一元函数的导数及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数概念、计算及应用的系统性训练，覆盖切线、单调性、极值等核心考点，注重知识逻辑链条构建与数学思维培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、多选9-10|导数定义、几何意义辨析|从概念生成到几何意义应用，强化数学抽象与几何直观| |导数应用|单选6-8、多选11、填空12-14|单调性、极值、最值、零点问题|以导数工具串联函数性质研究，培养推理能力与运算能力| |综合探究|解答题15-19|切线方程、面积最值、证明与零点综合|整合知识模块，提升用数学语言表达与解决问题的能力|

高中数学人教A版选择性必修二一元函数的导数及其应用 一、单选题 1．已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在时取得极值，则（    ） A．10 B．5 C．4 D．2 3．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 4．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为（    ） A．－4.8m/s B．－0.88m/s C．0.88m/s D．4.8m/s 5．设曲线f(x)＝ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝（    ） A．2 B．－ C． D．－1 6．函数在上的最大值为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(多选)下列说法正确的是（    ） A．曲线的切线和曲线可能有两个交点 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若不存在，则曲线在点处无切线 D．在点处有切线，不一定存在 10．已知函数，若 ，则下列结论正确的是 A． B． C． D．当时， 11．如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（    ） A．函数在区间内单调递增 B．函数在区间内单调递减 C．函数在区间内单调递增 D．当时，函数有极大值 三、填空题 12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_________． 14．已知函数，若的图象始终在直线的上方，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．已知是曲线上动点以及定点， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求面积的最小值，并求出相应的点的坐标． 16． 已知点M(0，－1)，过点M的直线l与曲线f(x)＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．求直线l的方程． 17．已知，求： (1)当时，求； (2)在处的切线与直线平行，求a？ 18.确定函数，的单调区间． 19．已知函数. （1）当时，证明：； （2）若在有且只有一个零点，求的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修二一元函数的导数及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A B D B A AD AD 题号 11 答案 CD 1．C 【分析】利用导数研究函数的单调性，即可做出判断. 【详解】，，∴当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数，又，∴. 故选：C. 2．A 【分析】先求的导函数，然后利用极直的必要条件求得的值. 【详解】∵,∴， ∵是函数的极值点，∴的实数根， 即,解得． 故选：. 3．C 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得到极大值. 【详解】由题意得. 由，得；由，得或. 则在和上单调递减，在上单调递增， 故极大值. 故选：C 4．A 【分析】由已知结合瞬时变化率的定义即可求解 【详解】 当→0时，→－4.8． 故选：A 5．B 【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解． 【详解】f(x)＝ax2，则 因为在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，所以 所以 故选：B 6．D 【分析】求得导函数的解析式，根据导函数在区间(0,2)内的正负的不同情况,分类讨论研究函数的单调性和最大值，从而求得实数的取值范围. 【详解】解:由函数的解析式可得:， 当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意; 当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意; 当，即时，在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增，满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 , 综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) . 故选: D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，关键是分类讨论思想的运用. 7．B 【分析】由题意，函数在上单调递增，即每段函数均为增函数，且当时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，列出不等式组，即得解 【详解】① 当时，只需时显然成立，时，，令，，可得函数的减区间，增区间为，故有，得； ② 当时，，有. ③ 当 时，，即. 故实数的取值范围为. 故选 ：B 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数范围，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 8．A 【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案. 【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则. 故选：A. 9．AD 【分析】举例说明，即可判断选项A，B是否正确；可根据导数的几何意义和斜率的关系即可判断选项C，D是否正确． 【详解】曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，如曲线在处的切线与曲线有另外一个交点,故A正确，B不正确； 不存在，曲线在点处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为，故C不正确；D选项正确． 故答案为：AD. 10．AD 【解析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系逐项进行判断即可． 【详解】令，在(0，+∞)上是增函数，∴当时，， ∴ 即；故A正确； 令，， 时，，单调递增， 时，，单调递减． 与无法比较大小；故B错误； 因为令，， 时，，在单调递减，时，，在单调递增， 当时，， ， ，． 当时，，， ，；故C错误； 因为时，单调递增，又因为A正确， 故D正确； 故选：AD． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，通过构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，是解题的关键，综合性较强，有一定的难度． 11．CD 【解析】根据导函数符号与函数单调性的关系可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，，则函数在区间上单调递减，A选项错误； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B选项错误； 对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C选项正确； 对于D选项，当时，，当时，，所以，函数在处取得极大值，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导函数的图象判断函数的单调性与极值，考查推理能力，属于中等题. 12． 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 13． 【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可． 【详解】因为，所以切线的斜率为， 而切线与直线垂直，所以，解得， 故答案为：． 14． 【分析】根据题意将题干进行等价转化为恒成立问题，将不等式转化为含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的取值范围. 【详解】令，由题意可知：恒成立. 则， 两边加上可得：， 令，则，所以单调递增， 所以，即， 令，则，因为的定义域为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以， 故答案为：. 15．(1) ;(2) 的面积最小值为1,此时点坐标为. 【解析】(1)求得导函数,根据导数的几何意义,即可求得斜率和切点坐标,根据点斜式即可写出切线方程; (2)由坐标即可求得直线方程, 当点P为与平行且且与曲线相切的直线的切点时, 面积的最小值,根据导数的几何意义即可求得切点,利用点到直线距离公式即可求得P到AB的距离,进而求得面积. 【详解】解: ,,. (1)当,,,即切点为,切线方程为,化简得: . (2)直线的方程为:,设与平行且与曲线相切的直线为即,解得:,则切点为,即点坐标为时, 的面积最小,, 到直线:的距离为,所以. 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数求切线方程和已知斜率求切点问题,难度较易. 16．y＝－1． 【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解． 【详解】＝(2＋)3－4(2＋)＋4－(×23－4×2＋4) ＝()3＋2()2，＝()2＋2． 趋于0时，趋于0，所以f′（2）＝0． 所以直线l的斜率为0，其方程为y＝－1． 17．(1) (2)1 【分析】（1）将代入即可求出； （2）在处的切线与直线平行，满足在的导数值与已知直线的斜率相等，列出方程求出即可. 【详解】（1）当时，，； （2）因为， 所以， 因为在处的切线与直线平行， 所以，解得. 此时，切线方程为：，即， 满足与直线平行 所以. 18．单调增区间为，单调减区间为． 【分析】求出函数的导数，在上分别解不等式和，可得出函数在区间上的单调递增区间和单调递减区间. 【详解】，， ，则，则. 令，则，又，所以；    令，则，又，所以． 因此，函数的单调增区间为，单调减区间为． 【点睛】本题考查利用求导数函数的单调区间，同时也考查了简单复合函数的导数，解题时要熟悉导数符号与单调区间之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题. 19．（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）构造函数，利用导数可得其最小值大于等于，进而得证； （2）构造函数，，，，则函数与的图象在上有且仅有一个交点，分类讨论即可得出结论. 【详解】（1）当时，， 令，则， 当时，，当时，， 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即， 故，即，即得证； （2）依题意，方程在上只有一个解， 记，，，，则函数与的图象在上有且仅有一个交点， 又在上恒成立，故函数在上单调递增， （i）当时，函数在单调递增，在单调递减， 且，，，如图， 显然，此时满足函数与的图象在上有且仅有一个交点，符合题意； （ii）当时，，显然在上有且仅有一个零点，符合题意； （iii）当时，函数在单调递减，在单调递增，且，，，如图， 要使函数与的图象在上有且仅有一个交点，只需，即，即，又，故. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想，数形结合思想，分类讨论思想以及推理论证能力，属于难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $