空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量的数量积与坐标运算，系统梳理数量积的定义、几何意义、性质及运算律，衔接坐标表示、线性运算与衍生公式，构建从基础概念到坐标应用的学习支架。 资料通过定义法、基底法、坐标法等解题思路培养数学思维，结合各地期末模考例题与变式训练，助力学生用数学语言表达立体几何问题。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 考点目录 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 考点一 空间向量的数量积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 数量积的定义 已知两个非零空间向量 和 ，它们的夹角为 （夹角范围为 ），则把数量 叫做向量 与 的数量积（内积），记作 ，即： · 规定：零向量与任意向量的数量积为 。 1. 数量积的几何意义 · 投影向量：向量 在向量 方向上的投影向量，是与 共线的向量，大小为 ，方向沿 方向。 · 数量积的几何意义： 等于 的模长 ，与 在 方向上投影的数量的乘积；也等于 的模长 ，与 在 方向上投影的数量的乘积。 1. 核心性质 · 垂直判定：非零向量 · 模长公式：，即 （求模长的核心方法：先平方再开方） · 夹角公式： · 柯西不等式：，当且仅当 与 共线时等号成立。 1. 运算律 · 交换律： · 数乘结合律： · 分配律： · 易错提醒：数量积不满足结合律，即 ；等式两边均为向量，但方向通常不同。 二、解题思路 1. 求向量数量积 · 定义法：已知两向量的模长和夹角，直接代入定义式计算。 · 基底法：将目标向量用已知模长、夹角的基底向量线性表示，展开数量积，分别计算每一项后合并结果。 · 坐标法：建立空间直角坐标系，写出向量坐标，通过坐标公式计算数量积。 1. 求向量的模长（线段长度） · 核心步骤：对向量取平方，利用 展开数量积运算，计算结果后开算术平方根。 · 几何应用：求空间中两点距离、线段长度，转化为对应向量的模长计算。 1. 求两向量的夹角 · 先分别计算 、、； · 代入夹角公式求出余弦值； · 结合夹角范围 ，确定最终夹角大小。 1. 证明空间线线垂直 · 将两直线的垂直关系，转化为证明两直线的方向向量数量积为 。 1. 立体几何综合应用 数量积是空间角（线线角、线面角、二面角）、空间距离计算的核心工具，所有角度、距离问题最终都可转化为向量数量积运算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式计算模长． 【详解】由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 例2．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 例3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测·多选）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，以及向量的数量积和模的计算公式，逐项求解，即可求解. 【详解】由题意知，平行六面体中，且， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 则 ，所以，所以B错误； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ACD. 例4．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 例5．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 【答案】0 【分析】先求得和的坐标，再根据投影向量的模的公式求解即可. 【详解】空间三点，，， 则有，，， 所以，向量在向量上的投影向量的模为0. 故答案为：0 例6．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【详解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 变式2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 变式3．（24-25高三上·江苏常州·期末·多选）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 变式4．（24-25高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 【答案】 【分析】用、、表示，结合空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可得， 因为、分别为、的中点，所以，， 故， 因此， . 故答案为：. 变式5．（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 变式6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 考点二 空间向量的坐标运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 空间向量的坐标表示 · 在空间直角坐标系中，取与 轴、 轴、 轴正方向相同的三个单位正交向量 作为单位正交基底。 · 任意空间向量 都可以唯一表示为 ，有序实数组 叫做向量 的坐标，记作 。 · 两点向量坐标：若空间两点 ，，则 · 即向量坐标等于终点坐标减去起点坐标。 1. 基本线性运算的坐标形式 设 ，，则： · 加法： · 减法： · 数乘： · 数量积：（坐标法核心公式） 1. 衍生坐标公式 · 模长公式： · 两点间距离公式： · 夹角公式： · 平行（共线）判定：，使得 ，即对应坐标成比例。 · 垂直判定： 二、解题思路 1. 向量坐标的求解 · 已知两点坐标：用终点坐标减起点坐标，直接得到向量坐标。 · 已知向量线性关系：利用向量加减、数乘的坐标运算法则，逐步推导目标向量的坐标。 1. 利用坐标判断向量位置关系 · 平行：验证三个坐标分量是否对应成比例；注意零向量与任意向量共线。 · 垂直：计算对应坐标乘积之和，结果为 则两向量垂直。 1. 坐标法计算模、夹角、数量积 代入对应坐标公式直接计算，是立体几何坐标法的核心运算步骤，结果精准、步骤固定。 1. 坐标法解立体几何的通用流程 · 建系：利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，尽可能让更多点落在坐标轴或坐标平面上，简化坐标。 · 写点：写出所有关键点的坐标。 · 求向量：计算相关直线的方向向量、平面的法向量的坐标。 · 运算：通过坐标运算解决平行、垂直、角度、距离等几何问题。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 例2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 例3．（25-26高二上·广东深圳·期末·多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 例4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 例5．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，求得 ，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为点 ， 可得 ，则 ， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 例6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 变式2．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 变式3．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测·多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A， 根据空间向量模长公式，若，则， 得，即，故A错误； 选项B， 若存在实数使得，则对应坐标成比例 ， 由解得，此时矛盾，因此不存在这样的，故B正确； 选项C ，若，则，计算得 令，得，故C错误； 选项D， 若，即，得， 此时，符合结论，故D正确. 变式4．（25-26高二下·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 【答案】 【分析】先根据空间中点关于平面对称的坐标特征求出点的坐标，再结合空间向量数量积的坐标运算公式计算结果。 【详解】已知点 ，则其关于平面的对称点的坐标为 ， 因此 ， ， 变式5．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 【答案】 【分析】先求出向量在向量上的投影向量，然后利用向量求模公式计算即可. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为向量， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 向量在向量上的投影向量的模为： ， 故答案为：. 变式6．（24-25高二上·山东聊城·阶段检测）已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【详解】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以， 所以 （3）若，则，所以，进而. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 考点目录 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 考点一 空间向量的数量积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 数量积的定义 已知两个非零空间向量 和 ，它们的夹角为 （夹角范围为 ），则把数量 叫做向量 与 的数量积（内积），记作 ，即： · 规定：零向量与任意向量的数量积为 。 1. 数量积的几何意义 · 投影向量：向量 在向量 方向上的投影向量，是与 共线的向量，大小为 ，方向沿 方向。 · 数量积的几何意义： 等于 的模长 ，与 在 方向上投影的数量的乘积；也等于 的模长 ，与 在 方向上投影的数量的乘积。 1. 核心性质 · 垂直判定：非零向量 · 模长公式：，即 （求模长的核心方法：先平方再开方） · 夹角公式： · 柯西不等式：，当且仅当 与 共线时等号成立。 1. 运算律 · 交换律： · 数乘结合律： · 分配律： · 易错提醒：数量积不满足结合律，即 ；等式两边均为向量，但方向通常不同。 二、解题思路 1. 求向量数量积 · 定义法：已知两向量的模长和夹角，直接代入定义式计算。 · 基底法：将目标向量用已知模长、夹角的基底向量线性表示，展开数量积，分别计算每一项后合并结果。 · 坐标法：建立空间直角坐标系，写出向量坐标，通过坐标公式计算数量积。 1. 求向量的模长（线段长度） · 核心步骤：对向量取平方，利用 展开数量积运算，计算结果后开算术平方根。 · 几何应用：求空间中两点距离、线段长度，转化为对应向量的模长计算。 1. 求两向量的夹角 · 先分别计算 、、； · 代入夹角公式求出余弦值； · 结合夹角范围 ，确定最终夹角大小。 1. 证明空间线线垂直 · 将两直线的垂直关系，转化为证明两直线的方向向量数量积为 。 1. 立体几何综合应用 数量积是空间角（线线角、线面角、二面角）、空间距离计算的核心工具，所有角度、距离问题最终都可转化为向量数量积运算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 例2．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测·多选）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 例5．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 例6．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 变式3．（24-25高三上·江苏常州·期末·多选）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 变式5．（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 变式6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 考点二 空间向量的坐标运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 空间向量的坐标表示 · 在空间直角坐标系中，取与 轴、 轴、 轴正方向相同的三个单位正交向量 作为单位正交基底。 · 任意空间向量 都可以唯一表示为 ，有序实数组 叫做向量 的坐标，记作 。 · 两点向量坐标：若空间两点 ，，则 · 即向量坐标等于终点坐标减去起点坐标。 1. 基本线性运算的坐标形式 设 ，，则： · 加法： · 减法： · 数乘： · 数量积：（坐标法核心公式） 1. 衍生坐标公式 · 模长公式： · 两点间距离公式： · 夹角公式： · 平行（共线）判定：，使得 ，即对应坐标成比例。 · 垂直判定： 二、解题思路 1. 向量坐标的求解 · 已知两点坐标：用终点坐标减起点坐标，直接得到向量坐标。 · 已知向量线性关系：利用向量加减、数乘的坐标运算法则，逐步推导目标向量的坐标。 1. 利用坐标判断向量位置关系 · 平行：验证三个坐标分量是否对应成比例；注意零向量与任意向量共线。 · 垂直：计算对应坐标乘积之和，结果为 则两向量垂直。 1. 坐标法计算模、夹角、数量积 代入对应坐标公式直接计算，是立体几何坐标法的核心运算步骤，结果精准、步骤固定。 1. 坐标法解立体几何的通用流程 · 建系：利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，尽可能让更多点落在坐标轴或坐标平面上，简化坐标。 · 写点：写出所有关键点的坐标。 · 求向量：计算相关直线的方向向量、平面的法向量的坐标。 · 运算：通过坐标运算解决平行、垂直、角度、距离等几何问题。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 例2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东深圳·期末·多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 例4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 例5．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 例6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 变式2．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测·多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 变式4．（25-26高二下·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 变式5．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 变式6．（24-25高二上·山东聊城·阶段检测）已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $