第1章 直线与方程（单元分层自测·培优冲刺卷）数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二上册数学第1章直线与方程培优冲刺卷，适用于单元复习，覆盖直线倾斜角、距离、垂直平分线等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计提升学生运算能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|倾斜角计算、直线距离、垂直关系|结合倾斜角与斜率关系考查推理能力，多选题辨析直线性质强化数学思维| |填空题|3题/15分|直线垂直条件、夹角公式、方程解的问题|通过参数范围题提升符号意识，考查数学语言表达| |解答题|5题/77分|三角形中线/高方程、直线与坐标轴面积、光的折射应用|第19题以光的折射为情境，构建物理与数学模型，体现应用意识与创新思维，综合考查距离公式与斜率计算|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上册数学单元自测 第1章 直线与方程·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 4．若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 11．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线垂直，则__________. 13．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 14．已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 16．（15分） 设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 17．（15分） 已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 19．（17分） 如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上册数学单元自测 第一章 直线与方程·培优冲刺卷（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D C A C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为.（4分） （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为.（8分） （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为.（6分） （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得；（8分） 且，则，， 可得 ，（13分） 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或．（5分） （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为．（11分） （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意可设直线， 所以，所以， 即.（3分） （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴，（7分） ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴.（9分） （3）由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴．（10分） 过点作平行于轴的直线交轴于点，则． 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即，（14分） 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得． 所以，直线必过定点，该定点坐标为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意得该介质的折射率为． 由，得， 得， 所以该介质的折射率的取值范围为．（4分） （2）是定值，且定值为． 理由如下： 由题意得的倾斜角为，则的倾斜角为， 得． 设折射角为，则的倾斜角为，则． 因为甲介质的折射率为2，所以，得． 故 （9分） （3）①如图，设该光线与的交点为，与的交点为． 设关于的对称点为． 由得，即． 设关于的对称点为．（11分） 由得，即． 易得的倾斜角为，则，得， 由光的反射性质得． 因为，所以三点共线． 同理可得三点共线，得四点共线． 易得，所以该光线经过的路程长度为 ．（14分） ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为． 由①得直线平行于轴，则． 由，得，得， 所以乙介质的折射率为．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上册数学单元自测 第1章 直线与方程·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2．直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 4．若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 5．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 6．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 7．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 8．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【解析】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【解析】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 10．下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 11．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【解析】因为， 所以，解得. 13．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【解析】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或． 14．已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【解析】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为.（4分） （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为.（8分） （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为.（13分） 16．（15分） 设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为.（6分） （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得；（8分） 且，则，， 可得 ，（13分） 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为.（15分） 17．（15分） 已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或．（5分） （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为．（11分） （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线．（15分） 18．（17分） 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）由题意可设直线， 所以，所以， 即.（3分） （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴，（7分） ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴.（9分） （3）由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴．（10分） 过点作平行于轴的直线交轴于点，则． 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即，（14分） 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得． 所以，直线必过定点，该定点坐标为．（17分） 19．（17分） 如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 【解析】（1）由题意得该介质的折射率为． 由，得， 得， 所以该介质的折射率的取值范围为．（4分） （2）是定值，且定值为． 理由如下： 由题意得的倾斜角为，则的倾斜角为， 得． 设折射角为，则的倾斜角为，则． 因为甲介质的折射率为2，所以，得． 故 （9分） （3）①如图，设该光线与的交点为，与的交点为． 设关于的对称点为． 由得，即． 设关于的对称点为．（11分） 由得，即． 易得的倾斜角为，则，得， 由光的反射性质得． 因为，所以三点共线． 同理可得三点共线，得四点共线． 易得，所以该光线经过的路程长度为 ．（14分） ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为． 由①得直线平行于轴，则． 由，得，得， 所以乙介质的折射率为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上册数学单元自测 第1章 直线与方程·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 4．若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 11．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线垂直，则__________. 13．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 14．已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 16．（15分） 设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 17．（15分） 已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 19．（17分） 如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $