第1章 第6讲 二次函数 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 以二次函数核心性质为纲，通过分层题型系统构建"概念-性质-应用"逻辑链，提炼分类讨论、数形结合等可迁移方法，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性与对称轴|3题|对称轴位置分析|对称轴决定单调区间，区间与对称轴关系判断参数范围| |解析式求解|2题|待定系数法|已知条件构建方程求系数，含零点、过点等条件| |图象识别与系数|2题|系数符号与图象特征互推|a,b,c符号决定开口、对称轴、与坐标轴交点| |最值与分类讨论|4题|分类讨论对称轴与区间关系|按对称轴在区间左、中、右分类求最值| |零点与根分布|1题|判别式与根与系数关系|判别式判断零点个数，韦达定理分析零点性质| |综合应用|2题|绝对值分段处理、恒成立转化|二次函数与绝对值、恒成立问题结合，转化为最值关系|

1．函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] 解析：选A．易知函数y＝x2－2ax＋3的单调递减区间是(－∞，a]，故a≥3. 2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 解析：选B．由题意设g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得则故所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x. 3．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 解析：选C．若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B．故选C． 4．已知f(x)＝－x2＋2ax＋1，则(　　) A．f(a)>f(a－1)>f(a＋1) B．f(a)>f(a－1)＝f(a＋1) C．f(a)<f(a－1)＝f(a＋1) D．f(a＋1)>f(a－1)>f(a) 解析：选B．函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，故f(a)>f(a－1)＝f(a＋1). 5．(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 解析：选AB．A中，a<0，b<0，c<0，此时abc<0，符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，此时abc<0，符合题意；C中，a>0，b>0，c>0，此时abc>0，不符合题意；D中，a>0，b<0，c<0，此时abc>0，不符合题意． 6．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A．a<1 B．若x1x2≠0，则＋＝ C．f(－1)＝f(3) D．函数y＝f(|x|)有4个零点 解析：选ABC．二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a>0，解得a<1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f(x)图象的对称轴为直线x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(|x|)＝x2－2|x|有3个零点，故D不正确． 7．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________________． 解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，解得a＝1，所以所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)·(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 答案：f(x)＝x2－4x＋3 8．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(－1)与f(4)的大小关系是____________．(用“<”连接) 解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以直线x＝1为二次函数图象的对称轴，根据对称性知，f(－1)＝f(3)，又函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)<f(4)，即f(－1)<f(4). 答案：f(－1)<f(4) 9．(13分)已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；(5分) (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t).(8分) 解：(1)f(x)＝x2－tx－1＝(x－)2－1－. 依题意，－1<<2，解得－2<t<4，所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝3－2t；②当－1<<2，即－2<t<4时，f(x)min＝f()＝－1－； ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t)＝ 10．已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A．(1，3] B．[2，3] C．(1，2] D．(2，3) 解析：选B．易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3，因为f(x)在定义域[1，t]内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3. 11．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[0，3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：选C．二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，因为对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上单调，所以a－1≤－1或a－1≥2，解得a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 12．已知f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，则k的取值范围是________． 解析：对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]. 由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2，得k≥118，所以k的取值范围为[118，＋∞). 答案：[118，＋∞) 13．(15分)已知函数f(x)＝x2－2|x－a|＋1. (1)若函数f(x)为偶函数，求a的值；(6分) (2)当a>0时，若函数f(x)在[0，2]上的最小值为0，求a的值．(9分) 解：(1)若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即(－x)2－2|－x－a|＋1＝x2－2|x－a|＋1，所以|x＋a|＝|x－a|，所以a＝0. (2)f(x)＝ 当0<a<1时，f(x)在[0，a)上单调递增，在(a，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，又f(0)＝1－2a，f(1)＝2a>0，所以1－2a＝0，解得a＝； 当a≥1时，令(x－1)2＋2a＝(x＋1)2－2a，解得x＝a，所以f(x)在[0，2]上单调递增， 所以f(0)＝1－2a＝0，解得a＝(舍去). 综上，a＝. 14．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 解析：选B．由题意得，函数f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为直线x＝t，因为f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，所以t≥1，所以当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，所以1－(－t2＋1)≤2，得－≤t≤.又t≥1，所以1≤t≤，即实数t的取值范围是[1，].　 学科网（北京）股份有限公司 $