练习十二 函数模型及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用与新定义拓展，以现实情境为载体，构建从具体模型到抽象概念的知识逻辑链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用模型|单选1-3,6/多选7/解答11-12|结合AI算力、化学分解等现实情境，考查指数、对数、分段函数模型|从具体问题抽象数量关系，建立函数模型解决增长、衰减、优化问题| |新定义函数|单选4-5/多选8/填空9-10|以“狄利克雷函数”“比翼函数”等新定义为载体，考查概念迁移|通过函数性质延伸，构建定义域、值域、单调性的关联逻辑| |优化问题|解答11-12|涉及净收益、耗电量最值，需建模并求导或利用基本不等式|从实际需求提炼目标函数，运用数学思维分析最优解|

27届高三一轮复习练习题 十二、函数模型及其应用 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年，深度求索公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为千亿亿次浮点运算秒根据技术规划，的算力每年增长截止至年，其算力已提升至，并计划继续保持这一增长率．问：的算力预计在哪一年首次突破？(    )参考数据：，， A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C  【解析】解：由题意可知，截止至年，的算力已提升至， 到年，其算力提升至， 到年，其算力提升至，， 以此类推可知，从年起，到第年，的算力提升至， 由，可得， 所以，， 所以，的算力预计在年首次突破， 故选：． 2.一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间单位：后，所剩的质量单位：与时间的函数关系为均为参数，且已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意可得 所以，解得． 故选：． 3.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意可知：，即，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 两式相除可得， 即， 所以， 即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历． 故选： 4.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义若函数，则下列实数不属于函数值域的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，涉及新定义，注意理解题意，为基础题． 【解答】 解：由题可知所以，，，而无解． 5.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”已知函数是“函数”，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的新定义问题，属于中档题． 根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案． 【解答】 解：由题意可知的定义域为， 又因为函数是“函数”，故其值域为； 而，则值域为； 当时，， 当时，，对称轴，开口向上，此时函数在上单调递增，则 故由函数是“函数”可得 解得，即实数的取值范围是， 故选： 6.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜。如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约   天后，张三超过李四的倍参考数据：， A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了函数与不等式在解决实际问题上的应用，考查解指数不等式，属于中档题． 根据题意得，根据对数的运算性质即可求解． 【解答】 解：设天后，张三超过李四的倍， 则，即即，即， 两边取对数得，，即， 故选B． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.从年月日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量单位：与酒后代谢时间单位：的数量关系满足则张师傅此次饮酒后(    ) A. 当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低 B. 血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C. 若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D. 若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 【答案】BD  【解析】解：函数，函数在上单减， 在上单增，所以在上单增，在上单减，B正确， 所以时，血液中乙醇含量最高为， A错误， 酒驾血液中乙醇含量大于等于，醉驾血液中乙醇含量大于等于， 显然，时，其血液中乙醇含量最高为，将被认定为醉驾C错误，D正确故选BD． 8.对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”则下列说法正确的是(    ) A. 函数是“比翼函数” B. 若函数在上为“比翼函数”，则 C. 若函数在上为“比翼函数”，当，，则， D. 若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于，且在上是单调递减函数，记，若，则 【答案】ACD  【解析】解：对于选项A，因为， 所以， 因此 ， 所以函数是“比翼函数”，故A正确； 对于，取，则，所以， 此时在上为“比翼函数”，但，故B错误 对于，当时，，所以，故C正确 对于，因为函数是上的“比翼函数”，其函数值恒大于，且在上是单调递减函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以， 所以函数为上的增函数，因为， 故函数为上的奇函数，当时， 即，则，所以，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”试写出的一个“同域函数”的解析式为          ． 【答案】，或，或，或  【解析】【分析】 本题考查了求函数定义域和值域的方法，再者开放性试题还考查到学生对基本初等函数概念与性质的熟练程度，属于基础题． 分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意． 【解答】 解：因为， 所以且，所以函数的定义域为． 下面求函数的值域，不妨先求函数的值域， 令， 令，， 所以， 从而得出， 所以，即函数的值域为． 只要满足定义域为，且值域为的函数均符合题意， 例如，或，或， 故答案为：，或，或，或符合题意即可 10.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得其中，则称为的“重覆盖函数”若为的“重覆盖函数”，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：的定义域为， 由于为的“重覆盖函数”， 即对任意，存在个不同的实数，使得其中， ，则， ， 即， 即对任意，有个实根， 当时，已有两个根，故只需时，仅有个根， 当时，，不符合题意， 当时，，则需满足，解得，此时无解， 当时，抛物线开口向下，由，可得， 所以函数在单调递减，又，所以， 所以， 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔单位：分钟满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中． 请你说明的实际意义； 若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】解：由分段函数的表达式得的实际意义，发车间隔为，载客量为； 当时，， ，当且仅当，即时取等号． 当时，． 则当，． 即发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为元．  【解析】本题主要考查函数的应用问题，利用基本不等式以及函数的单调性求最大值是解决本题的关键． 12.本小题分 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速经多次测试得到该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ；；． 当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型需说明理由，并求出相应的函数解析式； 现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】解：对于，当时，它无意义，故不符合题意， 对于，该函数为减函数，故不符合题意， 故选， 由表中数据可得，，解得， ． 高速路段长，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， ， 国道路段，所用时间为， 则所耗电量为， ，当时，， 当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为．  【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对勾函数和二次函数的性质，属于中档题． 对于，当时，它无意义，故不符合题意；对于，该函数为减函数，故不符合题意，故选，再利用待定系数法即可求解． 根据已知条件，结合对勾函数的性质，以及二次函数的性质即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27届高三一轮复习练习题 十二、函数模型及其应用 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年，深度求索公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为千亿亿次浮点运算秒根据技术规划，的算力每年增长截止至年，其算力已提升至，并计划继续保持这一增长率．问：的算力预计在哪一年首次突破？(    )参考数据：，， A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 2.一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间单位：后，所剩的质量单位：与时间的函数关系为均为参数，且已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则(    ) A. B. C. D. 3.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历(    ) A. B. C. D. 4.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义若函数，则下列实数不属于函数值域的是(    ) A. B. C. D. 5.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”已知函数是“函数”，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜。如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约   天后，张三超过李四的倍参考数据：， A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.从年月日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量单位：与酒后代谢时间单位：的数量关系满足则张师傅此次饮酒后(    ) A. 当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低 B. 血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C. 若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D. 若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 8.对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”则下列说法正确的是(    ) A. 函数是“比翼函数” B. 若函数在上为“比翼函数”，则 C. 若函数在上为“比翼函数”，当，，则， D. 若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于，且在上是单调递减函数，记，若，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”试写出的一个“同域函数”的解析式为          ． 10.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得其中，则称为的“重覆盖函数”若为的“重覆盖函数”，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔单位：分钟满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中． 请你说明的实际意义； 若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 12.本小题分 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速经多次测试得到该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ；；． 当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型需说明理由，并求出相应的函数解析式； 现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $