第1章 直线与方程 章末检测试卷(一)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 高中数学直线与方程单元卷，覆盖倾斜角、距离公式等核心知识，通过基础题到综合题的梯度设计，考查运算能力与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|倾斜角、垂直直线方程|基础概念辨析，如第1题斜率与倾斜角关系| |多项选择|3/18|直线位置关系、方程表示|能力辨析，如第9题直线方程适用范围| |填空|3/15|斜率几何意义、对称点|综合应用，如第13题等腰直角三角形顶点坐标| |解答|5/77|平行直线距离、折叠问题|创新应用，如第19题折叠后点到直线距离，体现几何直观与推理能力|

章末检测试卷(一) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.直线x＋y＝0的倾斜角为(　　) A.45° B.60° C.90° D.135° 答案　D 解析　因为直线的斜率为－1，所以tan α＝－1，即倾斜角为135°. 2.过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为(　　) A.2x－y＋2＝0 B.x＋2y＋2＝0 C.2x－y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 答案　C 解析　设该直线方程为2x－y＋m＝0， 由于点(0，－2)在该直线上， 则2×0＋2＋m＝0，即m＝－2， 即该直线方程为2x－y－2＝0. 3.P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　) A.(1，2) B.(2，1) C.(1，2)或(2，－1) D.(2，1)或(－1，2) 答案　C 解析　设P(x，5－3x)，则d＝，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1). 4.若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为(　　) A.－2 B.－ C D.2 答案　C 解析　由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合， 则kx＋b＝kx－2k＋b＋1，解得k＝，即直线的斜率为 5.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n等于(　　) A.0 B.1 C.－1 D.2 答案　A 解析　由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2. 由两条平行直线间的距离公式，得d＝， 解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0. 6.已知P(－1，2)，Q(2，4)，直线l：y＝kx＋3.若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k等于(　　) A或6 B C.0 D.0或 答案　D 解析　由题可知， 解得k＝0或 7.直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的角平分线所在直线的方程为(　　) A.2x－y－6＝0 B.x＋2y－3＝0 C.x＋2y＋3＝0 D.2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0 答案　B 解析　由直线4x＋3y－12＝0，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝3，即B(0，4)，A(3，0). 由图可知∠BAO为锐角， ∴∠BAO的角平分线所在的直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值. 设P(x，y)为∠BAO的角平分线所在的直线上的任意一点，则点P到OA的距离为|y|，到AB的距离为由角平分线的性质，得|y|＝，∴4x＋3y－12＝5y或4x＋3y－12＝－5y，即2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0.由于斜率为负值，故∠BAO的角平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0. 8.在平面直角坐标系中，点M(x1，y1)，N(x2，y2)间的折线距离d(M，N)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知A(a，b)，B(1，1)，记s＝a2＋b2＋2a＋4b，则(　　) A.若d(A，B)＝1，则A点轨迹是一个直角梯形 B.若d(A，B)＝1，则s有最小值8 C.若d(A，B)＝1，则s有最大值15 D.若d(A，B)≤1，则点A的轨迹所构成区域的面积为π 答案　C 解析　若d(A，B)＝1，由题意可知d(A，B)＝|a－1|＋|b－1|＝1，令x＝a－1，y＝b－1，则|x|＋|y|＝1，作出其图形如图， 对于A，易知，点A(a，b)的轨迹可由正方形|x|＋|y|＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故A错误； 对于B，s＝a2＋b2＋2a＋4b＝(x＋1)2＋(y＋1)2＋2(x＋1)＋4(y＋1)＝x2＋y2＋4x＋6y＋8 ＝(x＋2)2＋(y＋3)2－5， 结合图象可得的最小值即为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0(即点(0，－1))的距离，＝2，此时s取得最小值3，故B错误； 对于C，的最大值即为点(－2，－3)到点(1，0)，(0，1)的距离中的最大值， max{3，2}＝2，故s的最大值为15，故C正确； 对于D，若d(A，B)≤1，则|x|＋|y|≤1表示正方形及其内部区域，易知其面积为×2×2＝2，故D错误. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是(　　) A.直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线 B.l1与l2可能重合 C.l1⊥l2的充要条件是pk＝－1 D.若l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线 答案　BC 解析　对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x轴的交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，故B正确；对于C，l1⊥l2的充要条件是pk＝－1，故C正确；对于D，若l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0表示过点M的直线，但不包含l2，故D错误. 10.下列说法正确的是(　　) A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第四象限 B.直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) C.过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) D.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 答案　BC 解析　对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，得k<0，b>0，故点(k，b)在第二象限，所以A错误； 对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3，2)都满足方程，所以B正确； 对于C，由点斜式方程，可知过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确； 对于D，由斜截式方程得到斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误. 11.已知直线l1：x＋y＝0，l2：2x－3y－6＝0，则下列说法正确的是(　　) A.直线l1与l2相交于点 B.直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为 C.直线l2关于原点O对称的直线方程为2x－3y＋6＝0 D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x－2y＋6＝0 答案　AC 解析　由解得所以交点坐标为，所以A选项正确； 直线l2：2x－3y－6＝0与x轴的交点为(3，0)， 与y轴的交点为(0，－2)，直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×，所以B选项错误； 由上述分析可知， 直线l2关于原点O对称的直线过点(－3，0)，(0，2)， 所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y－2＝(x－0)，即2x－3y＋6＝0， 所以C选项正确； 点(3，0)关于直线x＋y＝0的对称点是(0，－3)， 点(0，－2)关于直线x＋y＝0的对称点是(2，0)， 所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为＝1，即3x－2y－6＝0，所以D选项错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值是　　　　.  答案　－ 解析　的几何意义是点P(x，y)与点Q(3，0)连线的斜率， 又点P(x，y)在线段AB上，由图知， 当点P与点B重合时，有最大值，又kBQ＝＝－，因此的最大值为－ 13.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A(0，4)，则点B的坐标为　　　　　　.  答案　(2，0)或(4，6) 解析　设点B的坐标为(x，y)，根据题意知 则 解得或 即点B的坐标为(2，0)或(4，6). 14.若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是　　　　　　　　. 答案　－11≤k≤－1且k≠－6 解析　因为两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，即两平行直线2x＋y－4＝0与2x＋y＋k＋2＝0的距离不大于，所以k＋2≠－4，且≤，求得－11≤k≤－1且k≠－6. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－ (1)求直线l的方程；(5分) (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.(8分) 解　(1)由直线方程的点斜式， 得y－5＝－(x＋2)， 整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0， 由点到直线的距离公式得＝3，即＝3， 解得C＝1或C＝－29， 故所求直线方程为 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16.(15分)菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4，7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1). (1)求BC，AD边所在直线的方程；(7分) (2)求对角线BD所在直线的方程.(8分) 解　(1)kBC＝kPC＝＝2， 所以直线BC的方程为y＋5＝2(x－6)，即2x－y－17＝0. 因为AD∥BC，所以kAD＝kBC＝2， 所以直线AD的方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0. (2)kAC＝＝－，因为AC⊥BD， 所以kAC·kBD＝－1，即kBD＝， AC的中点坐标为＝(1，1)，对角线BD过点(1，1)， 所以对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0. 17.(15分)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；(7分) (2)过点M(－1，－2)作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程.(8分) (1)证明　因为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，所以由题意得解得 所以直线l恒过定点(－1，－2). (2)解　设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A，B两点， 则A，B(0，k－2)，因为AB的中点为M，所以解得k＝－2， 所以所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0. 18.(17分)如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B的坐标为(2，－1)， C，D均在第一象限. (1)求直线CD的方程；(8分) (2)若BC＝，求点D的横坐标.(9分) 解　(1)由题意，得kAB＝kCD＝－，所以设直线CD的方程为y＝－x＋m，即x＋2y－2m＝0，因为S▱ABCD＝8，AB＝，所以，所以m＝±4，由题图可知m>0，所以m＝4，所以直线CD的方程为x＋2y－8＝0. (2)设D(a，b)，若BC＝，则AD＝，所以解得a＝或2，所以点D的横坐标为或2. 19.(17分)如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，设直线l与OA，AB的交点分别为M，N，将△AMN沿直线l折叠后，使A落在边OB上的点A'处. (1)设OA'＝m，试用m表示点N到OB的距离；(9分) (2)求点N到OB距离的最大值.(8分) 解　(1)以O为原点，边OA，OB所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为OA'＝m，则A'(0，m)(0≤m≤1)，又因为A(1，0)， 所以kAA'＝＝－m， 因为点A与点A'重合，所以AA'⊥MN，当m＝0时，直线MN的斜率不存在，此时直线MN的方程为x＝，点N到OB的距离为； 当m≠0时，kMN＝， 因为AA'的中点坐标为，从而直线l的方程为y－， 即y＝x＋m－， ① 又直线AB的方程为y＝－2x＋2， ② 由①②解得x＝，当m＝0时也满足上式，综上，点N到OB的距离为(0≤m≤1). (2)令t＝2m＋1，则m＝(t－1)(1≤t≤3)， 所以点N到OB的距离为， 由于t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝时，等号成立， 所以当m＝时，点N到OB距离最大，最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $