空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算4种高频考点专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算四大高频考点，以题载知构建从基础运算到位置关系再到数量关系的递进式训练体系，培养运算能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量模长的坐标表示|4例+4变式|含几何体中向量模长计算、参数求解|以模长公式为基础，衔接空间点坐标表示| |空间向量平行与垂直的坐标表示|5例+5变式|涉及平行垂直的充要条件应用、多选型判断|从向量共线与数量积延伸至空间位置关系判定| |空间向量夹角余弦的坐标表示|4例+4变式|包含夹角计算、参数范围求解、正方体模型应用|基于数量积公式推导，关联空间角的度量| |空间向量投影的坐标表示|3例+3变式|考查投影向量坐标及模长计算|由数量积公式拓展，体现向量的几何意义|

空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算4种高频考点专项训练 空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算4种高频考点专项训练 考点目录 空间向量模长的坐标表示 空间向量平行与垂直的坐标表示 空间向量夹角余弦的坐标表示 空间向量投影的坐标表示 考点一 空间向量模长的坐标表示 例1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 例2．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为_____. 【答案】 【分析】先求，再根据数量积求向量的夹角. 【详解】因为. 由， 所以，所以. 故答案为： 例4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知_______ 【答案】5 【分析】根据向量坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：5. 变式1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 变式2．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 变式3．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 变式4．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，则______. 【答案】 【分析】由空间向量的减法运算及模运算求解. 【详解】,则. 故答案为: 考点二 空间向量平行与垂直的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 例2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 例3．（25-26高二上·陕西安康·期末·多选）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量线性运算，垂直，平行，数量积坐标表示可判断各选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若，则存在实数，使，则，方程无解，从而与不平行，故B错误； 对于C，,，则，又,均不是零向量，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 例4．（2026·上海长宁·二模）已知向量，，若，则实数________. 【答案】 【详解】因为，，又， 所以， 则. 例5．（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知空间向量，若，则___________． 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题可得． 由，可知， 即，解得， 则，则． 故答案为： 变式1．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 变式2．（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 变式3．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测·多选）在空间直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．四点共面 【答案】ABD 【分析】利用空间向量平行、垂直的坐标表示，模长公式一一判定选项. 【详解】由题可得. 所以，即，故A正确； 由，得，故B正确； 由， 得，故C错误； 对于选项D，因为，且，所以三点共线， 又，所以点不在所在直线上，所以可以确定一个平面， 即四点共面，故选项D正确. 故选：ABD. 变式4．（2026·河北·三模）已知空间向量，，且.则________. 【答案】 【详解】因为，，且，所以，整理得，解得. 变式5．（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则______. 【答案】0 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 考点三 空间向量夹角余弦的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 例2．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 例3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 例4．（24-25高二上·河南周口·阶段检测）已知向量，，若，则________． 【答案】 【分析】根据向量数量积公式及夹角公式可得方程，解方程即可. 【详解】由，， 则，，，， 则， 解得， 故答案为：. 变式1．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，可知， 则. 变式2．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 变式3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的公式即可得解. 【详解】由题意知，，， 设与所成角为， 则， 因为，所以， 所以与所成角的大小为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 考点四 空间向量投影的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 例2．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，再利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 例3．（25-26高二上·天津·期中）已知向量与，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【分析】先求，，结合投影向量的定义运算求解即可. 【详解】因为向量，，则，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 变式1．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 变式2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合空间向量的坐标运算求投影向量的模. 【详解】因为，，，则， 所以在上的投影向量的模为. 故选：A. 变式3．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算4种高频考点专项训练 空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算4种高频考点专项训练 考点目录 空间向量模长的坐标表示 空间向量平行与垂直的坐标表示 空间向量夹角余弦的坐标表示 空间向量投影的坐标表示 考点一 空间向量模长的坐标表示 例1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 例2．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为_____. 例4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知_______ 变式1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 变式3．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 变式4．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，则______. 考点二 空间向量平行与垂直的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 例2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 例3．（25-26高二上·陕西安康·期末·多选）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 例4．（2026·上海长宁·二模）已知向量，，若，则实数________. 例5．（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知空间向量，若，则___________． 变式1．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 变式2．（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 变式3．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测·多选）在空间直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．四点共面 变式4．（2026·河北·三模）已知空间向量，，且.则________. 变式5．（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则______. 考点三 空间向量夹角余弦的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 例3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 例4．（24-25高二上·河南周口·阶段检测）已知向量，，若，则________． 变式1．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 变式4．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 考点四 空间向量投影的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·天津·期中）已知向量与，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 变式1．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B．3 C． D． 变式3．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $