5.3二元一次方程组的应用（课时1）（教学课件）——2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，以《孙子算经》“雉兔同笼”问题导入，通过知识回顾（解方程组的消元方法）搭建学习支架，引导学生从实际问题中抽象等量关系，衔接旧知与新知。 其亮点是以古算问题为主线，如“雉兔同笼”“张丘建算经”等实例，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理等量关系）和数学语言（列方程组表达）。通过多解法对比和步骤归纳（审设列解验答），助力学生形成模型观念，教师可借助丰富实例提升教学效率。

5.3二元一次方程组的应用（课时1） 第五章 二元一次方程组 北师大版(2024) 1 素养目标 2.掌握列方程组解决问题的一般步骤，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养模型观念及应用能力. 1.能根据题目将“古算”翻译成现代语言并找到这些具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决“古算”类的实际问题； 2 知识回顾 1.解二元一次方程组的基本思路是“ ”. 消元 2.解二元一次方程组的主要方法有 和 . 加减消元法 代入消元法 4.用加减消元法解二元一次方程组的步骤： 变形 加减 求解 回代 写解 3.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： 变形 代入 求解 回代 写解 检验 检验 3 新知导入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本等国. “雉兔同笼”题为：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 4 探究新知 “雉兔同笼”题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ “上有三十五头”是什么意思？“下有九十四足”是什么意思？ 上面共有35个头，下面共有94只脚 这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 等量关系：鸡头+兔头=35，鸡脚+兔脚=94. 涉及的量：鸡兔一共有35个头，94只脚. 5 探究新知 “雉兔同笼”题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 等量关系：鸡头+兔头=35，鸡脚+兔脚=94. 你能根据等量关系列方程组解决这个问题吗？ 解：设鸡为x只，兔为y只. 鸡头+兔头=35， 鸡脚+兔脚=94. 6 探究新知 “雉兔同笼”题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 解：设鸡为x只，兔为y只. 则 解这个方程组，得 所以笼中有鸡23只，兔12只. 你能用一元一次方程或小学算术方法解决上面的问题吗？ 7 探究新知 “雉兔同笼”题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 解：设鸡x只，兔子(35-x)只， 由题意，得2x+4(35-x)=94 解得：x=23 35-23=12(只） 答：鸡23只，兔12只. 一元一次方程 鸡兔一共有35个头，94只脚. 8 探究新知 “雉兔同笼”题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 假设所有的动物都只有两条脚 小学算术方法 94-35×2=24 24÷2=12（只） 35-12=23（只） 多出来的脚数(兔子的) 兔子的个数 鸡的个数 答：鸡23只，兔12只. 鸡兔一共有35个头，94只脚. 9 探究新知 【尝试思考】 列方程组求解下面的问题: 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍.甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔? (选自意大利数学家斐波纳奇的《计算之书》) 这个问题中有怎样的等量关系？ 甲拥有的第纳尔+乙的7第纳尔= 5倍(乙的第纳尔- 7第纳尔) 乙拥有的第纳尔+甲的5第纳尔= 7倍(甲的第纳尔- 5第纳尔) 10 探究新知 甲拥有的第纳尔+乙7第纳尔= 5倍(乙的第纳尔- 7第纳尔) 乙拥有的第纳尔+甲5第纳尔= 7倍(甲的第纳尔- 5第纳尔) x+7=5(y-7) ① y+5=7(x-5) ② 设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y第纳尔 11 探究新知 解：设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y个第纳尔. 解这个方程组，得 所以甲原来拥有第纳尔，乙原来拥有第纳尔 则 12 例题练习 今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？(选自《张丘建算经》) 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱？ 13 例题练习 解：设甲带的钱为x，乙带的钱为y， 根据题意得： 解这个方程组，得 所以甲带了38钱，乙带了18钱. 14 归纳总结 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 1.审——通过审题找出等量关系； 2.设——用字母表示题目中的两个未知数； 3.列——依据找到的等量关系，列出方程组； 4.解——解方程组，求出未知数的值； 5.验——检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，包括单位名称； 6.答——回答题目中要解决的问题，注意单位. 关键：找等量关系、列方程组. 15 A 16 D 17 18 A 19 6 20 15 21 22 23 小结 应用二元一次方程组解决古算类问题 一般步骤：审、设、列、解、验、答. 关键：找等量关系、列方程组. 24 谢谢同学们的聆听 25 练习1 《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗x钱，下粟每斗y钱，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 解析：根据题意，得 . 练习2 《孙子算经·卷中》有一题：“今有四人共车,一车空；三人共车,八人步.问人与车各几何？”译文：如果每4人乘坐一辆车,就有1辆车空着；如果每3人乘坐一辆车,就有8人步行.问有多少人？多少辆车？设有x人,有y辆车,根据题意,列出方程组得( ) A. B. C. D. 解析：设有x人,y辆车, 每4人乘坐一辆车,有1辆车空着, 实际使用的车辆数为 ,总人数满足 ； 每3人乘坐一辆车,有8人步行, 坐车人数为 ,加上步行人数等于总人数,总人数满足 ； 因此可得方程组 ; 练习3 我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买x个，果买y个，那么可列方程组为( ) A. B. C. D. 解析：依题意，得： .故选：A. 练习4 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是_______分. 解析：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分， 根据题意得： ，解得： ， 即每尺绢的价格是6分，故答案为：6. 练习5 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为_________尺. 解析：设绳索长x尺，竿子长y尺. 根据题意得 解得 故答案为15. 练习6 《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？ 解：设李三公家的店有x间客房，来了y个房客. 依题意，得 解得 答：李三公家的店有8间客房，来了63个房客. 练习7 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著,其中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘,少两盘；三人共盘,长三盘.问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人.若2个人共用1个盘子,则少2个盘子；若3个人共用1个盘子,则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题. 解：设有x个客人,y个盘子. 根据题意,得 ,解得 , 答：有30个客人,13个盘子. $