空间向量与立体几何：空间向量的基底、用基底表示向量、空间向量的共面问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量与立体几何，系统梳理空间向量的基底（定义、判定条件、性质）、用基底表示向量（空间向量基本定理、分解方法）、空间向量的共面问题（共面向量定理、四点共面判定），构建从基础定义到应用表示再到位置关系判定的学习支架。 资料以核心素养为导向，通过定义直观法结合长方体模型培养学生空间观念（数学眼光），利用线性无关法、待定系数法等解题思路发展推理能力（数学思维）。精选多地区阶段检测例题与变式训练，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升解决立体几何问题的能力。

空间向量与立体几何：空间向量的基底、用基底表示向量、空间向量的共面问题讲义 空间向量与立体几何：空间向量的基底、用基底表示向量、空间向量的共面问题讲义 考点目录 空间向量的基底 用基底表示向量 空间向量的共面问题 考点一 空间向量的基底 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基底与基向量的定义 如果三个向量 不共面，那么空间中所有向量构成的集合都可以表示为 。 这组 叫做空间向量的一组基底， 分别叫做这组基底的基向量。 1. 基底的核心判定条件 三个向量能构成空间基底的充要条件是：三个向量不共面。 · 若三个向量共面，则无法表示出空间中所有方向的向量，不能作为基底； · 只要三个向量不共面，就可以作为空间的一组基底。 1. 基底的基本性质 · 基底不唯一：任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基底； · 零向量不能作为基向量：零向量与任意向量共线，必然与任意两个向量共面，无法构成基底； · 线性无关性：对于基向量 ，不存在不全为零的实数 ，使得 ；只有当 时等式才成立。 二、解题思路 判断一组向量能否作为空间基底的常用方法： 1. 定义直观法 先观察向量组中是否存在共线向量，若有两个向量共线，则三个向量必共面，不能作为基底；再结合几何模型（如长方体、正方体），判断三个向量是否能平移到同一平面内，不能则可作为基底。 1. 线性无关法 假设存在实数 ，使得 ；若能推导出 ，则三个向量不共面，可作为基底；若存在不全为零的解，则共面，不能作为基底。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列集合可构成空间的一个基底的是（    ） A． B．} C． D． 变式3．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 考点二 用基底表示向量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 空间向量基本定理 如果 是空间的一组基底，那么对空间中任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 · 其中 叫做向量 在基底 下的坐标。 1. 定理的两层含义 · 存在性：空间任意向量都可以表示为三个基向量的线性组合； · 唯一性：基底确定后，线性组合的系数是唯一确定的。 1. 表示的本质 利用向量的线性运算（加法、减法、数乘），通过三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐步分解、转化为三个基向量的线性组合，核心是向量的分解与合成。 1. 单位正交基底下的特殊形式 若基底为单位正交基底 ，则 ，对应坐标 ，也就是空间向量的坐标形式。 二、解题思路 用基底表示空间向量的常用方法与步骤： 1. 选定基底 优先选择从同一顶点出发、已知长度和夹角、不共面的向量作为基底，简化后续计算；几何体中常以共顶点的三条棱对应向量为基底。 1. 路径分解法（线性运算法，最常用） · 定位目标向量的起点和终点，通过向量加法的三角形法则，将目标向量拆分为多段已知向量的和或差； · 每一段向量逐步向基向量方向转化，利用数乘运算调整长度与方向； · 合并同类项，整理为 的标准形式。 · 技巧：利用中点、分点公式辅助分解，例如中点对应向量等于两端点向量的平均值。 1. 待定系数法 · 设目标向量 ； · 根据题目给出的几何关系、向量等式，建立关于 的向量方程； · 利用向量相等的条件（对应基向量的系数分别相等），列出方程组； · 解方程组得到 的值，代入表达式即得结果。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·浙江衢州·期中）如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 空间向量的共面问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 共面向量的定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量；等价于可以通过平移，将所有向量移到同一个平面内。 · 注意：任意两个空间向量一定共面；三个及以上向量才需要讨论是否共面。 1. 共面向量定理（核心定理） 如果两个向量 不共线，那么向量 与 共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对 ，使得 · 前提条件： 不共线；若 共线，则 与 必然共面，定理不适用。 1. 三个向量共面的充要条件 · 代数形式：存在不全为零的实数 ，使得 ； 1. 四点共面的判定（高频考点） 空间四点 共面的充要条件： · 向量形式1：存在实数 ，使得 ； · 向量形式2：对空间任意一点 ，存在实数 ，使得 ，且 。 · 本质：四点共面等价于以其中一点为起点的另外三个向量共面。 二、解题思路 1. 证明三个向量共面 · 方法一：利用共面向量定理，将其中一个向量表示为另外两个不共线向量的线性组合，找到对应的实数系数即可； · 方法二：证明存在不全为零的实数 ，使三个向量的线性组合等于零向量； · 方法三：坐标法，计算三个向量的混合积，结果为0则共面，不为0则不共面。 1. 证明四点共面 · 方法一：转化为向量共面问题，证明 共面，即证明 可由 线性表示； · 方法二：利用四点共面向量推论，写出 ，验证系数和 ； · 方法三：几何法，证明四点中有三点共线，或存在两条直线平行/相交，从而确定共面。 1. 已知共面求参数 · 设出线性表达式，根据向量相等对应系数相等，列方程求解参数； · 坐标形式下，利用混合积为0列行列式方程，求解参数。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 例3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 例4．（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【变式训练】 变式1．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 变式2．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则_________． 变式4．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量的基底、用基底表示向量、空间向量的共面问题讲义 空间向量与立体几何：空间向量的基底、用基底表示向量、空间向量的共面问题讲义 考点目录 空间向量的基底 用基底表示向量 空间向量的共面问题 考点一 空间向量的基底 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基底与基向量的定义 如果三个向量 不共面，那么空间中所有向量构成的集合都可以表示为 。 这组 叫做空间向量的一组基底， 分别叫做这组基底的基向量。 1. 基底的核心判定条件 三个向量能构成空间基底的充要条件是：三个向量不共面。 · 若三个向量共面，则无法表示出空间中所有方向的向量，不能作为基底； · 只要三个向量不共面，就可以作为空间的一组基底。 1. 基底的基本性质 · 基底不唯一：任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基底； · 零向量不能作为基向量：零向量与任意向量共线，必然与任意两个向量共面，无法构成基底； · 线性无关性：对于基向量 ，不存在不全为零的实数 ，使得 ；只有当 时等式才成立。 二、解题思路 判断一组向量能否作为空间基底的常用方法： 1. 定义直观法 先观察向量组中是否存在共线向量，若有两个向量共线，则三个向量必共面，不能作为基底；再结合几何模型（如长方体、正方体），判断三个向量是否能平移到同一平面内，不能则可作为基底。 1. 线性无关法 假设存在实数 ，使得 ；若能推导出 ，则三个向量不共面，可作为基底；若存在不全为零的解，则共面，不能作为基底。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 例2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】选项A：因为， 所以，，共面，不能构成基底； 选项B：因为， 所以，，共面，不能构成基底； 选项C：设存在，，使得， 所以，故方程组无解，故不存在实数的值使得， 所以，，不共面， 故可作为空间的一个基底； 选项D：，所以，，共面，不能构成基底． 故选：C． 例3．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可. 【详解】A：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； B：假设是共面向量， 所以存在实数，使得成立， 因为为空间的一个基底， 所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立， 所以本选项向量能构成空间的一个基底； C：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； D：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底， 故选：B 变式2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列集合可构成空间的一个基底的是（    ） A． B．} C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：假设在同一个平面内，则，， 所以，， 所以共面，这与是空间的一个基底矛盾， 所以假设不成立，所以不共面.所以可构成空间的一个基底.所以A正确； 对B：因为，所以共面，所以不能构成空间的一个基底，故B错误； 对C：因为，故共面，所以不能构成空间的一个基底，故C错误； 对D：因为，所以共面，所以不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A 变式3．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 考点二 用基底表示向量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 空间向量基本定理 如果 是空间的一组基底，那么对空间中任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 · 其中 叫做向量 在基底 下的坐标。 1. 定理的两层含义 · 存在性：空间任意向量都可以表示为三个基向量的线性组合； · 唯一性：基底确定后，线性组合的系数是唯一确定的。 1. 表示的本质 利用向量的线性运算（加法、减法、数乘），通过三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐步分解、转化为三个基向量的线性组合，核心是向量的分解与合成。 1. 单位正交基底下的特殊形式 若基底为单位正交基底 ，则 ，对应坐标 ，也就是空间向量的坐标形式。 二、解题思路 用基底表示空间向量的常用方法与步骤： 1. 选定基底 优先选择从同一顶点出发、已知长度和夹角、不共面的向量作为基底，简化后续计算；几何体中常以共顶点的三条棱对应向量为基底。 1. 路径分解法（线性运算法，最常用） · 定位目标向量的起点和终点，通过向量加法的三角形法则，将目标向量拆分为多段已知向量的和或差； · 每一段向量逐步向基向量方向转化，利用数乘运算调整长度与方向； · 合并同类项，整理为 的标准形式。 · 技巧：利用中点、分点公式辅助分解，例如中点对应向量等于两端点向量的平均值。 1. 待定系数法 · 设目标向量 ； · 根据题目给出的几何关系、向量等式，建立关于 的向量方程； · 利用向量相等的条件（对应基向量的系数分别相等），列出方程组； · 解方程组得到 的值，代入表达式即得结果。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 例2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 例3．（25-26高二下·浙江衢州·期中）如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，， ， . 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 变式2．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】四棱柱中，四边形为平行四边形，则， 由点是线段的中点， 则 ，则， 所以. 故选：B 变式3．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，以为基底表示出即可. 【详解】易知 . 故选：D 考点三 空间向量的共面问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 共面向量的定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量；等价于可以通过平移，将所有向量移到同一个平面内。 · 注意：任意两个空间向量一定共面；三个及以上向量才需要讨论是否共面。 1. 共面向量定理（核心定理） 如果两个向量 不共线，那么向量 与 共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对 ，使得 · 前提条件： 不共线；若 共线，则 与 必然共面，定理不适用。 1. 三个向量共面的充要条件 · 代数形式：存在不全为零的实数 ，使得 ； 1. 四点共面的判定（高频考点） 空间四点 共面的充要条件： · 向量形式1：存在实数 ，使得 ； · 向量形式2：对空间任意一点 ，存在实数 ，使得 ，且 。 · 本质：四点共面等价于以其中一点为起点的另外三个向量共面。 二、解题思路 1. 证明三个向量共面 · 方法一：利用共面向量定理，将其中一个向量表示为另外两个不共线向量的线性组合，找到对应的实数系数即可； · 方法二：证明存在不全为零的实数 ，使三个向量的线性组合等于零向量； · 方法三：坐标法，计算三个向量的混合积，结果为0则共面，不为0则不共面。 1. 证明四点共面 · 方法一：转化为向量共面问题，证明 共面，即证明 可由 线性表示； · 方法二：利用四点共面向量推论，写出 ，验证系数和 ； · 方法三：几何法，证明四点中有三点共线，或存在两条直线平行/相交，从而确定共面。 1. 已知共面求参数 · 设出线性表达式，根据向量相等对应系数相等，列方程求解参数； · 坐标形式下，利用混合积为0列行列式方程，求解参数。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 例2．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 例3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 例4．（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 变式2．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【详解】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A 变式3．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $