5.3 二元一次方程组的应用 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，以“增收节支”现实情境导入，通过工厂利润问题引导学生用表格梳理量的关系，衔接方程组解法，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合表格梳理，培养数学眼光（抽象量的关系）、数学思维（推理等量关系）和数学语言（建立方程组模型）。实例涵盖工厂利润、商品调价等，采用典例精析与分类总结，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第五章　二元一次方程组 5.3 二元一次方程组的应用 北师大版八年级上册 第2课时　二元一次方程组的应用——增收节支 导入新课 在现实生活中，我们常常会听到这样一个词语：增收节支.当我们遇到实际问题的时候，该如何解决呢？ 2 例如：某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?如果设去年的总产值为x万元,总支出为y万元. 你能否采用表格的形式，用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢？ 探究新知 1.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品 的利润为____元； 2.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品 的利润率为______； 3.一种商品标价为 150 元，打八折后的售价为____元； 4.一种商品标价为 200 元，当打____折后的售价为 170 元. 15 10﹪ 120 8.5 5.某工厂去年的总收入是 x 万元，今年的总产值比去年增加了 20%，则今年的总收入是__________万元； 6.若该厂去年的总支出为 y 万元，今年的总支出比去年减少了 10%，则今年的总支出是__________万元； 7.若该厂今年的利润为 780 万元，则根据 5，6 可得方程___________________________. (1 + 20%) x (1 + 20%)x - (1 - 10%)y = 780 (1 - 10%) y 问题1：增长 (亏损) 率问题的公式？ 原量×(1 + 增长率) = 新量 原量×(1 - 亏损率) = 新量 问题2：银行利率问题中的公式？(利息、本金、利率) 利息 = 本金×利率×期数(时间) 本息和 = 本金 + 利息 利润 = 总产值 - 总支出 利润率 = (总产值 - 总支出) / 总产值×100% 根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题. 某工厂去年的利润(总产值 - 总支出)为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20％，总支出比去年减少了 10％，今年的利润为 780 万元。去年的总产值、总支出各是多少万元? 交流讨论 （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系? 去年的总产值，总支出，去年的利润； 今年的总产值，总支出，今年的利润。 去年的总产值 - 去年的总支出 = 200 万元 今年的总产值 - 今年的总支出 = 780 万元 等量关系： 今年的总支出=去年的总支出×(1 - 10%) 今年的总产值= 去年总产值×(1 + 20%) 设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有： 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 今年 (1 + 20﹪)x (1 - 10﹪)y 780 x y 200 (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？ 与同伴进行交流。 因此，去年的总收入是 ，总支出是 . 根据上表， 可以列出方程组 . 解这个方程组，得 . x - y = 200， (1 + 20﹪)x - (1 - 10﹪)y = 780 x = 2000， y = 1800 2000 1800 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%.求甲、乙两种商品原来的单价. 练一练 本问题涉及的等量关系为： 甲商品原单价十乙商品原单价 = 100元， 调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1-5%)元. x y x - 15%x = (1-15%)x x + 10%x = (1+10%)x 解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元. 根据题意，得 答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元. x＋y＝100， (1－15%)x＋(1＋10%)y＝100×(1－5%). 解得 x＝60， y＝40. 实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题 [方程(组)] 解方程（组） 数学问题的解 双检验 实际问题的答案 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔想聘请饲养员代为管理现有的 42 头大牛和 20 头小牛，已知甲种饲养员每人可负责 8 头大牛和 4 头小牛，乙种饲养员每人可负责 5 头大牛和 2 头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人才能使所有的牛都恰好能被饲养到? 典例精析 分析： 设李大叔应聘请甲种饲养员 x 人， 乙种饲养员 y 人. 甲负责 x 头 乙负责 y 头 总牛数 大牛数 小牛数 8x 4x 5y 2y 42 20 答：李大叔应聘请甲种饲养员 4 人，乙种饲养员 2 人. 8x + 5y = 42， 4x + 2y = 20. 解得 x = 4， y = 2. 解： 设李大叔应聘请甲种饲养员 x 人，乙种饲养员 y 人. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质，若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，则每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要? 典例精析 分析：设每餐甲、乙原料各 x g、y g，则有下表: 甲原料 x g 乙原料 y g 所配的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x x 0.7y 0.4y 35 40 答：每餐用甲原料 28 g、乙原料 30 g 可以恰好满足患者的需要. 根据题意，得方程组 0.5x + 0.7y = 35， x + 0.4y = 40. 5x + 7y = 350， 5x + 2y = 200. 化简，得 解得 解：设每餐甲原料 x g、乙原料 y g， 总 结 1.基本数量关系：各部分数量之和 = 全部数量； 2.方法：找明显关系词，如：是、多、少、倍、共、几分之几等. 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分.市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分，试问该队胜几场? 平几场? 分析：胜场＋平场= 总场次；胜分＋平分=总分数 练一练 答：该队胜了 8 场，平了 3 场. 根据题意得 3x + y = 27. x + y = 11， 解得 x = 8， y = 3. 解：设该队胜了 x 场，平了 y 场. 列方程组解决实际问题 百分率问题 和差倍分问题 增长率(下降率)问题 利润问题 增长后的量 下降后的量 利润 利润率 课堂小结 1. 我市某九年一贯制学校共有学生3 000人，计划一年后初中 在校生增加8％，小学在校生增加11％，这样全校在校生将增 加10％。求这所学校现在的初中在校生和小学在校生的人数。 设这所学校现在的初中在校生有x人，小学在校生有y人，填 写下表并列出方程组。 人数 初中 小学 总人数 现在学生人数 x y 3 000 计划新增人数 8％x 11％y 3 000×10％ 3 000 8％x 11％y 3 000×10％ 可列方程组为 ⁠。 ​ 课堂练习 A层 基础练 2. (教材P123练习T2•改编)甲、乙两人骑车从相距40 km的两地相向而行，如 果甲、乙同时出发，那么在出发后1.6 h两人相遇；如果乙比甲先出发1 h， 那么在甲出发后1 h两人相遇。求甲、乙两人的骑行速度。 设甲每小时骑行x km，乙每小时骑行y km。填写下表并求x，y的值。 两种情况 甲的 路程 乙的路 程 甲、乙两人的路程 之和 第一种情况(同时出发) 1.6x 1.6y 40 第二种情况(乙比甲先出发1 h) x 2y 40 解：根据上表，可列出方程组 1.6x 1.6y 40 x 2y 40 解：根据上表，可列出方程组 解得 所以，x，y的值分别为10，15。 A层 基础练 3. 用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式和横式 两种无盖纸盒。现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，两种纸盒 各做多少个时，恰好将库存的纸板用完？ 设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个时，恰好将库存的纸板用完。填写下表并求x，y 的值。 纸板的个数 x个竖式纸盒中 y个横式纸盒中 合计 正方形纸板的个数 x 2y 1 000 长方形纸板的个数 4x 3y 2 000 解：根据题意，得 x 2y 4x 3y 解：根据题意，得 解得 所以，竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个时，恰好将库存的纸板用完。 解得 所以，竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个时， 恰好将库存的纸板用完。 A层 基础练 4. 某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年 和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两 位同学的对话。 小明：去年两超市的销售额共为150万元，今年两超市的销售 额共为170万元。 小亮：甲超市的销售额今年比去年增加10％。 小颖：乙超市的销售额今年比去年增加20％。 根据他们的对话，得出今年甲超市的销售额为(　D　) A. 50万元 B. 60万元 C. 100万元 D. 110万元 D B层 提升练 5. 一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而 成，要求原料中含二氧化硅70％。经过化验，石英砂中含二氧 化硅95％，长石粉中含二氧化硅63％。要配制3.2 t原料，需石 英砂，长石粉各多少？ 解：设需石英砂x t，长石粉y t。 根据题意，得 解：设需石英砂x t，长石粉y t。 根据题意，得 解得 所以，需石英砂0.7 t，长石粉2.5 t。 解得 所以，需石英砂0.7 t，长石粉2.5 t。 B层 提升练 6. 某水果店用1 200元购进甲、乙两种水果共140 kg，这两种 水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/(元/kg) 售价/(元/kg) 甲种 5 7 乙种 10 15 (1)这两种水果各购进多少千克？ 解：(1)设购进甲种水果x kg，乙种水果y kg。 果40 kg，乙种水果100 kg。 解：(1)设购进甲种水果x kg，乙种水果y kg。 根据题意，得解得 所以，购进甲种水果40 kg，乙种水果100 kg。 C层 拓展练 (2)由于乙种水果运输和售卖过程中出现了20％的损耗，若该水 果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或 赔了多少元？ 解：(2)甲种水果的销售额为40×7＝280(元)， 乙种水果的销售额为100×(1－20％)×15＝1 200(元)， 则总销售额为280＋1 200＝1 480(元)， 1 480－1 200＝280(元)。 所以，水果店赚钱了，赚了280元。 解：(2)甲种水果的销售额为40×7＝280(元)， 乙种水果的销售额为100×(1－20％)×15＝1 200(元)， 则总销售额为280＋1 200＝1 480(元)，1 480－1 200＝280(元)。 所以，水果店赚钱了，赚了280元。 6. 某水果店用1 200元购进甲、乙两种水果共140 kg，这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/(元/kg) 售价/(元/kg) 甲种 5 7 乙种 10 15 C层 拓展练 $