第26章《二次函数》单元提升卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 同步练，单元复习，覆盖二次函数概念、图像性质、平移、应用等核心知识点，分层设计从基础概念到综合探究，梯度合理，巩固路径清晰，体现数学抽象、运算及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、基本性质、简单运算|选择题1-5、填空题11-13直接考查概念辨析与基础运算，培养抽象能力| |中档|图像变换、解析式求法、简单应用|选择题6-8、解答题16-19结合图像与代数转换，提升运算能力| |拔高|综合应用、探究推理|解答题20-23联系投壶、饲养室面积等实际情境，培养模型意识与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第26章《二次函数》单元提升卷 姓名    班级    分数       1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.下列函数的解析式中，一定为二次函数的是. A. B. C. D. 2.关于二次函数，下列说法错误的是. A. 图像的对称轴是轴 B. 图像与轴的交点坐标为 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最大值为 3.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为. A. B. C. D. 4.已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是. A. B. C. D. 5.如图，二次函数的图象与轴交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是. A. B. C. D. 6.若抛物线经过第四象限的点，则关于的方程的根的情况是. A. 有两个大于的不相等实数根 B. 有两个小于的不相等实数根 C. 有一个大于另一个小于的实数根 D. 没有实数根 7.将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个，已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个．设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是. A. B. C. D. 8.已知二次函数为常数的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是. A. B. C. D. 9.某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠墙墙的长度为米，另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留米宽的门，已知计划中的围栏材料不包括门总长为米，则能建成的饲养室面积最大为平方米． A. B. C. D. 10.如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：；；；，正确的有. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.若函数是二次函数，则的值为      ． 12.已知一个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别为和，与轴的交点坐标为，则该二次函数的解析式为       ． 13.将抛物线向下平移个单位长度若平移后得到的抛物线与轴有公共点，则的取值范围是          ． 14.用长为的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大为       ． 15.对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”例如：，均是“闭函数”已知是“闭函数”，且抛物线经过点和点，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.本小题分已知函数． 当为何值时，此函数是一次函数？当为何值时，此函数是二次函数？ 17.本小题分已知抛物线的顶点坐标为，且这条抛物线与轴的一个交点坐标是求： 抛物线的表达式；求这条抛物线与轴的另一个交点的坐标． 18.本小题分已知二次函数． 将二次函数化成的形式；在平面直角坐标系中画出的图象； 结合函数图象，直接写出时的取值范围． 19.本小题分已知抛物线经过点和． 求、的值；将该抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 20.本小题分投壶投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系单位长度为某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． 求抛物线的表达式． 若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． 在的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 21.本小题分已知二次函数。 若点在二次函数的图象上，求的值。求证：不论为何实数，二次函数的图象与轴总有两个交点。 22.本小题分小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图所示的函数图象，请根据函数图象，解答下列问题： 观察探究：写出该函数的一条性质：          ； 方程的解为：          ； 若方程有四个实数根，则的取值范围是          ． 延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围． 23.本小题分如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点设点的横坐标为． 求抛物线的解析式 若点在第一象限，连接，，当线段最长时，求的面积 是否存在这样的点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形若存在，请直接写出点的横坐标若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  解：化简得：不是二次函数，不合题意； B.只有当时才是二次函数，不合题意； C.是二次函数，符合题意； D.不是二次函数，不合题意； 故选C． 2.【答案】  3.【答案】  解：将二次函数的图象向左平移个单位长度，得到：， 再向上平移个单位长度得到：． 故选． 4.【答案】  【解析】解：选项A：抛物线开口向下， ． 对称轴为直线， ． ． 故选项A错误； 选项B：设抛物线与轴的另一个交点为， 则抛物线的对称轴可表示为， ，解得， 抛物线与轴的两个交点为和． 又抛物线开口向下， 抛物线与轴交于正半轴． 故选项B错误． 选项C：抛物线过点． 故选项C错误； 选项D：，且， 故选项D正确． 故选． 5.【答案】  【解析】解：二次函数的图象与轴交于和两点，函数开口向下， 函数值时，自变量的取值范围是， 故选． 6.【答案】  解：由抛物线经过第四象限的点， 画出函数的图象如图： 由图象可知：关于的方程的根的情况是有一个大于另一个小于的实数根， 故选． 7.【答案】  解：设这种商品的售价为元时，获得的利润为元， 则每件商品的利润为元，商品能卖出件， 根据题意可得：， 故选． 8.【答案】  解：二次函数为常数的图象与轴有交点， 解得； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大， ， 实数的取值范围是． 故选． 9.【答案】  【解析】设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总面积为． ，解得， 根据题意，得． ，且， 当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米故选D． 10.【答案】  解：由抛物线的开口向下可得：， 根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以， 根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：， ，故错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故正确； 直线是抛物线的对称轴，所以，可得， 由图象可知，当时，，即， ， 即，故正确； 由图象可知，当时，；当时，， 两式相加得，，故正确； 结论正确的是，个， 故选． 11.【答案】  解：是二次函数， ， ， ， ， ． 故答案为． 12.【答案】  解：根据题意，设该二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得． 所以该二次函数的解析式为，即． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度得， 平移后得到的抛物线与轴有公共点， ， ， 解得， 故答案为． 14.【答案】  解：设窗的高度为，宽为，窗户的透光面积为 由矩形面积公式，得． ， 当时，的最大值为． 故窗户的透光面积最大为． 15.【答案】或  解：抛物线经过点和点，  ， ， 得：   即与互为相反数， 得：； 所以抛物线表达式为， 对称轴为， 当时，抛物线开口向下，且， 抛物线经过点和点， 画图可知，当时符合题意，此时， 当时，图象不符合的要求，舍去 同理，当时，抛物线开口向上，且， 画图可知，当时符合题意，此时， 当时，图象不符合的要求，舍去， 综上所述：的取值范围是或， 故答案为或． 16.解：函数是一次函数， 且， 解得； 当时，此函数是一次函数； 函数是二次函数， ， 解得且， 当且时，此函数是二次函数．  18.解： ； 抛物线的顶点坐标为， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为； 当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，； 如图， ．  19.解：将点和分别代入，得 ． 解得． 所以，． 由知，该抛物线解析式为：，将该抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的抛物线解析式为：或．  20.【答案】解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，， ，， ，， 抛物线的解析式为 令， 解得，舍去，  ， 答：人离壶的距离为 ； 设再次投壶时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为：， 将代人，得： ， 解得， 的取值范围为， 故答案为． 21.解：(1)因为点在二次函数的图象上， 所以， 解得， 所以的值为。 证明：， 当时，， 。 因为， 所以， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以不论为何实数，二次函数的图象与轴总有两个交点。 22. (1)函数图象关于轴对称答案不唯一;或或;. 如图，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到函数的图象． 当时，自变量的取值范围是且． 23.解：把点，代入，得 ，解得 ． 设直线的表达式为， 把点，代入，得 ，解得． ． 设点的坐标为，则． 点在第一象限， ． 时，二次函数有最大值，即的最大值为． 则． 存在点的横坐标是或．  【解析】， 当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形． 当点在第一象限时，，最大时只有， 所以不可能有． 当点在第二象限时，，． 解得舍去，． 点的横坐标是． 当点在第四象限时，，． 解得，舍去． 点的横坐标是． 综上所述，点的横坐标是或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $