广东佛山市第一中学2026届高三下学期高考适应性考试数学试题(三 )

**基本信息** 佛山一中2026届高考三模数学卷，覆盖集合、复数等基础知识点及函数、解析几何等综合内容，通过梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、统计、立体几何|基础题为主，如第3题考查上四分位数，落实数据意识| |多选题|3/18|函数图像与导数、立体几何动态问题|注重思辨，如第10题结合直四棱柱动态点探究体积与轨迹，考查空间观念| |填空题|3/15|三角求值、函数零点（等差数列）、概率|创新设计，如第13题以零点等差数列考查函数与数列综合| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明与二面角、概率应用、双曲线综合、导数应用|综合度高，如18题探究双曲线与圆切线截弦的定值问题，19题导数单调性分类讨论，考查逻辑推理与数学建模|

佛山市第一中学2026届高考适应性测试（三模） 数 学 请注意：满分150分， 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知一组数据：95，105，130，88，118，97，103，则这组数据的上四分位数为（    ） A．95 B．97 C．105 D．118 4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角的大小为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 8．若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数 ，若及其导函数 的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．函数在区间 上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的最大值为3 10．在直四棱柱中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若平面，则的最小值为 C．若的外心为，则为定值2 D．若，则点的轨迹长度为 11．已知函数定义域为，当时，，且对任意实数，均有，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是单调函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则的值为__________． 13．已知函数的四个零点是以0为首项的等差数列，则______. 14．设，函数（e是自然对数的底数，）.从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为__________. 4、 解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在中，角所对的边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 16．（15分）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 17．（15分）甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为. (1)求p，q的值； (2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率. 18．（17分）双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为. (1)求双曲线C的方程； (2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； (3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值. 19．（17分）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点 处切线方程； (2)求的单调区间； (3)若区间，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $佛山市第一中学2026届高考适应性测试（三模） 数学 请注意：满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.已知集合A={xx2-2x-8≤0，B={x2<8,则AnB=() A.{d-2≤x≤4 B.{x-4≤x≤2} C.{x-2≤x<3} D.{x-4≤x<3} 2.复数z满足=(1-)=3-2i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为() A.月 B月 c D 3.已知一组数据：95,105,130,88,118,97,103，则这组数据的上四分位数为（) A.95 B.97 C.105 D.118 4.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角的大小为元，则圆台的体积为() B D.3π 5.已知过原点的直线1与圆C:(x-3}+(y-4)}=49相交于A,B两点，则AB的最小值为() A.6 B.V39 C.45 D.4V6 [-x2-2a-a,x<0 6.已知函数f(x)= n+P+1+1,x≥o在R上单调递增，则实数a的取值范围是() A.（-00,0] B.【-1,0] C.[-1,1] D.[0+oo) 已知数列a满足：a=-1,422+neN).若数列，}满足，=a1,则数列}的前20项和为() 40 A.39 B.- 20 39 C.1 D品 8若糖圆等+)P-1的左右熊点分别为月。乃，直线上=x1与精圆交于A台两点，若点P为线段AB上的 动点，则SaAP+SA,P的最小值为（) A.4W5+1 B.43-1 5 c45- D, 43+1 5 5 5 试卷第1页（共4页） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=Acos(x+p)(A>0,w>0,0<p<π，若∫(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示，则() B.函数f'(x)在区间 π2 3’3 上单调递增 C.fx)的图象关于直线x=-亚对称 6 D.f(x)+f'(x)的最大值为3 10.在直四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=AD=AA=2,P为CC中点，点Q满足 D0=ADC+uDD,(A∈[0,1,0,1]).下列结论正确的是（) D A 2 A.若入+H= 2 ,则四面体ABP2的体积为定值 B.若AQ‖平面ABP,则AQ+C1Q的最小值为V10+3√10 C.若△ABQ的外心为O,则AB·AO为定值2 D.若49=万，则点2的轨迹长度为刀 已知函数)定义或为R,当x<0时，0<f田<)，且对任意实数mn西 1 11-1、+2,则() f(m+n)f(m)f(n)f(m)f(n) 试卷第2页（共4页） A.f(0)=1 B.的图象关于点(0)对称 c01 D.f(x)是单调函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若2=5°=40，则3+2的值为 13.已知函数f(x)=(x2-6x+m)(e3+e3-n)的四个零点是以0为首项的等差数列，则m+n=一· 14.设m,neN,≤10，n≤10，函数f(x)=em-nx(e是自然对数的底数，e≈2.718).从有序实数对(，n)中随机 抽取一对，使得∫(x)恰有两个零点的概率为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(I3分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a-C=sim(A+C) a-b sinA+sinC (1)求角C的大小： (②若b=号。c-5.求AC的面积 16.(15分)如图，平行六面体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点， A4=2,∠CCB=∠CCD,∠CC0=45° 0 、.B A A (1)证明：CO⊥平面ABCD; (2)求二面角B-A41-D的正弦值， 试卷第3页（共4页） 17.(15分)甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题在第一轮比赛中， 答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲、乙两人在第一轮 比赛中答对题的概率都为p,在第二轮比赛中答对题的概率都为4.且在两轮比赛中答对与否互不影响设定甲、乙两 人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的 概率为，乙得5分的概率为 6 (1)求p,q的值； (2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率. 187分》）双自线c答茶-1(a~0b>0)的离心率为v5,圆0+-2与箱正半轴交可点A国0在 点A处的切线被双曲线C截得的弦长为2√2 (1)求双曲线C的方程， (2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N试判断PM:PW是否为定值？若为定值，求出该定值； 若不是定值，请说明理由； ()若将(2)中的双曲线改为椭圆+” IG+3=L,其他条件不变，试探讨PMPN的值 19.(17分)已知函数f)=n()+2-a其中a≠0. (四)当a=2时，求曲线)=f(y在点1f)处切线方程： (2)求f(x)的单调区间； ⑧洁区同1+oe/归司 求实数a的取值范围， 试卷第4页（共4页）适应性测试（三)答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B D B B AC ABD 题号 11 答案 BCD 12.1 13.e+或8+e2+ 1 3 14. 2010.15 15.(1)根据愿意，知sn(1+C)=sim(π-)=sinB a-c sin(A+C) 故由 a-b-sind+sinc (a-c)(sin4+sinC)=(a-b)sinB, 根据正弦定理符a-ca+c)=(a-bb,即r-c2=b-公，即a+-c2=ab, 所以c0sC=g2+-c2-b-1 2ab 2ab2' 又因为0<C<元，所以C= 3 6 V3 (2)由正弦定理cb,即3sinB,所以得、 sinC sinB 2 ng=3, 因为c>b,所以C>B,故角B为锐角，则osB=V-sin2B= 5, m1=s如(r-0sm(8+C=sa+}m8+5 c0sB=3+4V5 故 2 10, 所5csn4-*g5x34536+95 25 1050. 16.(1) D A BC,DC 连接 因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC=DC, ∠CCB=∠CCD CC=CC 又因为 ACCBEACCD BC=DC 所以 ，所以 点O为线段BD中点，所以 O⊥BD 在ACc0中，CG=2.C0-4C=5,∠Cc0=45, 21 ,cos∠GO_W2_CC2+OC-CO→CO=√2 22×CC×OC 则Gc=0C'+C0→c01oc 又OC∩BD=O,OCC平面ABCD,BDC平面ABCD, O 所以 平面ABCD (2)【方法-】：由题知正方形BCD中4C1BD,CO平面BCD, 所以建系如图所示， ZA D A B 则B0,5,0,D0,-5.04A5,0.o,c(2.0o)c(0.0,2) 则=cC=(2,0.v2) AB=(2,2,0D=(2,-20)】 设面B4的法向量为m=(,）,面DA的法向量为7 =(6,,2) A4:m=0∫V2x+V2z=0 则4Bm=0-V2x+V2y=0,取x=1,则m=(1,山，-1) A4i=0∫W2x2+V22=0 ADm=0-V2x,-2,=0取x=1,则=(1，-1，-)： B-AA-D 设二面角 0大小为°， 则cos= m-同V3×53→sin0=V-cos'0-22 3, 2W2 所以二面角B-A4-D的正弦值为3： 【方法二】：以0为坐标原点，OB的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 -xyz 由题设得Bv50,0,40,-V5.0),40,-25,V2).D-20,0) c(00,2).c02,0), A4=CC=(0,-V2,2)AB=(N2,V2,0)AD=(←V2,N2,0) =(任，2是平面的法向量， AAB 设 m.A4=0「-V2y+V2z=0 则mAB=0,即V2x+2y=0，可取m=(,-1,-1) 设=p.g,八是平面 AD 的法向量， n·AA=0 -V2q+N2r=0 则n.AD=0,即-V2p+V2g=0:可取i=(4,11): 碳成号 2√2 因此二面角B-AA-D的正弦值为3， Z D B Ao,A2,4,As B0,B2,B3,B 17.(1)设 分别表示在一次比赛中甲得分的事件， 分别表示在一次比赛中乙得分的事件。 因为在一次比赛中甲得2分的概率为2，乙得5分的概率为6， P)=p0-g)-号 所以 P(B)=p9=6 1，即。11，解得。2.1 P- 62 p=39= 4 (2)由已知 P)Pa)}44 P4)-=Pe)克 ()-P()- (() 设C为“星队'在一次比赛中的总得分为5分"， C=AB UA,B UAB,UAB 则 则PC)=P(4)+P(4B,)+P(4B)+P(4R) =P(A)P(Bs)+P(42)P(B)+P(A)P(B2)+P(A)P(Bo) =1x1+Lx1+1x1+1x1=1 46212122646: 1 所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是6 18()设双曲线C的半焦距为e,依题感，台=5.即有c=5a,b=V2a: 圆0：+y2=2交x销于点4(5,0）.则圆0在点4处的切线x=2枚双曲线C被得的弦长为25， 由双曲线的对称性知被截弦的端点 2,2)在双曲线C上， 22 因此子存=1，而6=2a,解得a2=12=2 2--1 所以双曲线C的方程为2 (②)当圆0在点P处切线斜率不存在时，点P2,0或P-5,0,切线方程为=2或=-2， 由(4)及己知，得PM HPN作5，则有PMPW=2. 当圆O在点P处切线斜率存在时，设切线方程为'=c+m,M(,)N(,), ml=反 [y=kx+m 则有Vk2+1,即m2=2k2+),由2x2-y2=2消去y得： [k2-2≠0 (k2-2)x2+2kamx+m2+2=0,显然△=4k2m2-4(K2-2)(m2+2)=8k2+32>0, -2km m2+2 x+x=-2x=2-2,而0M=(G,y),0N=(,)少 OM.ON=x+=(x+m)(kx2 +m)=(k2+1)xx2+km(+x)+m2 则 =(《2+10.m+2 m-2m+m2-m2+2k+2-km+m-2-km +km k2-2 k2-2 +m2=0, k2-2 k2-2 因此OM⊥ON,在Rt△OMN中，OP⊥MN于点P,则 PMPNI-OPP=2 综上得PM-IPNI为完值2 （3)当圆0在点P处切线斜率不存在时，点P心5.0)或P-5.0,切线方程为=5或=-5， x2.y2 把x=士2代入椭圆方程6+3L,得yF2,即1 PM HPNI作V2,则有PMPN=2, 当圆O在点P处切线斜率存在时，设切线方程为 =x+n,M(x3,y3),N(x4,y4) L=2 y=tx+n 则有2+1，即n2=2+1),由x2+2y2=6消去y得： (2r2+1)x2+4nr+2n2-6=0mn△'=16n2t2-4(2t2+1)(2n2-6)=8(4t2+1)>0 ,显然 -4ntx_2n2-6 +2+7=2+,而0M=Gy,0N=(化y) 则0O7-ON=+=+c+n+m)=e+1x,+m化+)+r =忙+02分-6+m+r2=6+2m6-2n+r=0+0m+r=0, 2t2+12t2+1 22+1 22+1 因此OM1ON,在Rt△OMW中，OP⊥MN于点P,则A PM PNOPP=2 综上得PM-IPMI为定值2 19山当。1时，f)=n =In x,1 a= 22x-1 24x-2, 2 11-1-n2, 则f()=n号 “24-22 r 则f(0=1-1=0 故线y=了曰)在点4f0)处切线方程为=分n2。 a0-2 2x(x-a)’ o若a>0,则f定义域为0，U(a+w）,有2x(r-a旷>0恒成立， 则当*0a*o所，r0, 当5小a2.ao, 即.a上e速.在5a2上卓老法 ②若a<0,则（定义域为←心，U(a,0),有2x(x-a<0恒成立， 则当2(0.f0 因(2.（河老故.在a.号）L单： 综上所途：当>0时、在0 (2a,+o)上单调递增， 在号(a2)上华别放 当0ten20.号可上是流 在Bad.色号)上华运， 8有+产分.ta0.有e3x0oe树. 故0<as1,则9在a2a)上单调递减，在2a,+)上单调递增 若as1s2a:即时≤a≤l时， f)在，2)上单调递减，在2a,+）上单调运增， 有-hz02司h2号 a 2或5 解得 sas1 2(舍去)，即2 1 若0<2a<1,即0<a<2时，f()在(L,+o)上单调递增， 及房wma+4m0≥1“—=2a1 21-a2,即a22(1-a)2a-2, 2a->0,故无解： 由0<a<2,故na<0,2a-2 劫定数。的取值范围为2,1