精品解析：内蒙古集宁一中2026届高三上学期1月阶段性诊断数学试题

内蒙古集宁一中2025-2026学年第一学期阶段性诊断 高三年级数学试卷 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定为“，”. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再根据集合的补集、交集定义直接计算即得. 【详解】解不等式得：或，即或，， 而，则， 所以. 故选：A 3. 设是虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算化简复数，再根据复数虚部的概念即可判断. 【详解】由题意知，， 所以复数的虚部为2. 故选：B 4. 某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A. 37 B. 32 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D 5. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的大小关系比较即可 【详解】依题意得，， ， ，所以， 故， 故选：B. 6. 对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 7. 已知函数的定义域为，求函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域. 【详解】由题设可得，故， 故函数的定义域为， 故选：B. 8. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件代入后凑出积为定值，再由基本不等式得最小值． 【详解】∵，所以(2x+1)+y=4 则 当且仅当且即时取等号， 则的最小值是. 故选：B． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：ABD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 【答案】BC 【解析】 分析】由判断； 由两点分布的定义判断； 由正态曲线的对称性判断； 由二项分布定义判断 【详解】若，则，故错误； 若随机变量Y服从两点分布，则，故, ，故正确； 若随机变量ξ服从正态分布，，则 ，， 故正确； 若随机变量η服从二项分布，则 故错误. 故选：. 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若数列为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B. 若数列为等差数列，则为等比数列 C. 数列满足：，则 D. 已知为数列的前项积，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】分以及，结合等比数列的求和公式，即可判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及通项公式判断D. 【详解】对于A，当时，， 显然，，，是以为首项，以为公比的等比数列； 当时，， ， 所以，，则，，，成等比数列，公比为，故A正确； 对于B，设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故B正确； 对于C，依题意，，它不满足，故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以，且也满足，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出，然后根据展开式的通项公式，令的次数为零即可得常数项. 【详解】由题可得，解得， 所以展开式的通项为， 令，解得， 所以常数项为. 故答案为：60. 13. 定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数在上单调递减，再利用单调性及偶函数性质求解即得. 【详解】函数对任意的有， 则函数在上单调递减，而是R上的偶函数，则在上单调递增， 所以不等式，于是，解得， 所以所求的x取值范围是. 故答案为：. 14. 将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正四棱锥内切球半径即可求得球的表面积. 【详解】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 中，为锐角，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为3，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到，再利用同角三角函数的基本关系求解即可. （2）利用三角形面积公式建立方程求出，再利用余弦定理得到即可. 【小问1详解】 由正弦定理得． 则由两角和的正弦公式得． 因为，所以， 则．由于，解得， 又为锐角，故（负根舍去）． 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入， 得，解得． 再由余弦定理， 代入， 得，故解得（负根舍去）． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得． 【小问1详解】 设，则是中点，连接， 又∵是中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵，∴， 平面，平面， ∴，同理， ，平面， ∴平面，而平面，故， ∴是二面角的平面角， 在直角中，，， ， ∴二面角的正切值为． 17. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值； （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可 【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 18. 已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1 【解析】 【分析】（I）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（II）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值.利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得焦点到直线的距离，由此求得三角形的面积. 【详解】（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以. 因为焦点的坐标为，所以. 结合，得. 所以椭圆方程为. （Ⅱ）设，. 由得. 则. 因为线段中点的横坐标为， 所以 . 解得 ，即（符合题意） 所以直线的方程为， 因为 . 点到直线的距离. 所以的面积 . 即的面积等于. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程求解，考查椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查有关椭圆的三角形的面积和弦长公式.在解有关椭圆方程的题目过程中，主要是根据题意，列出有关三个量的关系式，解方程组求得的值，也即求得了椭圆的标准方程. 19. 已知函数. （1）若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值； （2）若在上恒成立，求a的最小值； （3）证明：（且）. 【答案】（1）-1 （2）-1 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，利用函数导数求函数求切线的方法，求出参数， （2）根据恒成立问题的解法，构造函数求出最小值，求出参数范围，判断参数最小值. （3）构造函数，转换不等式表示方法，再使用放缩法证明不等式. 【小问1详解】 当x轴是曲线的一条切线，即存在，使 求导得，当时，解得， 则，解得. 【小问2详解】 当在上恒成立时，即在上恒成立， 设，则， 可知当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，取得最小值， ， 所以，即.的最小值为-1. 【小问3详解】 由(2)可知，当时取等号，则， 令，且，得， 令， 由，可知， 化简得， 所以， 即得，原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古集宁一中2025-2026学年第一学期阶段性诊断 高三年级数学试卷 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A. 37 B. 32 C. 14 D. 16 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，求函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若数列为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B. 若数列为等差数列，则为等比数列 C 数列满足：，则 D. 已知为数列的前项积，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为________． 13. 定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是______. 14. 将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 中，为锐角，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为3，求． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 17. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 18. 已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点横坐标为，求直线的方程及的面积. 19. 已知函数. （1）若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值； （2）若在上恒成立，求a的最小值； （3）证明：（且）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $