湖南省衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三开学考数学卷全面覆盖高考内容，以探照灯反光镜（抛物线光学性质）、科技小制作概率等真实情境为载体，考查函数、几何、统计等模块，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量、概率期望、函数奇偶性|第6题抛物线光学性质结合光路可逆，考查数学应用| |填空题|3题/15分|等差数列求和、函数零点、双曲线内切圆|第14题双曲线内切圆问题，深化几何直观| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何距离、统计案例、椭圆轨迹、新定义函数|17题分层抽样与独立性检验体现数据意识，19题“H函数”新定义考查逻辑推理与创新思维|

衡阳县四中2026-2027学年高三第一学期开学考试卷 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 考试内容：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若1，m，7，7，9，9，10的众数为9，则这组数据的中位数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.若集合，，则( ) A. B. C. D. 3.设的三个内角分别为A，B，C，向量，.若，则( ) A. B. C. D. 4.已知某科技小制作课的模型制作规则是每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为X，若X的数学期望，则p的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 6.探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后平行于对称轴射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程是( ) A.19 B.20 C.21 D.22 7.若数列和满足，，，则( ) A. B. C. D. 8.若函数与函数有公切线，则实数a的最小值为( ). A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设复数，满足，，则下列结论中正确的是( ) A.的共轭复数为 B. C.若是方程的根，则 D. 10.已知圆，圆，则下列结论正确的是( ) A.无论k取何值，圆心始终在直线上 B.若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C.若圆O与圆的公共弦长为，则或 D.当时，两圆的外公切线长为 11.如图，把边长为4的正方形纸片ABCD沿对角线AC折起，使得二面角为.点E，F分别为边AD，BC的中点，点O是线段AC的中点，则( ) A.折纸后四面体ABCD的体积为 B.折纸后 C.折纸后 D.折纸后四面体ABCD的外接球与内切球的半径之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知等差数列的前n项和为，若，则________________. 13.若函数的一个零点为，则__________；__________. 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足. （1）当时，求； （2）若，当取最大值时，求c. 16.（15分）已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面ABC，点P，Q分别是AB，的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17.（15分）某项研究结果表明，高中生的英语成绩和语文成绩具有相关性.为了检验这种相关性，某教育局组织了一批工作人员到某重点高中利用分层随机抽样抽取了100名学生进行调查研究.已知该校学生人数高一为1200，高二为1280，高三为1520. （1）从该学校三个年级抽取的学生人数分别为多少？ （2）若抽取的100人中，他们的英语成绩和语文成绩情况如表所示： 英语成绩情况 语文成绩情况 语文成绩好 语文成绩不好 总计 英语成绩好 36 24 60 英语成绩不好 16 24 40 总计 52 48 100 根据表中的数据回答：是否有以上的把握认为该校高中生的英语成绩与语文成绩有关？ （3）若以（2）中的数据为依据，利用频率估计概率，从该校学生中任取3人，记X为英语成绩好的人数，求X的分布列和均值. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 18.（17分）已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆E的方程. （2）点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 19.（17分）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数”. （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，且当时，，证明：对任意，都有. 答案 1.答案：D 解析：由该组数据的众数为9，知，将数据按照从小到大的顺序排列为1，7，7，9，9，9，10，所以中位数为9. 2.答案：C 解析：因为，，所以，故选C. 3.答案：C 解析：由题意，得，，，.是的一个内角，，，.故选C. 4.答案：C 解析：由题意得X的所有可能取值为1，2，3，则，，，则 ，解得或.又，所以.故选C. 5.答案：C 解析：因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称，（另解：函数的图象向右平移2个单位长度，得的图象，故函数的图象关于直线对称）又函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增.因为，所以，又，所以，所以. 6.答案：B 解析：设入射光线和第一次反射光线与抛物线的交点分别为A，B，显然直线AB过焦点F，过A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，如图所示. 由抛物线可知准线方程为，由抛物线的定义可得，. 因此光线从点M到点N经过的总路程为，故选B. 7.答案：A 解析：由题意可得，即，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，故. 又由题可得，即， 所以，故， 所以.所以 ，所以. 8.答案：A 解析：，设公切线与曲线相切的切点为，， 则公共切线为，即， 其与相切，联立消去y得， 则有解，即有解. 令，，则， 令，得，故在上单调递减，在上单调递增，故，则，所以实数a的最小值为.故选A. 9.答案：AD 解析：对于A，因为，所以的共轭复数为，所以A正确； 对于B，因为，所以，所以，所以B错误； 对于C，若，则由题意可知方程的根为和，所以，得，所以C错误； 对于D，设，因为，所以，，因为，所以，，可得，所以，所以D正确，故选AD. 10.答案：ACD 解析：对于A，圆的圆心为，始终在直线上，A正确；对于B，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，B错误；对于C，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到该直线的距离，又，所以，解得或，C正确；对于D，当时，圆心距为3，则圆O与圆外切，半径差为1，所以外公切线长为，D正确. 11.答案：AB 解析：取线段AB的中点H，连接BO，DO，BD，EF，HF，OH，EH，FO，如图. ，，，平面，平面BOD. 由题意可知.，.，，故A正确.由题意可知，.易知，，，，，，，，，.又平面，平面BOD，..在中，.在中，由余弦定理，得，故B正确.，故C错误.设四面体ABCD外接球的半径为R，内切球的半径为r.，.，，，故D错误.选AB. 12.答案：30 解析：设数列的公差为d，则， 所以，则. 13.答案：1； 解析：的一个零点为，，，，故. 14.答案： 解析：设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令，，，则，得，，，由双曲线定义得，则点G与点重合，又，则，即.又，，直线GT的方程为，，. 15.答案：（1） （2）4 解析：（1）由，可得， 由正弦定理，得， 则， 即， 得. 由可得， 又，所以. （2）结合（1）可得，则， 所以， 当且仅当时，取得最大值. 由及，得， 此时，. 因为，所以. 16.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：如图，取的中点M，连接MQ，MP. 在中，，，， 在四边形中，且， 四边形是平行四边形，. ，平面，平面， 又，平面MQP，平面MQP， 平面平面. 又平面MQP，平面. （2）如图，取AC的中点O，连接，BO，为等边三角形， . 平面平面ABC，平面平面， 平面，， 在中，，，，易得， 以O为原点，OA，OB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ，， ，，， 设平面的法向量为， 取，则， 点到平面的距离. 17.答案：（1）高一抽取30人，高二抽取32人，高三抽取38人 （2）有 （3）分布列见解析， 解析：（1）由题意得该学校高中三个年级共有（人）， 从中抽取100人，则抽取的比例为. 所以高一抽取（人），高二抽取（人），高三抽取（人）. （2）由题中列联表，可得. 故有以上的把握认为该校高中生的英语成绩与语文成绩有关. （3）由（2）可知，抽取的100人中，60人英语成绩好， 所以英语成绩好的频率为0.6， 所以从该校的学生中任取一人，其英语成绩好的概率约为0.6. 所以，从而有， ， ， . 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 . 18.答案：（1） （2）（i）， （ii） 解析：（1）由于椭圆的离心率为， 故，所以，所以. 因为椭圆E经过点，所以，即，得，则， 所以椭圆E的方程为. （2）（i）结合（1）可知，直线. 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，， 所以直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得，代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为. ②当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式. ③当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式. ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点. 综上，曲线的方程为，. （ii）易知曲线，，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由， 得，所以， 所以. 由，得，所以， 所以. 所以， 若设射线，，同理. 因此，为定值. 19.答案：（1）是“H函数”，不是“H函数”；理由见解析 （2） （3）证明见解析 解析：（1）对任意，，， 所以，即成立， 故是“H函数”. 对于，取，则，. 因为，所以不是“H函数”. （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立，所以恒成立， 又，故， 则，则，即， 故实数a的取值范围为. （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数s，t，都有， 令，可知，又， 所以，故对于正整数k与正数s， 都有. 由，可得，又， 所以， 同理， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $