河南省南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

**基本信息** 2026年高三开学数学试卷通过集合、函数、数列等知识，结合蜂巢结构、生成函数等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高三起点能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、等比数列|基础概念辨析，如第3题等比数列求和| |多选|3/18|向量、不等式|多维度能力考查，如第10题均值不等式应用| |填空|3/15|函数单调性、古代隙积术|数学文化融入，如第13题沈括隙积术| |解答|5/77|三角、生成函数、导数|综合应用，如第19题导数零点证明（逻辑推理）|

2026年秋期高三年级开学考试 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 3．已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（    ） A．7 B．9 C．15 D．20 4．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调，其中为大于1的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移（   ）个单位 A． B． C． D． 6．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．已知向量，则（ ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．若，则 D．向量在向量上的投影向量为 10．已知，，且，则（   ） A．的最小值为2 B．的最小值是4 C．的最小值是4 D．的最小值是 11．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 13．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前10项和_________________． 14设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）在中，角，，的对边分别是，，，且，. (1)求的最小值； (2)若的面积是，求外接圆的面积. 16．（15分）“生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且. (1)求； (2)求 17．（15分）在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 18．（17分）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 19．（17分）已知函数. (1)求的极值； (2)已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 开学考试数学参考答案 1．D 【详解】集合， 则，则.故选：D. 2．B【详解】依题意，，解得．故选：B． 3．C【详解】设等比数列的公比为q，依题意有，又， 当时，，故舍去， 当时，因为，则， 化简得，即且，， 故，故选：C. 4． A 【详解】 其定义域为 根据奇函数性质可得，是奇函数 故排除B，C. 当， 根据指数函数是单调增函数，可得 当， 故只有A符合题意 故选：A. 5．B 【详解】因为函数在区间上单调， 所以最小正周期， 即，， 又已知其中为大于1的整数，所以. 因为是的一个零点，所以. 当时，，由，得， 所以， 验证：， 且当，则， 函数在区间上单调递减，满足题意； 当时，，由，得， 所以， 验证：，不满足题意；     综上可知，. 由是偶函数， 又不是偶函数； 不是偶函数； 不是偶函数； 综上，将向右平移个单位，可成为偶函数，B项正确，其余选择均错误； 故选：B. 6．B 【详解】当时，，满足， 但不成立，故充分性不成立； 由，得，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7．B 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 8．D 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为． 当在处时，最小，最小值为； 当在处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故选D． 9．ABD 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为， 因为，所以向量的夹角为，故A正确； 对于B，因， 所以，故B正确； 对于C，， 故若，则，解得，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 10．ABD 【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，B正确； ，当且仅当时，等号成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，C错误； 因为，所以，所以，所以， 同理可得，则， 当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 11．BD 【详解】①， ②， 由②可得：③， ①③联立可得：④， 所以的图象关于点对称，A错； 由④，又为偶函数，所以， 所以，两式相减可得：， 又，，结合 所以，B对， ，由，可知：， 所以，所以，C错； 由，可得，结合， 得：， 所以， 又，所以 即，，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD 12． 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 13.【答案】 【详解】由题意可知，，，，……，， 所以， ， ， 所以数列， . 故答案为： 14．【答案】 【详解】当时，，舍去； 当时，令，得， 设，得，令得，， 当时，；当时，， 所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去； 当时，得， 数形结合只需：，解得； 综上.    故答案为： 15．【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则，所以. 所以的最小值为. （2）因为的面积是，所以，所以. 由（1）可知，则，解得， 则. 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 故外接圆的面积为. 16．【详解】（1）因为且， 所以①， 当可得， 当时②， ①-②得， 显然当时上式也成立， 所以. （2）由题得， ， 则（1）-（2）得： ， 所以. 17． 【详解】（1）法一：因为四边形是平行四边形，是线段的中点， 所以， 因为是线段的中点， 所以， 又，所以，则； 法二：连接，由， 所以，所以， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，， 所以， 因为分别是线段的中点，所以， 所以，又， 所以，即，解得； （2）法一：因为为线段上的动点，设， 所以， ， 在平行四边形中，， 所以， ， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为； 法二：因为为线段上的动点，可设，则， 所以，即， 又，所以， 所以， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为. 18．【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 则曲线的对称中心的坐标是； （2）因为，所以， 则， 故在上的值域为； （3）由（1）知，设，则， 所以关于的不等式， 对恒成立等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． 19．【详解】（1）函数的定义域为. . 令，即， 因为，所以，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，且，无极小值； （2）①因为，所以， 所以，其定义域为. 所以. 令， 则. 当时，， 所以． 当时，， 所以. 当时，， 所以． 综上，当时，，即， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，. 因为没有零点，所以，解得，所以的取值范围为． ②证明：若有两个不同的零点，则． 不妨设，则． 因为，所以． 因为在上单调递减，，所以， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $