第二十六章 二次函数 单元复习导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案以二次函数为核心，围绕定义、图象性质、解析式互化及实际应用等目标，通过单元回顾、知识建构、典型例题、合作探究等递进环节，构建“梳理-理解-应用-提升”的完整学习路径，体现知识体系的系统性与连贯性。 亮点在于“知识建构”引导学生手绘单元思维导图，结合“合作探究”中函数与方程综合题，培养几何直观与模型观念。典型例题覆盖配方、区间最值等核心题型，易错点梳理与分层作业助力查漏补缺，为教师实施单元复习提供针对性指导，促进学生综合解题能力提升。

第二十六章 二次函数 单元复习导学案【解析版】 【单元学习目标】 1. 梳理单元知识框架，巩固二次函数的定义、三种解析式形式、图象与性质，能熟练区分 a、b、c 对图象的影响。 2. 掌握配方法，熟练实现一般式与顶点式互化；会求对称轴、顶点、最值、与坐标轴交点；理解二次函数与一元二次方程的内在联系。 3. 会建立二次函数数学模型解决实际问题（面积、利润、抛物线实物模型），重视实际问题自变量取值范围，体会数形结合、转化、数学建模思想。 4. 查漏补缺，梳理常见易错点，提升综合解题能力，发展模型观念、几何直观。 学习重点：二次函数图象与性质；三种表达式互化；二次函数与一元二次方程；二次函数实际应用。 学习难点：参数 a、b、c 综合分析图象；自变量有限范围下求实际最值；函数‑方程综合问题。 【课本单元回顾】 本单元知识脉络： 1.二次函数定义：形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。 2.二次函数三种表达形式 ①一般式：y=ax²+bx+c (a≠0) ②顶点式：y=a (x‑h)²+k (a≠0)，顶点 (h,k)，对称轴直线 x=h ③交点式：y=a (x‑x₁)(x‑x₂) (a≠0)，x₁,x₂是抛物线与 x 轴交点横坐标。 3.a、b、c 的作用 a：决定抛物线开口方向和开口宽窄；|a | 越大，开口越窄。 a、b 共同决定：对称轴的位置；口诀：左同右异。 c：抛物线与 y 轴交点的纵坐标，交点坐标 (0,c)。 4.图象与性质填空 y=ax²+bx+c (a≠0) 对称轴直线：x=-b/(2a)；顶点坐标：(-b/(2a)，(4ac‑b²)/(4a))。 a>0，开口向上，顶点为最低点；当 x<-b/(2a)，y 随 x 增大而减小；当 x>-b/(2a)，y 随 x 增大而增大；有最小值 (4ac‑b²)/(4a)。 a<0，开口向下，顶点为最高点；当 x<-b/(2a)，y 随 x 增大而增大；当 x>-b/(2a)，y 随 x 增大而减小；有最大值 (4ac‑b²)/(4a)。 5.二次函数的平移 y=ax² 经过平移得到 y=a (x‑h)²+k；口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 6.二次函数与一元二次方程 抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax²+bx+c=0 的实数根。 判别式 Δ=b²‑4ac Δ>0，方程有两个不相等实数根，抛物线与 x 轴有两个交点； Δ=0，方程有两个相等实数根，抛物线与 x 轴有一个交点； Δ<0，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。 7.二次函数解决实际问题建模步骤 ①审题找数量关系；②设自变量，列函数解析式；③确定自变量的实际取值范围； ④在取值范围内求最值；⑤检验结果，写出实际问题答案。 【知识建构】构建单元思维导图（学生在空白处手绘） 提示梳理分支：定义→三种解析式→图象性质→平移变换→函数与方程→实际应用。 【典型例题回顾・变式强化】（覆盖单元四大核心题型：配方化顶点式、图象与方程、限定区间求最值、实际应用） 例 1（配方法变式）用配方法把 y=-2x²+8x‑5 化为顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。 解： y=-2x²+8x-5 =-2 (x²-4x)-5 =-2 [(x-2)²-4]-5 =-2 (x-2)²+3 a=-2<0，开口向下；对称轴直线 x=2；顶点坐标 (2,3)。 例 2（函数与方程变式）已知抛物线 y=x²‑4x‑5。 (1) 求抛物线与 x 轴交点坐标； (2) 利用图象直接写出当 y≥0 时 x 的取值范围。 解： (1) 令 y=0，x²‑4x‑5=0，解得 x₁=-1，x₂=5；与 x 轴交点 (-1,0)、(5,0)。 (2) x≤-1 或 x≥5。 例 3（区间最值变式）已知二次函数 y=x²‑2x‑3，当‑2≤x≤3 时，求函数的最大值与最小值。 解： y=(x‑1)²‑4，对称轴 x=1，1 在‑2≤x≤3 范围内。 x=1 时，y 最小 =-4；x=-2 时，y 最大 = 5。 答：最大值为 5，最小值为‑4。 例 4（实际应用・课本原题变式：一面靠墙）现有总长为 48 m 的篱笆，利用房屋的一面墙围成矩形养鸡场（墙足够长），矩形垂直于墙的一边长为 x m，求养鸡场面积的最大值。 解： 垂直墙边长 x m，则平行于墙边长为 (48‑2x) m， S=x (48‑2x)=-2x²+48x，自变量范围：0<x<24。 a=-2<0，对称轴 x=12，x=12 在取值范围内。 当 x=12，S 最大 = 288 平方米。 答：养鸡场最大面积为 288 平方米。 【易错点梳理，单元查缺补漏】小组合作完成 顶点式找 h 易错：y=2 (x+3)²‑5，这里 h=-3，不是 3。 Δ=0，抛物线与 x 轴有一个公共点，不能说成两个交点。 实际问题求最值：顶点不一定可取，必须看自变量实际取值范围。 方程的根是抛物线与 x 轴交点的横坐标，不是完整坐标 (x,0)。 本组错题记录： 【合作探究，单元综合提升】 探究 1 已知抛物线 y=-x²+2x+3。 (1) 求对称轴、顶点坐标； (2) 求抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标； (3) 当 y>0，直接写出 x 取值范围。 解： (1) 对称轴直线 x=1，顶点 (1,4)； (2) 与 x 轴交点 (-1,0)、(3,0)；与 y 轴交点 (0,3)； (3)-1<x<3。 探究 2 已知抛物线 y=x²‑2kx+k²‑1。 (1) 求证：抛物线与 x 轴一定有两个交点； (2) 若抛物线过点 (2,3)，求 k 的值。 解： (1)Δ=(-2k)²‑4 (k²‑1)=4>0，Δ>0，所以抛物线与 x 轴一定有两个交点。 (2) 代入 (2,3)，4‑4k+k²‑1=3，k²‑4k=0，解得 k₁=0，k₂=4。 【单元自测】 下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y=3x‑1；(2) y=3x²+2；(3) y=3x³+2x²；(4) y=2x²‑2x+1。 解：(2)(4) 是二次函数，(1) 是一次函数，(3) 是三次函数。 抛物线 y=x²‑4x‑5 的开口方向向上，对称轴直线 x=2，顶点坐标 (2,-9)。 不画图象，判断抛物线 y=2x²‑3x‑5 与 x 轴有几个交点：2 个交点。 将抛物线 y=-2x² 平移，使顶点移到点 (-3,2)，平移后的抛物线解析式：y=-2 (x+3)²+2。 用一根长 40 cm 的铁丝围成一个矩形，求矩形的最大面积。 解：设矩形一边长为 x cm，S=x (20‑x)=‑x²+20x，0<x<20；x=10，S 最大 = 100 平方厘米。 【单元分层作业】 A 组【基础过关必做】 通过配方，写出抛物线 y=x²‑3x‑4 的开口方向、对称轴和顶点坐标。 解：y=(x-3/2)²-25/4；开口向上；对称轴直线 x=3/2；顶点 (3/2，-25/4)。 抛物线 y=x²‑2x‑8，求它与坐标轴交点的坐标。 解：与 x 轴交点 (4,0)，(-2,0)；与 y 轴交点 (0,-8)。 B 组【能力提升选做】 已知抛物线 y=x²+(m‑2) x‑2m。求证：无论 m 取何值，抛物线总与 x 轴有交点。 证明： Δ=(m-2)²-41(-2m)=m²-4m+4+8m=(m+2)²≥0， Δ 大于等于 0 恒成立，所以无论 m 取何值，抛物线总与 x 轴有交点。 已知二次函数 y=x²‑4x+3，当‑1≤x≤4 时，求函数的最大值与最小值。 解：y=(x‑2)²‑1，对称轴 x=2；x=2，y 最小 =-1；x=-1，y 最大 = 8。 C 组【拓广探索培优】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 解：设每件衬衫降价 x 元，每天利润 y 元。 y=(40‑x)(20+2x)=‑2x²+60x+800，对称轴 x=15，0≤x≤40。 x=15 时，利润最大。 答：每件衬衫降价 15 元，商场每天盈利最多。 已知抛物线 y₁=ax²+bx+c (a≠0) 与 y₂=kx+m (k≠0) 交于 A (-2,-5)，B (1,4) 两点，且抛物线 y₁与 y 轴交于点 (0,3)。 (1) 求抛物线 y₁的解析式； (2) 当 y₁>y₂时，直接写出自变量 x 的取值范围。 解： (1) 把 (-2,-5)、(1,4)、(0,3) 代入，解得 y₁=-x²+4x+3； (2) x<-2 或 x>1。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 单元复习导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【单元学习目标】 1. 梳理单元知识框架，巩固二次函数的定义、三种解析式形式、图象与性质，能熟练区分 a、b、c 对图象的影响。 2. 掌握配方法，熟练实现一般式与顶点式互化；会求对称轴、顶点、最值、与坐标轴交点；理解二次函数与一元二次方程的内在联系。 3. 会建立二次函数数学模型解决实际问题（面积、利润、抛物线实物模型），重视实际问题自变量取值范围，体会数形结合、转化、数学建模思想。 4. 查漏补缺，梳理常见易错点，提升综合解题能力，发展模型观念、几何直观。 学习重点：二次函数图象与性质；三种表达式互化；二次函数与一元二次方程；二次函数实际应用。 学习难点：参数 a、b、c 综合分析图象；自变量有限范围下求实际最值；函数‑方程综合问题。 【单元回顾】 本单元知识脉络： 1.二次函数定义：形如______________________（a____0）的函数叫二次函数。 2.二次函数三种表达形式 ①一般式：y=ax²+bx+c (a≠0) ②顶点式：y=a (x‑h)²+k (a≠0)，顶点________，对称轴________ ③交点式：y=a (x‑x₁)(x‑x₂) (a≠0)，x₁,x₂是抛物线与____轴交点横坐标。 3.a、b、c 的作用 a：决定抛物线________和开口宽窄；|a | 越大，开口越________。 a、b 共同决定：________________；口诀：左同右异。 c：抛物线与____轴交点的纵坐标，交点坐标________。 4.图象与性质填空 y=ax²+bx+c (a≠0)对称轴直线： ；顶点坐标：______________。 a>0，开口向 ，顶点为最____点；当 x ‑b/(2a)，y随x增大而减小；当x ‑b/(2a)，y随x增大而增大；有最____值________。 a<0，开口向____，顶点为最____点；当x____‑b/(2a)，y随x增大而增大；当 x____‑b/(2a)，y 随x增大而减小；有最____值________。 5.二次函数的平移 y=ax²经过平移得到y=a (x‑h)²+k；口诀：左加右减________，上加下减________。 6.二次函数与一元二次方程 ①抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的________就是方程 ax²+bx+c=0 的实数根。 ②判别式 Δ=b²‑4ac Δ>0，方程有________________根，抛物线与 x 轴有____个交点； Δ=0，方程有________________根，抛物线与 x 轴有____个交点； Δ<0，方程____________实数根，抛物线与 x 轴________交点。 7.二次函数解决实际问题建模步骤 ①审题找数量关系；②设自变量，列函数解析式；③确定________________； ④在取值范围内求最值；⑤检验结果，写出实际问题答案。 【知识建构】构建单元思维导图（学生在空白处手绘） 提示梳理分支：定义→三种解析式→图象性质→平移变换→函数与方程→实际应用。 【典型例题回顾・变式强化】 （覆盖单元四大核心题型：配方化顶点式、图象与方程、限定区间求最值、实际应用） 例 1（配方法变式）用配方法把 y=-2x²+8x‑5 化为顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。 例 2（函数与方程变式）已知抛物线 y=x²‑4x‑5。 (1) 求抛物线与 x 轴交点坐标； (2) 利用图象直接写出当 y≥0 时 x 的取值范围。 例 3（区间最值变式）已知二次函数 y=x²‑2x‑3，当‑2≤x≤3 时，求函数的最大值与最小值。 例 4（实际应用・课本原题变式：一面靠墙）现有总长为 48 m 的篱笆，利用房屋的一面墙围成矩形养鸡场（墙足够长），矩形垂直于墙的一边长为 x m，求养鸡场面积的最大值。 【易错点梳理，单元查缺补漏】小组合作完成 1.顶点式找h易错：y=2(x+3)²‑5，这里 h=________。 2.Δ=0，抛物线与x轴有____个公共点，不能说成交点。 3.实际问题求最值：顶点不一定可取，必须看________________。 4.方程的根是抛物线与x 轴交点（ ）的________，不是完整坐标 (x,0)。 本组错题记录： 【合作探究，单元综合提升】 探究 1 已知抛物线 y=-x²+2x+3。 (1) 求对称轴、顶点坐标； (2) 求抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标； (3) 当 y>0，直接写出 x 取值范围。 探究 2 已知抛物线 y=x²‑2kx+k²‑1。 (1) 求证：抛物线与 x 轴一定有两个交点； (2) 若抛物线过点 (2,3)，求 k 的值。 【单元自测】 1.下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y=3x‑1；(2) y=3x²+2；(3) y=3x³+2x²；(4) y=2x²‑2x+1。 2.抛物线 y=x²‑4x‑5 的开口方向____，对称轴________，顶点坐标________。 3.不画图象，判断抛物线 y=2x²‑3x‑5 与 x 轴有几个交点：________。 4.将抛物线 y=-2x² 平移，使顶点移到点 (-3,2)，平移后的抛物线解析式：________________。 5.用一根长 40 cm 的铁丝围成一个矩形，求矩形的最大面积。 【单元分层作业】 A 组【基础过关必做】 1.通过配方，写出抛物线 y=x²‑3x‑4 的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.抛物线 y=x²‑2x‑8，求它与坐标轴交点的坐标。 B 组【能力提升选做】 3.已知抛物线 y=x²+(m‑2) x‑2m。求证：无论 m 取何值，抛物线总与 x 轴有交点。 4.已知二次函数 y=x²‑4x+3，当‑1≤x≤4 时，求函数的最大值与最小值。 C 组【拓广探索培优】 5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 6.已知抛物线 y₁=ax²+bx+c (a≠0) 与 y₂=kx+m (k≠0) 交于 A (-2,-5)，B (1,4) 两点，且抛物线 y₁与 y 轴交于点 (0,3)。 (1) 求抛物线 y₁的解析式； (2) 当 y₁>y₂时，直接写出自变量 x 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $