专题1.1.2空间向量的数量积运算【核心题型讲义】-2026-2027学年高二上学期数学数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学空间向量的数量积运算核心知识点，从概念辨析（含夹角定义、数量积定义及性质）切入，逐步延伸至求数量积、模长，再到夹角和垂直应用，最后涵盖投影向量与数量，构建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 该资料以核心知识提问引导学生用数学眼光抽象空间向量关系，通过辨析题和计算题培养数学思维中的推理与运算能力，结合正三棱锥、正四面体等立体图形例题用数学语言表达空间形式。课中辅助教师系统授课，课后学生可借变式题查漏补缺，强化知识应用。

专题1.1.2 空间向量的数量积运算 核心总览 专题1.1.2 空间向量的数量积运算 1 📘 核心模块1 空间向量数量积的概念辨析 2 核心题型1 空间向量的夹角概念辨析 3 核心题型2 空间向量的数量积概念辨析 4 ➡ 核心模块2 求空间向量的数量积 6 核心题型3 求空间向量的数量积 7 🎯 核心模块3 求空间向量模长 9 核心题型4 求空间向量模长 9 📊 核心模块4 求空间向量的夹角和空间向量垂直的应用 15 核心题型5 求空间向量的夹角 15 核心题型6 空间向量垂直的应用 18 🌐 核心模块5 投影向量和投影数量 21 核心题型7 投影向量和投影数量 22 核心知识提问 1. 空间两个向量夹角的定义是什么？夹角的取值范围是多少？ 2. 空间向量数量积的定义公式是什么？ 3. 数量积的运算结果是向量还是实数？ 4. 空间向量数量积满足哪些运算律？ 5. 若 ，能否直接判定两向量垂直？ 6. 如何利用数量积公式求空间向量的模长？ 7. 已知两个非零空间向量，如何利用数量积求解向量夹角？ 8. 向量夹角为锐角、钝角、直角时，数量积的正负符号分别有什么规律？ 9. 向量 在 上的投影数量公式是什么？ 10. 向量 在 上的投影向量公式是什么？ 📘 核心模块1 空间向量数量积的概念辨析 1、空间向量的夹角 （1）定义： 如图，由于空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内，借助平面向量夹角的定义，我们任选一点，作，，则称为向量，的夹角，记作____． （2）取值范围：__． ①当时，向量与垂直，记作． ②当=0或时，向量与行，记作． 2、空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个非零向量，则____叫作向量的数量积，记作，即 __ 【注意】零向量与任意向量的数量积为0，即 0 性质 ；______ ________ 运算律 (交换律) _______(分配律) 核心题型1 空间向量的夹角概念辨析 【例题1】（25-26高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 【变式1】（8.2向量的数量积）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 核心题型2 空间向量的数量积概念辨析 【例题1】【多选】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【例题2】【多选】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式2】【多选】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 ➡ 核心模块2 求空间向量的数量积 1、求空间向量数量积 2、与立体图形相结合时求空间向量数量积的步骤 (1) 选三个不共面的向量作为基底（与平面向量基底概念类似），优先选已知模长和夹角的向量作为基向量。 (2) 用基底表示各个向量。 (3) 利用向量的运算规律将数量积展开，转化为基向量之间的数量积。 (4) 代入数量积公式：进行求解。 核心题型3 求空间向量的数量积 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）在边长为1的正三角形中，设，，，则等于（   ） A．1.5 B． C．0.5 D． 【例题2】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（2025高二下·湖北·学业考试）已知向量与的夹角为，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 🎯 核心模块3 求空间向量模长 1、求空间向量模长 2、与立体图形相结合时求空间向量模长的步骤 (1) 选三个不共面的向量作为基底（与平面向量基底概念类似），优先选已知模长和夹角的向量作为基向量。 (2) 用基底表示各个向量。 (3) 将模平方，转化为基向量之间的数量积和模长运算，最后开根号求模长。 核心题型4 求空间向量模长 【例题1】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【新考法】（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【新考法】（24-25高二上·广东茂名·期中）如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为_____. 📊 核心模块4 求空间向量的夹角和空间向量垂直的应用 1、求空间向量夹角 利用公式求，结合向量夹角范围确定. 2、与立体图形相结合时求空间向量夹角的步骤 (1) 选三个不共面的向量作为基底（与平面向量基底概念类似），优先选已知模长和夹角的向量作为基向量。 (2) 用基底表示各个向量。 (3) 利用向量的运算规律将数量积展开，并求向量模长，转化为基向量之间的数量积和模长运算。 (4) 利用公式求，结合向量夹角范围确定. 3、空间向量垂直 核心题型5 求空间向量的夹角 【例题1】（25-26高二上·湖南·期中）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【变式1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【变式2】（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 核心题型6 空间向量垂直的应用 【例题1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【例题2】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【变式1】（复习题（三））在空间四面体中，，．求证：． 【变式2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 🌐 核心模块5 投影向量和投影数量 1、投影向量 向量在向量方向上的投影向量如图，已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，则 ．    2、投影数量 向量在向量方向上的投影数量________称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量在向量方向上的投影数量为： ． 3、投影向量模长 投影向量模长=投影数量的绝对值 4、向量向平面投影： 如图，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量______称为向量在平面上的投影向量． 核心题型7 投影向量和投影数量 【例题1】（25-26高二下·广西梧州·期末）设，是单位向量，在上的投影向量为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·上海·期末）设向量，满足，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 【例题3】【多选】（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【变式1】【多选】（25-26高一下·山西大同·阶段检测）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）. A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【变式2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【变式3】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.2 空间向量的数量积运算 核心总览 专题1.1.2 空间向量的数量积运算 1 📘 核心模块1 空间向量数量积的概念辨析 2 核心题型1 空间向量的夹角概念辨析 3 核心题型2 空间向量的数量积概念辨析 4 ➡ 核心模块2 求空间向量的数量积 6 核心题型3 求空间向量的数量积 7 🎯 核心模块3 求空间向量模长 9 核心题型4 求空间向量模长 9 📊 核心模块4 求空间向量的夹角和空间向量垂直的应用 15 核心题型5 求空间向量的夹角 15 核心题型6 空间向量垂直的应用 18 🌐 核心模块5 投影向量和投影数量 21 核心题型7 投影向量和投影数量 22 核心知识提问 1. 空间两个向量夹角的定义是什么？夹角的取值范围是多少？ 2. 空间向量数量积的定义公式是什么？ 3. 数量积的运算结果是向量还是实数？ 4. 空间向量数量积满足哪些运算律？ 5. 若 ，能否直接判定两向量垂直？ 6. 如何利用数量积公式求空间向量的模长？ 7. 已知两个非零空间向量，如何利用数量积求解向量夹角？ 8. 向量夹角为锐角、钝角、直角时，数量积的正负符号分别有什么规律？ 9. 向量 在 上的投影数量公式是什么？ 10. 向量 在 上的投影向量公式是什么？ 📘 核心模块1 空间向量数量积的概念辨析 1、空间向量的夹角 （1）定义： 如图，由于空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内，借助平面向量夹角的定义，我们任选一点，作，，则称为向量，的夹角，记作____． （2）取值范围：__． ①当时，向量与垂直，记作． ②当=0或时，向量与行，记作． 2、空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个非零向量，则____叫作向量的数量积，记作，即 __ 【注意】零向量与任意向量的数量积为0，即 0 性质 ；______ ________ 运算律 (交换律) _______(分配律) 核心题型1 空间向量的夹角概念辨析 【例题1】（25-26高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、空间向量数量积的概念辨析 【分析】取的中点连接、，依题意可得三棱锥为正四面体，即可证明平面，从而得到，即可求出，再由为等边三角形得到. 【详解】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 【变式1】（8.2向量的数量积）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 核心题型2 空间向量的数量积概念辨析 【例题1】【多选】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 【例题2】【多选】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 【变式2】【多选】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 【答案】CD 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：CD ➡ 核心模块2 求空间向量的数量积 1、求空间向量数量积 2、与立体图形相结合时求空间向量数量积的步骤 (1) 选三个不共面的向量作为基底（与平面向量基底概念类似），优先选已知模长和夹角的向量作为基向量。 (2) 用基底表示各个向量。 (3) 利用向量的运算规律将数量积展开，转化为基向量之间的数量积。 (4) 代入数量积公式：进行求解。 核心题型3 求空间向量的数量积 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）在边长为1的正三角形中，设，，，则等于（   ） A．1.5 B． C．0.5 D． 【答案】C 【分析】应用平面向量的数量积公式计算求解. 【详解】∵在边长为的正三角形中，设， ∴且， ∴由向量数量积的定义可得 . 【例题2】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 【变式1】（2025高二下·湖北·学业考试）已知向量与的夹角为，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为向量与的夹角为，且， 所以，则. 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 🎯 核心模块3 求空间向量模长 1、求空间向量模长 2、与立体图形相结合时求空间向量模长的步骤 (1) 选三个不共面的向量作为基底（与平面向量基底概念类似），优先选已知模长和夹角的向量作为基向量。 (2) 用基底表示各个向量。 (3) 将模平方，转化为基向量之间的数量积和模长运算，最后开根号求模长。 核心题型4 求空间向量模长 【例题1】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 【例题2】（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量数量积的计算公式，直接计算，即可求解；. （2）由向量的线性运算法则，求得，根据向量运算律，即可求解. 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 【新考法】（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的模长即可求解. 【详解】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 【变式1】（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【详解】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 【新考法】（24-25高二上·广东茂名·期中）如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为_____. 【答案】或/或 【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，借助于相关模长、夹角条件，利 用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得. 【详解】 由已知，得或， 设，因为，而, 则 当时，可得，解得：； 当时，可得，解得. 综上可知，即公垂线段的长为或. 故答案为：或. 📊 核心模块4 求空间向量的夹角和空间向量垂直的应用 1、求空间向量夹角 利用公式求，结合向量夹角范围确定. 2、与立体图形相结合时求空间向量夹角的步骤 (1) 选三个不共面的向量作为基底（与平面向量基底概念类似），优先选已知模长和夹角的向量作为基向量。 (2) 用基底表示各个向量。 (3) 利用向量的运算规律将数量积展开，并求向量模长，转化为基向量之间的数量积和模长运算。 (4) 利用公式求，结合向量夹角范围确定. 3、空间向量垂直 核心题型5 求空间向量的夹角 【例题1】（25-26高二上·湖南·期中）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 【例题2】（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 【变式1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】求出，，，利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】由题意得， 所以， ， ， 所以. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，证明出，结合直线、不重合可证得结论成立； （2）将、用基底、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 核心题型6 空间向量垂直的应用 【例题1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 【例题2】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 【变式1】（复习题（三））在空间四面体中，，．求证：． 【答案】 证明：因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 【分析】利用空间向量的运算以及垂直的向量表示进行证明. 【详解】略 【变式2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 🌐 核心模块5 投影向量和投影数量 1、投影向量 向量在向量方向上的投影向量如图，已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，则 ．    2、投影数量 向量在向量方向上的投影数量________称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量在向量方向上的投影数量为： ． 3、投影向量模长 投影向量模长=投影数量的绝对值 4、向量向平面投影： 如图，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量______称为向量在平面上的投影向量． 核心题型7 投影向量和投影数量 【例题1】（25-26高二下·广西梧州·期末）设，是单位向量，在上的投影向量为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量投影向量的定义求出夹角的余弦值，结合夹角的取值范围即可确定夹角. 【详解】设与的夹角为，其中， 由题可知为单位向量，故， 根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为： ， 已知该投影向量为，且， 代入得： 解得，结合，可得. 【例题2】（25-26高一下·上海·期末）设向量，满足，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 【答案】 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式计算求解. 【详解】向量在方向上的数量投影为. 【例题3】【多选】（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 【变式1】【多选】（25-26高一下·山西大同·阶段检测）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）. A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【分析】先由单位向量的夹角求出 ，再分别利用向量模、投影向量及数量积与夹角的关系判断各选项． 【详解】因为 ， 均为单位向量，且夹角为 ，所以. 对于A，，故 ，A正确； 对于B， 在 方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 当 时，， 但当时，，两向量同向共线，夹角为不是锐角，故D错误． 【变式2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 【变式3】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $