2026-2027学年上学期高三开学模拟考试数学试卷（河南地区适用）

**基本信息** 2026-2027高三开学模拟数学试卷，覆盖函数、几何、概率等核心模块，解答题以立体几何证明、概率递推模型、导数应用为载体，诊断高三起点能力，衔接高考综合素养要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、导数定义等|基础概念辨析，落实数学抽象| |多选|3/18|函数性质、三角函数单调性、双曲线|多选项分层，考查逻辑推理| |填空|3/15|二项式系数、数列求和、充分条件|情境简洁，突出运算能力| |解答题|5/77|立体几何证明与线面角、解三角形、椭圆与抛物线综合、概率换球递推、导数单调性与不等式|综合应用，如概率递推模型（数学思维）、导数证明（逻辑推理），衔接高考命题趋势|

2026——2027高三开学模拟考试数学试卷 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若复数z满足，则    A. 5 B. 2 C. D. 1 3.已知向量，，若，则    A. B. C. D. 4.设是可导函数，且，则        A. 2 B. C. D. 5.已知曲线，从C上任意一点P向y轴作垂线为垂足，则的中点M所在曲线的方程为     A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动;动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动，B分别以，为起点同时开始运动，经过ts后，动点A，B的坐标分别为，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知函数在定义域内不存在零点，则实数a的取值范围为     A. B. C. D. 8.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是等腰直角三角形，斜边BC长为分别是的中点，，则球O的体积为     A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9.已知函数，则  A. 的极值点为 B. 的极大值为 C. 的最大值为 D. 只有1个零点 10.在下列区间中，函数单调递增的是     A. B. C. D. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于两点，O为坐标原点，则    A. 当C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线l的斜率为，且，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.的展开式中的系数为          数字作答 13.已知点在直线上，则数列的前30项的和为          . 14.若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是          . 四、解答题（共5小题，共77分） 15.（13分）如图，在三棱台中，平面ABC，是等腰直角三角形，且，G，E，F，D分别是，AB，AC，BC的中点.    证明：平面GEF； 求直线与平面ABC所成角的正切值. 16.（15分）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量，且 Ⅰ求角A的值； Ⅱ若，AD是BC边上的中线，，求的面积. 17.（15分）如图，已知椭圆：，抛物线：，点A是椭圆与抛物线的交点．过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点不同于 若，求抛物线的焦点坐标； 若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 18.（17分）有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同.现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作. 求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率; 求n次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率结果用含n的式子表示 求n次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率结果用含n的式子表示当n为多少时，概率取得最大值?最大值是多少? 19.（17分）已知函数 讨论函数的单调性； 若，设函数 求证：； 若恒成立，求实数m的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由，得，故； 由，即，可得， 故； 所以 故选：B 2.【答案】B  【解析】解：因为，所以， 所以，即 故选：B 3.【答案】B  【解析】解：， 因为，所以，解得 故选：B 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数的概念，属基础题. 根据导数的定义计算即可. 【解答】 解：， 故选 5.【答案】A  【解析】解：设，则， 因为，所以，所以 故选： 6.【答案】C  【解析】解：由三角函数的定义可知，，， 则， 因为2，其中， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为 故选： 7.【答案】C  【解析】解：当时，由，此时函数无零点； 当时，对任意的恒成立，函数在上单调递增， 且当时，，当时，，此时存在一个零点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 由可得，所以函数的单调减区间为，单调增区间为， 所以，因为函数不存在零点， 所以，可得，解得， 综上所述，当函数不存在零点时，实数a的取值范围为 故选： 8.【答案】A  【解析】解：如图所示，因为是等腰直角三角形，且斜边为BC，所以， 又因为分别是的中点，所以， 因为，所以， 又因为，且平面PAB，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以，所以为直角三角形， 由是等腰直角三角形，且斜边BC长为，可得， 因为，所以是边长为2的正三角形，其外接圆半径为， 设三棱锥的外接球的半径为R，则， 所以，所以球O的体积为 故选：    9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题重点考查利用导数研究函数的性质，属中档题. 【解答】 解：因为，且，所以当时，为增函数， 当时，为减函数，所以e为函数的极大值点， 为的极大值，且为的最大值，所以A不正确，BC正确; 因为，且当时，，当时，，所以D正确. 10.【答案】BC  【解析】解：令，则在，上单调递减； 对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选： 11.【答案】BD  【解析】解：如图， 若直线l的斜率为时，直线l的方程为， 联立双曲线，可得， ， 即直线与双曲线不相交，故A错误； 设，，， ， ， 又， ，故B正确； 设，其中， 则，即， ， ， ， ， ， ，故C错误； ，， ，， ， 直线l的斜率为，即，且过点， 直线l的方程为， 又，，， ，即， 又点B到直线l的距离， 点到直线l的距离，即， 点B与点关于直线l对称， ， ，故D正确. 故选： 12.【答案】  【解析】解：由的展开式通项为， 当时，，当时，， 所以含的项为， 故的系数为 故答案为： 13.【答案】  【解析】解：点在直线上， ， 由可知函数的最小正周期为4，其函数值是1，0，，0的循环， 则数列的前30项和：， 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：， 若“”是“”的充分不必要条件， 所以有 故答案为： 15.【答案】解：证明：如图，连接AD交EF于点H，连接GH， 因为分别是的中点，所以， 因为D是BC的中点，所以H为AD的中点，    又因为G是的中点，所以， 又平面平面GEF， 所以平面GEF； 因为平面ABC，平面ABC， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面ABC所成的角， 在等腰直角中，， 所以， 又，所以， 即直线与平面ABC所成角的正切值为  16.【答案】解：Ⅰ由，可得， 即有， 由，可得， 即有， 由，可得， 由，可得； Ⅱ由，可得， 即为， 化为，解得舍去， 则的面积为  17.【答案】解：当，则， 则抛物线的焦点坐标， 当直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意， 由题意可设直线l：，点， 将直线l的方程代入椭圆：得 ， 为线段AB的中点， 点M的纵坐标， 将直线l的方程代入抛物线：得 ， ，可得， 因此， 由，可得， 令， 当且仅当时取等号， 则， 即，得， 的最大值为  18.【答案】解：经过1次换球后，甲口袋中2白1黑，乙口袋中2黑1白，记“2次换球后，甲口袋中恰有3个白球”为事件A， 则 次换球后，记“甲口袋中恰有3个白球”的概率为，“甲口袋中恰有2白1黑”的概率为， “甲口袋中恰有1白2黑”的概率为，“甲口袋中恰有3个黑球”的概率为 由题意可知，，，，，   ， 所以， 则， 所以为等比数列，公比为， 由，得， 所以n次换球后，甲口袋中3个球颜色仍相同的概率为 次换球后，记“甲口袋中3个球编号分别为1，2，3”的概率为， 则，， 所以，， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以当时，取得最大值，最大值为  19.【答案】解：函数，定义域为， ， 当时，对，恒成立， 则在上单调递增， 当时，， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 证明：先证明，当且仅当时等号成立， 记， 当时，， 当，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由， 所以有，当且仅当时等号成立， 所以有， 当且仅当时等号成立； 若，函数， 当时，， 当时，， 综上所述，； 记， 即要求恒成立， 当时， ， 当且仅当时等号成立， 当时， ，， 记， ， 所以在上单调递减， ①当时，取， ， ， 由函数零点存在定理，存在唯一的，使得， 当时，， 此时在上单调递减， 则，不符合题意； ②当时，取， ， ， 由函数零点存在定理，存在唯一的，使得， 当时，， 此时在单调递增， 则，不符合题意. 综上所述，实数m的值为   学科网（北京）股份有限公司 $