七 二次函数与幂函数训练-2027届高三数学一轮复习

27届高三一轮复习练习题 七、二次函数与幂函数 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，的值域是，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：，，，，其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.二次函数满足，且，，若在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.下列说法正确的是(    ) A. 函数与表示同一函数 B. 若幂函数的图象过点，则 C. 若集合中只有一个元素，则 D. “”是“”的必要不充分条件 8.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 是偶函数 C. 若，则或 D. 当时，，若，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9.已知幂函数在上单调递增，则实数的值为          ． 10.已知函数在上是递减的，则的取值范围是          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数． 求函数的表达式； 对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12.本小题分 已知幂函数的图象过点，． 求的解析式； 记，在区间上的值域分别为，，若是的必要条件，求实数的取值范围； 设，对，使得成立，求正实数的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27届高三一轮复习练习题 七、二次函数与幂函数 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，的值域是，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二次函数的值域问题，属于基础题． 根据二次函数的性质求解即可． 【解答】 解：因为函数在区间上是增函数，在上是减函数， 且，， 所以函数在区间上的值域是，必有． 故选：． 2.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：，，，，其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查一元二次函数的图象与性质，属于基础题． 根据二次函数图象开口方向、对称轴方程以及、处的函数值符号可判断的正误，即可得出结论． 【解答】 解：二次函数的图象开口向下，则， 对称轴为直线，可得， 当时，，所以，，错；，对， 当时，，对；，错． 故选B． 3.二次函数满足，且，，若在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二次函数的在闭区间上的最值，解题的关键是用待定系数法求出函数的解析式，及熟练掌握二次函数的性质，判断出参数的取值范围，本题是二次函数考查的典型题． 由题意，二次函数满足，对称轴是，可设二次函数为，又，，由此得到关于两个参数，的方程组，解出，的值，求得二次函数的解析式；若在上的最大值为，最小值为，求出，对应的自变量，再由二次函数的性质判断出参数的取值范围． 【解答】 解：二次函数满足， 其对称轴是， 可设其方程为 ， 解得， 函数的解析式是 ，，在上的最大值为，最小值为， 又，由二次函数的性质知， 综上得 故选D． 4.设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的单调性与单调区间，函数的对称性，比较大小的应用，解题的关键是熟练掌握函数的单调性与单调区间，函数的对称性，比较大小的计算，是中档题． 根据已知及函数的单调性与单调区间及函数的对称性可得函数是上的减函数，根据幂函数与指数函数的性质比较、、，的大小，即可知，，的大小关系． 【解答】 解：根据， 可得函数的图象关于直线对称， 结合是上的增函数， 可得函数是上的减函数． 利用幂函数和指数函数的单调性， 可以确定， 所以，即， 故选B． 5.已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查奇函数的定义，以及奇函数在对称区间上的单调性特点，根据函数单调性定义解不等式． 根据已知条件可得在上单调递增，所以由得，，解该不等式即得原不等式中实数的取值范围． 【解答】 解：，对称轴为， 在上单调递增； 是奇函数， 在上也单调递增， 在定义域上单调递增； 由原不等式得：，解得，或； 实数的取值范围为． 故选C． 6.已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查幂函数的概念、函数的性质、对数的运算． 根据幂函数的定义和性质求出，验证单调性，即可求解． 【解答】 解：因为是幂函数，所以， 解得或． 又因为，，都有，所以在上单调递增， 当时，舍去，当时，，符合题意 所以等价于， 所以，解得． 故选A． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.下列说法正确的是(    ) A. 函数与表示同一函数 B. 若幂函数的图象过点，则 C. 若集合中只有一个元素，则 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD  【解析】解：选项A：函数的定义域为，化简得； 函数的定义域为，化简得， 两函数定义域相同且对应法则一致，故为同一函数，A正确； 选项B：设幂函数，其图象过点，则，故， 因此，则，B正确； 选项C：集合中只有一个元素，分两种情况： 当时，方程为，解得，集合有一个元素；  当时，判别式，解得， 故或，C错误； 选项D：充分性：若，取，则，故“”不能推出“”，不充分； 必要性：若，则显然成立，故“”能推出“”，必要， 因此“”是“”的必要不充分条件，D正确． 故选ABD． 8.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 是偶函数 C. 若，则或 D. 当时，，若，则 【答案】ABD  【解析】解：因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9.已知幂函数在上单调递增，则实数的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 根据幂函数的定义和性质求解． 【解答】 解：由题意可知，， 解得． 故答案为：． 10.已知函数在上是递减的，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，属于一般题．由于函数解析式的二次项系数不确定，故分，和三种情况进行研究，结合一次函数和二次函数的性质进行分析，最后综合讨论结果，即可求得实数的取值范围． 【解答】 解：函数在区间上是递减的，  当时，，  ，  在上单调递减，符合题意；  当时，函数为二次函数，开口向下， 二次函数在对称轴左侧单调递增，  不可能在区间上递减， 故不符合题意；  当时，函数为二次函数，对称轴为，  二次函数在对称轴左侧单调递减，且在区间上是递减的，  ，解得，  实数的取值范围是  故答案为 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数． 求函数的表达式； 对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于，故，，， 当和时，， 此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， 综上； 不等式，即， 又在上是严格减函数，在上为严格增函数， 则在上为严格减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为．   【解析】本题考查利用函数的单调性求最值，幂函数的函数值或解析式，属于中档题． 根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； 对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 12.本小题分 已知幂函数的图象过点，． 求的解析式； 记，在区间上的值域分别为，，若是的必要条件，求实数的取值范围； 设，对，使得成立，求正实数的最小值． 【答案】解：设，根据题意可得，解得， 所以的解析式为． 根据题意函数在区间上的值域为， 而区间上的值域为 根据是的必要条件可知， 所以且，解得 根据题意函数， 对，使得成立， 所以， 函数在区间上单调递减，因此， 函数在上单调递减，在区间上单调递增， 因此， 设，解得， 解得或舍，即， 所以正实数的最小值为．  【解析】本题考查幂函数的函数值或解析式，必要条件及其判断，利用函数的单调性求最值，属于中档题． 根据幂函数的定义结合题意即可求解； 由幂函数和指数函数的性质可得，，由题意可得，列出不等式即可求解； 由题意得，且，利用指数函数及对勾函数的性质求出最值，列出不等式即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $