100X100×107×93≈5.808>3.841=a5, …4分 根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H。不成立，即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联. …6分 (2)抽到的2株番茄总产量大于3kg,则从无土栽培的番茄中抽取的番茄单株产量为1.5kg时，从传统土壤栽培的番 茄中抽取的番茄单株产量为1.6kg,… …9分 【高三1月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 X 从无土栽培的番茄中抽取的番茄单株产量为2kg时，从传统土壤栽培的番茄中抽取的番茄单株产量为1.2kg,或1.6kg, …………………………………………… …11分 故所求概率为0.5×0.2十0.3×(0.4十0.2)=0.28.… 15分 17.(1)证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC, 又平面BCE⊥平面ABCD,平面BCE∩平面ABCD=BC,ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面BCE.… …2分 取BC的中点O,连接OE,OF,因为BE=CE,BF=CF, 所以BC⊥OE,BC⊥OF,… 3分 又OE∩OF=O,OE,OFC平面OEF,所以BC⊥平面OEF 又EFC平面OEF,所以BC⊥EF.…5分 又EF⊥BE,BE∩BC=B,BC,BEC平面BCE, 所以EF⊥平面BCE.又AB⊥平面BCE,所以EF∥AB. …7分 (2)解：在Rt△BEF中，由BF=5,BE=BC=4,得EF=3.…8分 取AD的中点G,连接OG,则OB,OG,OE两两垂直，以O为原点，直线OB,OG,OEF 分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,4,0), C(-2,0,0),D(-2,4,0),E(0,0,23),F(0,-3,25),所以Ad = (-4,0,0),AE=(-2,-4,25),C=(2,-3,23).…10分 设平面ADE的一个法向量n=(,)则n·应=0.甲 fn·AD=0, -4x=0, 即 -2x-4y+252=0, 令y=√5，解得x=0,x=2,所以n=(0,√5,2).… ……12分 设直线CF与平面ADE所成的角为0，则sin0= |C市.n5=2I 1cF1lnl5×7 35 所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为票. 15分 18.(1)解：因为C的实轴长为4V3,所以a=2√3， 1分 所以C的方程为始+芳-1， 因为点D3,1)在C上，所以是十方=1，解得=4， 3分 所以C的离心率为2=6 3 4分 25 (2)证明：由题意可设直线GH的方程为x=ty十√3，G(x),H(2,y), 由1知C的方程为呢+兰-1，与x=05联立，得(+3)y+25一9=0， 显然判别式4>0，M十为=一 年30=平3必=3 231 9 2(1+为）， 6分 由题意知A(-25,0),B(25,0), 所以直线AG的方程为y=一出 十2/后（+25)，直线B明的方程为y=25（红-25)，…8分 x2-25 两式联立消去y得+2=（十2B)=m十3)业-丛y+35业 x-23(x2-23)y(ty-5)yt1-√3y 35(1+为)+33g 35(y+3y 2 要y*) -=3, …10分 号(+ 所以x=45,即点M在定直线x=4上. …11分 (3)证明：设P(xp,yp),Q(xQ,Q),R(R,次)，则x3十3=12，十36=12，xR十3项=12，…12分 因为O求=mOP+nO交，所以xR=m.xp十na,R=myp十yQ, 所以(m.xp十naQ)2+3(yp十Q)2=12,… …13分 【高三1月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 X m2 (p+3yp)+n2(+3y)+2mmnxgxq+6mmyryo=12, 12m+12n2+2mnxpxo+6mnypyo=12, 因为m2十t=1,所以21.xpxQ十6ypyQ=0, 15分 因为m≠0，所以0=-3p0,所以光·8-=一子，即k1=一3 所以k1k2为定值一分.… 17分 19.(1)解：当x≥1时，f(x)=x十a.x一a,则f(x)=3.x2十a≥3十a,… 1分 因为f(x)在[1，+o∞)上单调递增，所以3十a≥0，即a≥-3. 2分 当0<x≤1时，f(x)=x-a.x+a, 因为f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)=3.x2一a≥0，即a≤3x2对x∈(0,1]恒成立， 所以a≤0。… …4分 综上，得-3≤a≤0，所以a的取值范围是[-3,0].… 5分 (2②证明：当a=0时，f)=2,设gx)=f2=专则gx)=上。2 …6分 e 当x∈(-∞，3)时，g(x)>0;当x∈(3，+∞)时，g(x)<0, 所以g(x)在（一∞，3）上单调递增，在(3，十∞)上单调递减，… …8分 所以g)g3)-2,即号<是所以r≤27e,即f27e …9分 (3)解：当x>1时，f(x)=x3+a.x-a,f(x)=3x2+a, 设过点P(一1,0)的直线与y=f(x)的图象切于点Q(s,s3十as一a)(s>1), 则切线斜率=了()=骨，即3+a=。 8十1， 整理得a=号.1分 设k()=一-号(>1)，则发()=一3-3<0，所以k(s在1，十∞)上单调递减，且k(1)=-号， 5 当·十∞时，k(s)→一0∞， 所以，当α<一号时，满足条件的s的值只有1个，切线有1条；当a心一号时，满足条件的s的值不存在，切线不存在。 5 …13分 当x<1时，f(x)=x23-a.x十a,f(x)=3.x2一a, 设过点P(-1,0)的直线与y=f(x)的图象切于点M(t,t-at十a)(t<1), 则切线斜*=了0=骨，即37-a,, t+1 理得=号， 14分 设A()=+号(1<1)，则∥(1)=31+1D,当1K-1,或0<1<1时，M)>0:当-1<1<0时，M)<0,所以 h(t)在（一o∞，一1）上单调递增，在（一1,0）上单调递减，在(0,1)上单调递增， 0∞时h(0→-∞，h(-1)三7h(0)=0,h(1)=号， 所以，当≥号时，满足条件的1的值不存在，切线不存在： 当？<a<号或a<0时，满足条件的的值只有1个，切线有1条 当a=号或a=0时，满足条件的1的值只有2个，切线有2条. 当0<a<2时，满足条件的1的值只有3个，切线有3条。 综上，当a>≥号时，切线有0条：当2<a<号或-号<a<0时，切线有1条：当a=号或a=0或a<-号时，切线有 2条，当0<a<2时，切线有3条。 …… …17分 【高三1月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 X