湖南省衡阳市衡阳县第二中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试卷

**基本信息** 衡阳县二中高三开学测试卷全面覆盖高考内容，通过地砖铺设、睡眠调查等真实情境设计问题，渗透数学眼光观察、思维推理与语言表达，适配高三开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|统计与回归、函数极值、立体几何折叠|统计题结合睡眠经济数据（数据意识），立体几何折叠问题（空间观念），贴合高考命题趋势|

衡阳县第二中学2026-2027学年上学期开学测试卷 高三·数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.已知是偶函数，是奇函数，且满足，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知双曲线（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 5.地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则( ) A. B. C. D. 6.已知函数，则下列结论中正确的有 A.的最小正周期为 B.的值域为 C.点是图象的一个对称中心 D.不等式的解集为 7.直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知，，，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知O为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 10.已知对任意角，均有公式.设的内角A，B，C满足，面积S满足.记a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( ) A. B. C. D. 11.如图，在棱长为2的正方体中，点P为线段上的一个动点，则下列结论正确的是( ) A. B.三棱锥的体积是 C.的最小值为 D.直线AP与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.设为各项均为正数的等比数列的前n项和，若，则__________. 13.已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 14.投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第i次投中得分为分，若三次均未投中则得分为0分.假设甲同学投篮的命中率为，若甲参加投篮测试的投篮次数的期望为1.56，则甲投篮测试的得分的期望为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）如图，抛物线，是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线，，设与抛物线相交于点A，B，与抛物线相交于点C，D，当M恰好为线段AB的中点时： （1）求直线，的斜率之和； （2）求的值. 16.（15分）近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表： 睡眠时间 年龄分布 90后 非90后 合计 前入睡 30 80 后入睡 合计 100 200 （1）完成列联表，并根据独立性检验，分析能否有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关？ （2）随着出现睡眠问题人群的增加及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助于提高睡眠质量的产品受到消费者的推崇，记2020~2024年的年份代码X依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）的数据， 年份代码X 1 2 3 4 5 市场规模Y 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3 根据上表数据，求Y关于X的线性回归方程. 参考公式：，其中. 线性回归方程，其中，. 参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 17.（15分）已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 18.（17分）已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极值点，求的单调递增区间； （3）是否存在a，使得在区间上的最大值为？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 19.（17分）如图1，在中，于点A，，四边形ABCD是平行四边形.将沿AB折起至的位置，如图2所示，连接. （1）证明：. （2）设三棱锥的外接球球心为O，证明：当时，. （3）若E是AC的中点，连接，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 答案 1.答案：B 解析：因为，所以z的虚部为，故选B. 2.答案：A 解析：因为，，所以当时，；当时，.所以，因此，故选A. 3.答案：B 解析：，则，又是偶函数，是奇函数，所以，所以 ，，故选B. 4.答案：A 解析：因为双曲线（，）的焦距为，所以， 一条渐近线方程为0，右焦点，所以右焦点到渐近线的距离，所以，所以该双曲线的离心率.故选A. 5.答案：D 解析：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设，则，，，，所以，，.设，则解得所以，，即. 6.答案：D 解析：作出的图象，如图， 对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，的值域为，B错误；对于C，的图象没有对称中心，C错误；对于D，不等式，即时，得，解得，，所以的解集为，故D正确.故选D. 7.答案：C 解析：对于，当时，，当时，，所以，，所以.圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，即直线与圆相离，所以点P到直线的距离的最大值为，点P到直线的距离的最小值为，所以面积的最大值为，最小值为，所以面积的取值范围是. 8.答案：C 解析：设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值0，则，即.故当时，，则，即.设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最大值0，则，即，故当时，，则，即，所以.故选C. 9.答案：BC 解析：由题意知，，则抛物线，准线方程为，又过点F的直线斜率为，所以直线的方程为. 设，，联立直线与抛物线的方程解得或不妨令点，点，则，，故B，C正确； 又，，所以，故，故A错误； 因为，，所以， 所以为钝角，故D错误.故选BC. 10.答案：CD 解析：的内角A，B，C满足，，即，.由题意可知，，，，，，A错误.设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，，，故B错误.，C正确.，D正确.故选CD. 11.答案：ACD 解析：以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系，连接，则，，，，，所以，，.设，，则，则，故，A正确；因为平面平面，平面，所以平面，所以，B错误；因为平面，所以将与展开在同一平面，如图2，其中是边长为等边三角形，是腰长为2的等腰三角形，则当P为的中点时，取最小值，且，C正确；因为平面，所以平面的一个法向量为，则，当时，有最小值，有最大值，故直线AP与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确. 12.答案： 解析：设等比数列的公比为q，由数列各项均为正数，得. 由，得，则，解得或（舍去），则，，所以. 13.答案：12 解析：如图，设点关于直线对称的点为，则解得即.由，得，其圆心为，半径，则，当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值，为12. 14.答案：2.376 解析：设甲同学参加投篮测试的投篮次数为，则，，，于是，即，得.设甲同学投篮测试的得分为X，则，，，，所以. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）设直线，，， 联立消去x整理得， 所以. 因为M为线段的中点，所以， 所以，解得， 所以直线的斜率，直线的斜率， 所以直线，的斜率之和. （2）由（1）可得， 直线，设，， 联立消去x整理得， 所以，， 可得，故. 16.答案：（1）有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关 （2） 解析：（1）完成列联表如下： 睡眠时间 年龄分布 90后 非90后 合计 前入睡 30 50 80 后入睡 70 50 120 合计 100 100 200 因为， 所以依据独立性检验，有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关. （2）由X的取值依次为1，2，3，4，5，得，， 所以，， 所以， 所以Y关于X的线性回归方程为. 17.答案：（1） （2） 解析：（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以. （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 18.答案：（1） （2） （3）存在， 解析：（1）函数的定义域为，. 当时，，所以. 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即为. （2）因为是的一个极值点， 所以，解得， 所以， 所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，是的极大值点， 此时的单调递增区间为. （3）存在，.理由如下： （ⅰ）当时， 因为，所以. 所以在上单调递增， 此时. 令，得，不符合题意； （ⅱ）当，即时， 令，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以. 令，得，符合题意. 综上，当时，在上的最大值为. 19.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 解析：（1）由题意得题图1中， 所以题图2中. 又，平面，， 所以平面. 又平面，所以. （2）当时，以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，. 易知的外接圆的圆心为的中点，的外接圆的圆心为BC的中点，分别过两个圆心作外接圆所在平面的垂线，则交点为， 根据已知条件，得点， 故，， 则， 又四点不共线，所以. （3）如图2，以A为原点，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，其中， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则 令，得， 设平面的一个法向量为， 则 令，得. 易得平面和平面的一个法向量为， 故， 则； ， 则. 故. 学科网（北京）股份有限公司 $