第二十六章二次函数——二次函数中的存在性问题专项训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形存在性的综合应用，以分类讨论、几何代数转化为核心方法，系统构建"性质-判定-方程"的解题逻辑链，培养逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|10题|新定义迁移（偶点/方形点）、动态位置分类、圆与抛物线综合|以二次函数对称轴/顶点为基础，结合几何图形判定条件（直角/平行四边形），转化为方程求解| |解答题|7题|中点坐标公式、面积最值模型、对称变换应用|从单点存在到图形存在，逐步深化函数性质与几何关系的互化，体现从概念到综合应用的拓展|

第二十六章 二次函数——二次函数中的存在性问题 专项训练 一、单选题 1．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点M是抛物线（a，b，c为常数，）对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点M，使为直角三角形，则的值为（    ） A．－8或－6 B．－6或0 C．－8或2 D．0或2 2．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点，且，若在点，之间（含点，）的抛物线上存在两点，（点，不重合），使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线与抛物线关于y轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．1 4．在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为； ③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点： ④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 7．新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则______；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为______． 8．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 9．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，…，都是“方形点”．下列结论：①直线上存在“方形点”；②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是；③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数m的取值范围是；其中，正确结论的序号是_______ ． 10．定义∶在平面直角坐标系中，如果点满足 (k是常数)，我们称点P为“k级和值点”， 例如∶ 满足， 则称为“2级和值点”，下列结论正确的是___________． （1）函数与函数的图象上都存在“1级和值点”； （2）函数 存在两个“2级和值点”； （3）关于x的二次函数(m，n是常数)与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，则或； （4）已知关于x的二次函数(a，b，c是常数且()的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若，， 则 ． 三、解答题 11．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，点是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点、点的坐标． 15．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可． 【详解】解：∵△AOM是直角三角形， ∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形， 当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M， ∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）． 观察图象可知，﹣＝﹣1或4， ∴＝2或﹣8， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题． 2．B 【分析】求出抛物线的对称轴，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：， 对称轴为直线； （ⅰ）当时，， 点在对称轴左侧，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， ， 点也在对称轴左侧，如图答图①， ， ， ， 此时，在点，之间（含点，）的抛物线上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点不可能存在纵坐标相等的情况） （ⅱ）当时，， 点在对称轴右侧，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，点在对称轴左侧，点的对称点在对称轴右侧，如答图②，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等） ， ， ， 此时，在点，之间的抛物线上存在关于对称轴对称的两点，，使得； 综上所述，的取值范围为．（当点，位于对称轴异侧时，在抛物线上点，之间的部分关于对称轴对称的部分上的对应点均满足） 3．D 【分析】先利用关于y轴对称的抛物线的坐标变换规律求出的解析式，再根据两点都在抛物线上得到关于的恒等式，利用恒等式对任意成立的条件，对应系数相等求解，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与关于y轴对称，关于y轴对称的抛物线横坐标变号纵坐标不变， ∴将中替换为，得的解析式： . ∵点在上， ∴ . ∵点也在上， ∴将Q坐标代入解析式得： ， 把代入等式左边，得：左边 . 展开整理等式右边得：右边 . ∵等式对任意实数都成立， ∴对应项系数相等，得， 解得， 代入常数项验证得 ，符合要求． 故． 4．B 【分析】本题考查了新定义下的阅读理解能力。函数与方程的综合运用。对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则结合函数与方程的有关知识解题． 根据新定义的运算规则，结合函数与方程的有关知识，逐项判断即可． 【详解】解：①设点， ， 故①正确； ②设， ， ， ， ， 故②正确； ③设， ， ， 点的等和点在直线上， 当时，直线解析式为， 而直线与直线平行， 点的等和点一定不在直线上， 故③错误； ④设， ， ， 代入得， 即， 对于任意实数，二次函数的图象上总存在点的等和点； 故④正确； 故选：B ． 5．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的变换，理解并掌握“完美点”的定义，是解题的关键．令，得到，求出的值判断①，求出的解析式，将完美点代入，求出的值判断②，求出点坐标，得到轴时，直线为，根据抛物线的解析式，得到抛物线恒过，进而得到存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴，判断③． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：， ∴抛物线L上的完美点是或；故①正确； ∵将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线L上的完美点也在抛物线上， ∴当在直线上时，，解得：； 当在直线上时，，解得：， ∴或；故②正确； ∵， ∴当时，， ∴， ∵轴，则：直线为， ∵， ∴当时， ， ∴抛物线恒过点， ∴存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴；故③正确； 故选D． 6．D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，②④错误． 7． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．根据是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，，将，代入解方程组得到由，，两式相减得：，求得，得到“偶点”在直线上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线与抛物线在内有交点，将代入抛物线方程得得到，，这是一个函数，对称轴为直线，当时，当时，当时，求得在的最小值为，最大值为，于是得到结论． 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：， 解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ， 即， ， ，即， “偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：， 整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，； 当时，， 当时，； 在的最小值为，最大值为， 的取值范围 故答案为：；． 8． 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 9．①②/②① 【分析】令，则，求出x、y的值即可判断①；令，则，求出x、y的两对值，再结合勾股定理求出这两点之间的距离，即可判断②；把代入，求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合求出a、c的值，得出，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当时，求出x的值即可判断③． 【详解】解：①令，则， 解得，， ∴，即点在直线上，故①正确； ②令，则，解得，， ∴当时，；当时， ∴抛物线上的2个“方形点”为，， ∴点与的距离； 故②正确； ③∵点是二次函数的“方形点”． ∴， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点”． ∴（即）有且只有一个根， ∴， ∴， 解得，则， ∴， 二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时，， 解得，，， 当时，函数的最大值为，最小值为． 故③不正确， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一元二次方程根与系数的关系等知识．第（3）题的解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 10．③ 【分析】根据定义，构造方程组，，，，再利用解方程组，一元二次方程根的判别式，根与系数关系定理求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 解得，故函数的图象上存在“1级和值点”，且为； 根据题意，得， 故， 整理，得， 此时， 故该方程无实数根， 故不存在点满足， 故函数的图象上不存在“1级和值点”， 故（1）错误； 根据题意，得， 故， 整理，得， 此时， 故该方程有两个相等的实数根， 故存在一个点满足， 故（2）函数 存在两个“2级和值点”的说法错误； 根据题意，得， 故， 整理，得， 解得， 由关于x的二次函数(m，n是常数)与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”， 故符合题意，要舍去， 故在函数的图象的图像上， ， ， ， 当与x轴只有一个交点时， 此时， 故， 解得， 故， 此时，抛物线的解析式为， 此时与y轴交于点，满足与坐标轴只有2个交点， 故符合要求； 当与x轴有两个交点时， 此时图象必须经过原点， 故， 解得， 此时，抛物线的解析式为， 此时与y轴交于点，与x轴的交点为，满足与坐标轴只有2个交点， 故符合要求；故（3）正确； 根据题意，得， 故， 整理，得，设，， 则，是方程的两个根， 故， ， ， ， 故， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，取得最小值，且为； 当时，取得最大值，且为； 故， 故（4）错误． 11．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 12．(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 13．(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 14．(1) (2)满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）分情况讨论：当时，，当时，，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入得；把代入得． ∴，． 把，代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图： 由题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则． 当时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或． ∵， ∴或． 当时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或． ∵， ∴或． 综上所述，满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或． 15．(1)， (2)存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或 【分析】将代入，即可得点的坐标，将代入，即可得点的坐标； 由点的坐标，可得的面积与抛物线的对称轴，从而得的面积及D点坐标，得，再根据的面积即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； （2）解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号． 16．(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 17．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $