分层练17 函数模型及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过分层训练构建“模型识别-定量计算-综合优化”的解题体系，强化数学眼光、思维与语言的核心素养落地。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（含8选择、3填空、1解答）|函数模型特征分析（如增长快慢判断）、基本不等式求最值、二次函数拟合数据|从具体数据到函数模型选择，再到最值计算，形成“观察-抽象-求解”逻辑链| |B级能力提升|4题（含2选择、1填空、1解答）|分段函数优化策略、换元法转化复杂问题|综合应用多种模型（指数、分段、二次）解决实际问题，深化模型迁移能力|

分层练17 函数模型及其应用 【A级 基础巩固】 1. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ） 1.992 3 4 5.15 6.126 1.517 4.041 8 12 18.01 A. B. C. D. 2. 据统计，第年某湿地公园越冬的白鹭数量(只)近似满足，观测发现第2年有越冬白鹭1 000只，估计第5年有越冬白鹭(，)（ ） A.1 530只 B.1 636只 C.1 830只 D.1 930只 3. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗称为接种率，那么1个感染者传染人数为.已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ） A. B. C. D. 4. (多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（ ） A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当时，与的关系式为 5. 某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ） A.8 B.10 C.12 D.13 6. 2020年9月22日，我国在第七十五届联合国大会上提出：二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本(单位：万元)与处理量(单位：吨)()之间的函数关系可近似表示为 为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量等于（ ） A.120吨 B.200吨 C.240吨 D.400吨 7. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和 m()，不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数(单位:)的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过____个“半衰期”. 9. “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入与广告费之间满足关系(为常数)，广告效应为.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为____(用常数表示). 10. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本(单位:元/100千克)与上市时间(单位:天)的数据如下表： 时间 60 100 180 种植成本 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系： ，，，. 利用你选取的函数，求： ①西红柿种植成本最低时的上市天数是____； ②最低种植成本是____元/100千克. 11. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度(ppm)与排气时间(分钟)之间存在函数关系(，为常数). (1)求，的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 12. 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式(利润销售收入成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【B级 能力提升】 13. 心理学家有时使用函数来测定在时间 min内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5 min内该学生记忆20个单词，则记忆率所在区间为（ ） A. B. C. D. 14. 某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式，其中玻璃的热传导系数焦耳/(厘米·度)，不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/(厘米·度)，为室内外温度差，值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表所示： 型号 每层玻璃厚度(单位:厘米) 玻璃间夹空气层厚度(单位:厘米) A型 0.4 3 B型 0.3 4 C型 0.5 3 D型 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ） A.A型 B.B型 C.C型 D.D型 15. 某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，现有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为____元. 16. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入(单位:万元)满足，乙城市收益与投入(单位:万元)满足设甲城市的投入为(单位:万元)，两个城市的总收益为(单位:万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 答案解析 [由题中表格可知函数在上是增函数，且的变化随的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.] [第年某湿地公园越冬的白鹭数量(只)近似满足，且当时，，，解得，当时，.] [为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，即. 因为，所以， 可得.故选D.] [在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当时，设，则，解得，D正确.] [设该企业需要更新设备的年数为()，设备年平均费用为万元， 则年的设备维护费用为 ， 所以年的平均费用 当且仅当时，等号成立， 因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.] [由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本 当时，； 当时，取得最小值240； 当时， 当且仅当， 即时取等号，此时取得最小值200. 综上，所求处理量为400吨.故选D.] [设长为，则长为. 又因为要将点围在矩形内， 所以， 则矩形的面积为. 当时，当且仅当时，； 当时，， 所以 分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近.] [设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过个“半衰期”后的含量为，由，得.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] [令，则， ， 当，即时，取得最大值.] ① ② [因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当和时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数，即描述， 将表中数据代入可得 解得 所以， 故当上市天数为120时，种植成本取到最低值为80元/100千克.] 解 (1)由题意可得 两式相除，解得 (2)由题意可得， 所以，即， 解得. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 解 (1)由题意可得，当时， 当时， 所以 (2)若，， 所以当时，万元. 若， 当且仅当， 即台时，万元. 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元. [将，，代入，解得， 其中在上单调递减， 因， 在上单调递减， 所以， 结合的单调性可知 而， 其中为连续函数， 故记忆率所在区间为.故选A.] [由题意得，， 固定，可知越大，越小，保温效果越好.对于A型玻璃，，对于B型玻璃，，对于C型玻璃，，对于D型玻璃，，经过比较可知，D型玻璃保温效果最好.故选D.] [方案一 满10人可打9折，则单人票价为270元， 方案二 满5 000元减1 000元，按原价计算，则满5 000元至少需凑齐17人， ， 则单人票价为. 满10 000元时，，则需34人， 单人票价为241元， 满15 000元时，，人数不足. 因为，所以用方案二先购买34张票，剩余13人不满足方案二，但满足方案一，所以总费用的最小值为(元).] 解 (1)当，即甲城市投资128万元时，乙城市投资万元， 所以 因此，此时公司的总收益为88万元. (2)由题意知，甲城市投资万元，则乙城市投资万元， 依题意得 解之得， 当，即时， 当，即时， 令，则， 所以 当，即时，取最大值88. 因为，故的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元. 学科网（北京）股份有限公司 $