十四、导数的应用训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用核心考点，通过分层题型构建从概念辨析到综合论证的完整训练体系，培养数学思维的逻辑性与问题解决的严谨性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析与性质应用|单选6题+多选2题|结合充分必要条件、极值点判定等，考查导数与函数单调性、极值的逻辑关系|从导数几何意义出发，构建“导数符号→单调性→极值/最值”的推理链条| |参数范围与零点问题|填空2题+单选2题|涉及不等式恒成立、零点个数判定，需分类讨论参数影响|衔接函数图像与导数性质，建立“导数分析→函数趋势→参数范围”的应用逻辑| |综合应用与证明|解答3题|涵盖单调区间求解、极值证明等，强调步骤规范与数学表达|整合导数工具与代数推理，形成“求导分析→分类讨论→结论论证”的综合解题路径|

27届高三一轮复习练习题 十四、导数的应用 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“”是“函数在上单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知函数的定义域为，导数为，若有两个极值点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，则函数的最大值为(    ) A. B. C. D. 4.若函数的极大值为，则(    ) A. B. C. D. 5.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 是的极小值点 B. 是的极小值点 C. 在区间上严格减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.已知函数，则(    ) A. 当时，的解集为 B. 若是增函数，则的取值范围为 C. 有且仅有一个零点 D. 曲线在点处的切线的斜率为 8.已知函数，则下列命题中正确的是(    ) A. 是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9.已知函数，则不等式的解集为          ． 10.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 已知函数． 求的单调区间； 若恒成立，求的取值范围． 12.本小题分 已知函数． 若，求的极小值； 当时，求的单调递增区间； 当时，设的极大值为，求证：． 13.本小题分 设函数，其中． Ⅰ若，讨论的单调性； Ⅱ若， 证明恰有两个零点； 设为的极值点，为的零点，且，证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27届高三一轮复习练习题 十四、导数的应用 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“”是“函数在上单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】解：由题意得， 函数单调递增的充要条件是在区间上恒成立， 当时，，故，因此 要使恒成立，需的最大值， 故时，恒成立，  因此，函数单调递增的充要条件是， 而“”是“”的充分不必要条件， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件． 2.已知函数的定义域为，导数为，若有两个极值点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，若有两个极值点，则在上有个不同的实数根， 令，易知在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是， 又，故，即实数的取值范围是． 3.已知函数，则函数的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意知：的定义域为， ， 设，则， 当时，，在上单调递减， 所以，，即， 故当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，． 故选：． 4.若函数的极大值为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由得， 令得或， 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，， 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增； 此时的极大值为，得不符合题意； 当时，， 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增； 此时的极大值为， 解得， 综上，． 故选：． 5.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查不等式恒成立问题，考查利用导数判断函数单调性，求函数最值，属于中档题． 不等式等价于，然后通过三角函数恒等变形结合求导，求出最值即可求出结果． 【解答】 解：因为，所以， 原不等式可变形为 ． 令，则， ． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，又， 所以． 故选A． 6.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 是的极小值点 B. 是的极小值点 C. 在区间上严格减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查导函数图象与原函数图象的关系，考查导数的正负与函数单调性关系的应用，极值点定义的理解与应用，导数几何意义的理解与应用，属于中档题． 利用导函数的图象，结合导函数的正负与函数单调性的关系，求出函数的单调区间，即可判断选项C，由极值的定义确定函数的极值点，即可判断选项A，，利用导数的几何意义，即可判断选项D． 【解答】解：由题意可知，当或时，，则严格增， 当时，，则严格减， 所以函数在区间和上严格增，在区间上严格减， 则当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以是的极大值点，是的极小值点， 故选项A，，C错误， 因为时，，则曲线在处切线的斜率小于零， 故选项D正确． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.已知函数，则(    ) A. 当时，的解集为 B. 若是增函数，则的取值范围为 C. 有且仅有一个零点 D. 曲线在点处的切线的斜率为 【答案】ABC  【解析】解：当时，是增函数，且，的解集为，A正确； 若是增函数，则的取值范围为，B正确 令，得，解得， 则有且仅有一个零点，C正确 ，，曲线在点处的切线的斜率为，D错误． 故选：． 8.已知函数，则下列命题中正确的是(    ) A. 是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查导数中的零点问题，利用导数研究函数的极值，属于中档题． 讨论的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断，；当时，利用导数得到函数的单调性，判断，的大小关系，进而判断；若存在极大值点，则，即，因为，化简等式，即可判断． 【解答】 解：由题意可得， 令，当时，得或， 对于，当时，在和上单调递增， 在上单调递减， 所以在处取得极小值， 当时，在和上单调递减， 在上单调递增， 所以在处取得极小值； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于，只有一个零点，故B错误； 对于，当时，在上单调递减， 又，，所以，故C正确； 对于，若存在极大值点，则，即， 因为，所以， 所以，， 即， 又，所以，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9.已知函数，则不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】解：函数的定义域为，， 当时，且，故，因此在上单调递增， 不等式，则，即 令，则， 当时，，故在上单调递增， 又，由得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 10.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数与导数的综合运用，属于中档题． 恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，利用导数研究函数单调性，作出函数图象，数形结合求解． 【解答】 解：令，可得， 令， 则问题等价于函数的图象与的图象有两个交点． 对函数求导可得，，令，则， 因为恒大于， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 设是的图象的切线，切点为，则切线斜率为， 所以的方程为，又经过点， 则代入化简的时候，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有个零点， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 已知函数． 求的单调区间； 若恒成立，求的取值范围． 【答案】解：函数的定义域为， 求导得， 由，得；由，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 由知，当时，函数取得最小值， 由不等式恒成立，得，解得， 所以的取值范围是．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 12.本小题分 已知函数． 若，求的极小值； 当时，求的单调递增区间； 当时，设的极大值为，求证：． 【答案】解：由题意知． 若，则， 所以， 令，得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于． 因为， 所以，由，即，解得或 故的单调增区间为和 当时，的极大值等于 当时，，无极大值 当时，由题意得，的极大值等于， 令，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 13.本小题分 设函数，其中． Ⅰ若，讨论的单调性； Ⅱ若， 证明恰有两个零点； 设为的极值点，为的零点，且，证明． 【答案】Ⅰ解：，， 当时，， 函数在上单调递增； Ⅱ证明：由Ⅰ可知：，， 令，， 可知在上单调递减， 又， 且， 存在唯一解， 即函数在上单调递增，在单调递减， 是函数的唯一极值点， 令，，， 时，，单调递增，时，，单调递减， 可得，时，， ， ， 函数在上存在唯一零点， 当时，， 函数在上存在唯一零点， 因此函数恰有两个零点； 由题意可得：，，且， 即，， ，即， 时，又， 故， 取对数可得：， 化为：．  【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． Ⅰ通过求导可得，当时，分析可得，即可判断； Ⅱ由Ⅰ可知，，令，由，可得存在唯一解，可得是函数的唯一极值点，令，可得时，，，，可得函数在上存在唯一零点，又函数在上存在唯一零点，因此函数恰有两个零点； 由题意可得：，，即，，可得，由时，又，可得，取对数即可证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $