河南郑州市卓越高中2026-2027学年高三上学期数学8月练习

**基本信息** 高三数学8月练习涵盖函数、几何、概率等核心知识，以飞行器地速、胡夫金字塔等真实情境为载体，考查数学抽象、运算求解及模型构建能力，适配开学阶段复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|统计（四分位数）、集合、向量、立体几何|结合埃及金字塔侧面积体积计算，考查空间想象| |多选题|3题|复数、立体几何、直线系|以直三棱柱外接球、直线系切线性质为载体，考查逻辑推理| |填空题|3题|双曲线、三角函数、等比数列|结合三角函数图像平移，考查数形结合| |解答题|6题|解三角形、立体几何、椭圆、概率统计、导数|卫星导航干扰源概率问题体现科技应用，古巴比伦月相数列渗透文化传承|

高三数学8月练习 一、单选题 1．数据3，7，9，10，16，18的第三四分位数为（     ） A．5 B．7 C．13 D．16 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地速对应的向量为，则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：）（   ） A．400 B．450 C．560 D．630 4．如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 5．已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 6．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 7．古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的一个数列．该数列将满月等分为240份，记数列为第n天（其中且），月球被太阳照亮部分占满月的份数组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在数列中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则第9天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 8．甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 10．如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（    ） A．P，，，四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角为 11．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（     ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．点到M中任意一条直线的距离为定值 C．点到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 三、填空题 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 13．已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 14．无穷等比数列的公比为，前项和为，若有最小值，则的值可以为_____. (写出一个即可) 四、解答题 15．已知的内角所对的边分别为，. (1)若，，求； (2)若，求的最小值. 16．如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 18．为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． (1)若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； (2)若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； (3)在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 19．已知． (1)若，求的图象在处的切线方程． (2)若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 试卷第1页（共3页） 《高三数学8月练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A A B B D ACD BC 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】数据3，7，9，10，16，18共个数， 因为， 所以第三四分位数为第个数，即 2．A 【详解】集合，，则. 3．B 【分析】根据题意设出，，得到，代入向量坐标，求得，利用向量的模的公式计算即得. 【详解】设飞行器飞行中的地速向量为，飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 4．A 【详解】由题意正四棱锥的高，， 所以正四棱锥的斜高， 所以 所以这座金字塔的侧面积，故①正确； 所以这座金字塔的体积，故②正确. 5．A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 6．B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    7．B 【分析】先利用等比数列通项公式求出，结合等差数列通项公式得到与的关系式，根据为正整数的条件确定参数值，再计算并求对应占比． 【详解】由题意，数列前项为首项，公比为的等比数列， 第5项到第15项为公差为d的等差数列， 所以，， 所以，即， 若，则，解得，不符合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无符合条件的解， 因此，，，， 所以第天月球被太阳照亮部分占满月的比例为． 8．D 【分析】要求第次连续红球且前面不能提前终止，为前 5 次无连续红球，利用对立事件求概率，再套期望公式计算. 【详解】由题，，摸球顺序：1 甲，2 乙，3 甲，4 乙，5 甲，6 乙. 停止条件：都红→，此时； 否则看都红→，此时1白2红3红，； 否则看都红→，此时为2白3红4红，； 否则看都红→，此时为3白4红5红，且未发生，即前两次不能是1红2红， ，则； 否则看都红，此时均未发生， 则； 期望. 9．ACD 【详解】由题可得：， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限，A正确； 因为，则复数的虚部为，B错误； ，C正确； 由， 可知满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，D正确. 10．BC 【分析】根据异面直线的判定判断A，利用补形法判断B，根据等体积法判断C，作出异面直线所成的角计算判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面，而直线， 点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为，则，C正确； 对于D，取中点，连接， 由是中点，得，则是异面直线与所成角或其补角，由已知，，，平面，所以平面，故平面，又平面，于是， 而，因此，即，D错误. 11．BCD 【分析】利用直线系的性质，把直线系方程转化为的圆的全部切线，再根据圆的切线的性质判断选项，利用动圆切线无公共点判断选项A；利用点到直线距离公式计算判断选项B；利用定点到切线最大距离为圆心距与半径的和，判断选项C；不在直线系M中的点落在圆内部，即，求面积判断选项D． 【详解】直线系方程表示圆心为，半径的圆的全部切线， 若直线过定点，则对任意恒成立， 不存在这样的定点，故A错误； 由点到直线的距离公式，点到直线距离， 距离恒为定值1，故B正确； 设，圆心，两点间距， 点到圆切线距离的最大值为，故C正确； 不在直线系M中的点到的距离小于1，在圆内部， 圆面积，故D正确． 12．34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 13． 2 （答案不唯一，满足即可） 【分析】由图可知，即可得；根据图象可知函数的对称轴为，结合图象平行求函数的图象的对称轴方程. 【详解】设函数的最小正周期为， 则，即， 且，则，所以； 由图可知：为函数的对称轴， 结合函数的周期可知函数的对称轴为， 又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以函数的图象的对称轴方程为， 所以的图象的一条对称轴方程为. 14．（符合的值均可） 【分析】先讨论，、三种情况，结合通项公式、项的特点得出矛盾，再分、两种情况，结合前项和公式，分为偶数、为奇数求出的范围即可. 【详解】若，则等比数列为常数列，则无最小值，不符合题意； 若，则由，知，， 则数列为递减数列，则无最小值，不符合题意； 若，则， 若，则数列为， 故当为偶数时；当为奇数时，故有最小值，符合题意； 若，有时，， 因，则数列中的偶数项构成的数列为递增数列，则， 数列中的奇数项构成的数列为递减数列，则， 故无最小值，不符合题意； 若，有时，， 则数列中的偶数项构成的数列为递减数列，则， 数列中的奇数项构成的数列为递增数列，则， 故，故有最小值，符合题意； 综上可知，的取值范围为， 故答案为：（符合的值均可） 15．(1)3 (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的关系式，结合已知求出，再借助已知条件变形结合正弦定理求得边长； （2）把用与表达，代入化简得到，利用基本不等式确定的上界，进而推出的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. 因为，所以，又，所以. （2）因为，所以，因为， 所以. 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）取的中点，由等腰直角三角形及两平面垂直的性质建立空间直角坐标系；第（1）问求出平面的法向量，利用平面求； （2）利用两平面的法向量求锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取的中点为． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且． 又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面． 由，且三点共线，得； 又因为平面，所以． 因此、与过点且平行于的直线两两垂直． 以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向， 以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由，，，， 可得 因为在线段上，且，所以，且因此 于是 设平面的一个法向量为． 因为，，所以，． 取，则，，则． 因为平面，所以，即，解得． （2）由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取． 由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角为． 因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角， 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 17．(1) (2) 由（1）知椭圆方程为． 联立，解得或， 因为点在第一象限内，所以， 设直线的方程为． 由， 得， 设直线，的斜率分别为， 设，则，． 由， 得，， ． 即． 故直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【分析】（1）椭圆由短轴的端点、离心率求出，得到椭圆的方程； （2）要证与x轴围成等腰三角形，转化证明两直线斜率之和为0，设出直线，和椭圆联立，利用韦达定理代入化简分子等于0. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由离心率，得， 由短轴的一个端点为，得， 因为，所以，所以， 所以椭圆方程为． （2）略. 18．(1)； (2)； (3)分布列见解析，. 【分析】（1）先求出至少发生2次信号误差的概率和恰好发生2次信号误差的概率，再根据条件概率公式计算； （2）分别计算出某时段内被激活的干扰源为3个的概率、连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个的概率，然后根据独立事件概率的计算方法求出测试3个时段后停止测试的概率； （3）由的分布列可求得，进而可确定随机变量的取值及概率，列出分布列，即可求得期望. 【详解】（1）记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件， “该时段至少发生了2次信号误差”为事件， 由题知，，， ，    ， ，    故所求概率为． （2）每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为， 3个全被激活的概率为．    连续测试3个时段后停止测试有2种情况： ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为，    ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个， 第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量均不为3个， 概率为，    故所求概率为． （3）因为的分布列为， ，，，的所有可能取值为2，4，8. 所以，所以，    所以，，， 的所有可能取值为4，6，8，10，12，16．    ， ， ， ， ， ，    所以的分布列为 4 6 8 10 12 16 所以． 19．(1) (2)（i） （ii）由（i）知，，且，即. 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证． 设， 则．     则单调递增，而，则，即，， 即，即证毕． 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求得切线方程. （2）（i）先对原函数求导，将极值点问题转化为导函数零点问题，分离参数后通过研究新函数的单调性与值域确定参数范围； （ii）将待证不等式逐步等价转化，最终转化为极值点偏移问题，通过构造对称函数证明结论. 【详解】（1）当时，，，故切点为． ，故． 切线斜率为2，得切线方程：， 所以的图象在处的切线方程为． （2）（i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故．     当时，恒成立，故时； 当时，即为的一个极小值点．     又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值． 有三个极值点，即有两个变号零点，，即，解得．     （ii）略 【点睛】方法归纳： 1. 已知极值点个数求参数范围，可将问题转化为导函数零点个数问题，通过分离参数、研究辅助函数的单调性与值域求解. 2. 双变量不等式证明可通过等价转化，转化为极值点偏移问题，构造对称函数结合单调性证明. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $