1.4.2　第2课时：用空间向量研究夹角问题 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量与立体几何中夹角问题，系统梳理空间向量夹角、线线角、线面角、二面角的定义、取值范围及向量法计算公式，明确角度转化关系，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过分层设计（知识点梳理配即学即练，典例探究含高考真题及跟练）突出重点难点，规范解题流程。结合图形判断培养几何直观，对比辨析发展数学思维，课中辅助教师强化教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识网络。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.2 第2课时：用空间向量研究夹角问题 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 分清空间向量夹角、线线角、线面角、二面角的定义与取值范围 (重点) 2. 熟练掌握向量法求解线线角、线面角、二面角的计算公式，理清角度转化关系 (重难点) 3. 能够区分法向量夹角与二面角的关系，会判断二面角为锐角或钝角 (易错点) 4. 掌握建系求解各类空间角的完整解题流程，规范书写答题步骤 (难点) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间向量的夹角 💡 知识梳理 · 设两个非零向量，将两向量起点重合，所成角即为向量夹角。 · 范围： · 📝 即学即练 已知，，求两向量夹角的余弦值. 【答案】 【详解】，，，. 知识点 2 异面直线所成角 💡 知识梳理 · 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角. · 取值范围： · 要点：异面直线夹角只取到，公式必须带绝对值. 📝 即学即练 两条异面直线方向向量，，求异面直线所成角的余弦值. 【答案】 【详解】，，，. 知识点 3 直线与平面所成角 💡 知识梳理 · 已知直线方向向量为，直线上任意一点，空间外一点. 点到直线的距离： 原理：斜边平方减去投影直角边平方，开方得垂线段长度. · 直线方向向量，平面法向量，直线与平面所成角. 取值范围： 原理：线面角与 “方向向量和法向量夹角” 互余，公式取绝对值. 📝 即学即练 直线方向向量，平面法向量，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 【详解】，，，. 知识点 4 二面角 💡 知识梳理 · 设二面角两个半平面对应法向量，二面角大小. · 若二面角为锐角： 若二面角为钝角： · 若所求角为平面与平面所成的夹角： 关键：向量计算只能得到法向量夹角，必须结合图形判断二面角是锐角还是钝角，不能直接照搬计算结果. 📝 即学即练 两个平面法向量，，观察图形二面角为钝角，求二面角的余弦值. 【答案】 【详解】，，，，二面角余弦为. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）在三棱锥P­ABC中，和均为等边三角形，且二面角的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为________． 【答案】/0.625 【分析】取BC的中点O，连接OP, OA，由题意可得AO⊥BC,PO⊥BC，从而得PAO⊥平面ABC，∠POA＝120°，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】解：如图，    取BC的中点O，连接OP, OA， 因为和均为等边三角形， 所以AO⊥BC,PO⊥BC，, 所以BC⊥平面PAO，平面ABC, 所以平面PAO⊥平面ABC， 且∠POA的大小就是二面角P-­BC­-A的大小，即∠POA＝120°， 建立空间直角坐标系如图所示， 设， 则点 ，，B(0,1,0)，， 所以，， 所以， 所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 故答案为： 【跟练1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过角度关系求出特定角的大小，然后建立空间直角坐标系，确定各点坐标，进而得到异面直线对应向量的坐标，最后利用向量的夹角公式求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】，且，所以， 连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、、、， ，， 设异面直线与所成的角为， 则：， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A．    【典例2】（25-26高二下·广东·期中）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】. 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设为平面的一个法向量， 则所以 可取，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【跟练2】（25-26高二上·重庆·期中）如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（    ） A．45° B．90° C．30° D．60° 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求解． 【详解】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴， 建立空间直角坐标系O﹣xyz． 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0）， S（0， 0 ，a） ，P（，0，）， 则（0，﹣2a， 0），（，a， ），（﹣a，﹣a，0）， 设平面PAC的一个法向量为， 则，， ∴，可取（1，0，1）， 设直线与平面的夹角为， 则， 由，， 故选：C 【典例3】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ）    A．－ B． C．－ D． 【答案】B 【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可； 法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可. 【详解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N，. 解法一  取MN的中点G，连接BG，AG， 则G. 因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角． 又因为 ，， 所以，， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为.    解法二  设平面AMN的法向量 由于， ， 则，即， 令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是， 同理可求得平面BMN的一个法向量 . 所以 ， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为. 故选：B. 【跟练3】（24-25高二下·江苏·阶段检测）如图所示，在三棱锥S－ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量法求解二面角余弦值即可. 【详解】因为△SAB与△SAC均为等边三角形， 所以AB＝AC. 连接OA，则OA⊥BC，且， 因为，故△SBC与△ABC是全等三角形， 故，且，故，故. 以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设，则. 设SC的中点为M，连接OM，AM，则M， 故，，， 所以， 所以MO⊥SC，MA⊥SC， 故为二面角的平面角. 因为， 所以平面ASC与平面BSC夹角的余弦值为. 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 向量夹角；异面直线角；线面角；二面角；平面与平面所成的夹角 2. 线线角用方向向量，加绝对值；线面角用；二面角看图形判锐钝. 3. 解题统一流程：建空间直角坐标系→求方向向量、法向量→套公式→结合范围得到最终角度. 4. 大题务必写清向量，公式，不能只写结果. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．（24-25高二上·山东·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法可求得与所成的角的大小. 【详解】因为两条异面直线、的方向向量分别为，， ， 所以与所成的角的余弦值为， 所以，与所成的角为. 故选：C. 2．（25-26高二上·山东·阶段检测）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量夹角的坐标运算求异面直线与的夹角的余弦值，注意夹角范围. 【详解】设，所成的角为，则. 故选：D 3．（25-26高二下·甘肃·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的夹角公式计算即可 【详解】与所成角的余弦值为， 又与所成角为， 与所成角的大小为 故选：B 4．（24-25高二下·甘肃·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（    ） A．1 B．－1 C．－1或1 D．2 【答案】C 【分析】借助向量夹角公式求解即可. 【详解】因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补， 所以，得t＝±1． 故选：C． 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的大小为__________． 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的大小. 【详解】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， ，，设平面的法向量为， 由，取，可得， ，， 因此，直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·陕西·阶段检测）在菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面ACD（如图），则平面BCD与平面ACD夹角的正弦值为__________．    【答案】/ 【分析】根据面面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 因为菱形ABCD中，， 所以三角形和三角形ACD都是等边三角形， 因此，， 因为平面平面ACD，平面平面ACD， 所以平面ACD，而平面ACD， 因此，因此建立如图所示的空间直角坐标系，    设菱形的边长为，， 设平面BCD的法向量为，， 所以有， 平面ACD的法向量为， 平面BCD与平面ACD夹角为， 所以， 因此， 故答案为： 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是高考立体几何大题必考内容，学生极易混淆四个角的取值范围，尤其容易把线面角误用余弦公式；二面角经常忽略看图判断锐钝，直接照搬法向量的计算结果.同时向量点积、模长计算失误较多.教学中需要对比四张角度表格强化记忆，加强审题看图训练，规范大题书写步骤，针对易混点做对比专项训练. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.2 第2课时：用空间向量研究夹角问题 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 分清空间向量夹角、线线角、线面角、二面角的定义与取值范围 (重点) 2. 熟练掌握向量法求解线线角、线面角、二面角的计算公式，理清角度转化关系 (重难点) 3. 能够区分法向量夹角与二面角的关系，会判断二面角为锐角或钝角 (易错点) 4. 掌握建系求解各类空间角的完整解题流程，规范书写答题步骤 (难点) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间向量的夹角 💡 知识梳理 · 设两个非零向量，将两向量起点重合，所成角即为向量夹角。 · 范围： · 📝 即学即练 已知，，求两向量夹角的余弦值. 知识点 2 异面直线所成角 💡 知识梳理 · 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角. · 取值范围： · 要点：异面直线夹角只取到，公式必须带绝对值. 📝 即学即练 两条异面直线方向向量，，求异面直线所成角的余弦值. 知识点 3 直线与平面所成角 💡 知识梳理 · 已知直线方向向量为，直线上任意一点，空间外一点. 点到直线的距离： 原理：斜边平方减去投影直角边平方，开方得垂线段长度. · 直线方向向量，平面法向量，直线与平面所成角. 取值范围： 原理：线面角与 “方向向量和法向量夹角” 互余，公式取绝对值. 📝 即学即练 直线方向向量，平面法向量，求直线与平面所成角的正弦值. 知识点 4 二面角 💡 知识梳理 · 设二面角两个半平面对应法向量，二面角大小. · 若二面角为锐角： 若二面角为钝角： · 若所求角为平面与平面所成的夹角： 关键：向量计算只能得到法向量夹角，必须结合图形判断二面角是锐角还是钝角，不能直接照搬计算结果. 📝 即学即练 两个平面法向量，，观察图形二面角为钝角，求二面角的余弦值. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）在三棱锥P­ABC中，和均为等边三角形，且二面角的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为________． 【跟练1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·广东·期中）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【跟练2】（25-26高二上·重庆·期中）如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（    ） A．45° B．90° C．30° D．60° 【典例3】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ） A．－ B． C．－ D． 【跟练3】（24-25高二下·江苏·阶段检测）如图所示，在三棱锥S－ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值. 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 向量夹角；异面直线角；线面角；二面角；平面与平面所成的夹角 2. 线线角用方向向量，加绝对值；线面角用；二面角看图形判锐钝. 3. 解题统一流程：建空间直角坐标系→求方向向量、法向量→套公式→结合范围得到最终角度. 4. 大题务必写清向量，公式，不能只写结果. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．（24-25高二上·山东·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东·阶段检测）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（    ） A．1 B．－1 C．－1或1 D．2 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的大小为__________． 6．（25-26高二上·陕西·阶段检测）在菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面ACD（如图），则平面BCD与平面ACD夹角的正弦值为__________． 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是高考立体几何大题必考内容，学生极易混淆四个角的取值范围，尤其容易把线面角误用余弦公式；二面角经常忽略看图判断锐钝，直接照搬法向量的计算结果.同时向量点积、模长计算失误较多.教学中需要对比四张角度表格强化记忆，加强审题看图训练，规范大题书写步骤，针对易混点做对比专项训练. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $