3.3幂函数同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 幂函数同步练习通过基础题（单选、填空）、提升题（多选）、综合题（简答）的三级分层，实现从概念辨析到性质应用再到综合证明的知识巩固路径，适配新授课“基础+适度提升”需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|幂函数定义、图像识别、解析式求解|以单选（如第1题定义辨析）、填空（如12题图像特征）为主，强化抽象能力与几何直观| |提升层|奇偶性与单调性综合判断、定义域确定|通过多选（如11题单调性与幂函数判定）深化性质理解，培养推理意识| |综合层|解析式推导及单调性证明|以简答（15题单调性定义证明）实现知识综合应用，发展数学思维与表达能力|

3.3幂函数同步练习 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 巩固练习 1、 单项选择题 1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 2.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ） A． B． C． D． 3.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4.下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5.已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 6.已知幂函数在上是减函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 7.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8.幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 2、 多项选择题 9. 在下列函数中，是幂函数的是（   ） A. B. C. D. 10.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 11.下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12.已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________. 13.函数的定义域为_______． 14.幂函数的图象不过原点，则m的值是 . 4、 简答题 15.已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式，并指明函数的定义域； (2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3幂函数同步练习答案含解析 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 巩固练习 1、 单项选择题 1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 答案：B　　解析[∵y＝＝x－2，∴是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B 2.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 所以相应曲线的依次为. 故选：A 3.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出. 【详解】设，由，得， ，则. 故选：D 4.下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确； 对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误； 对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误； 对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误； 故选：A. 5.已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设幂函数,将代入，求得 ，即得答案. 【详解】设幂函数，由于的图象过点， 故， 即， 故选：A 6.已知幂函数在上是减函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 【答案】B 【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的条件. 【详解】因为函数是幂函数，则， 所以或. 当时，在上是增函数，不合题意. 当时在上是减函数，成立. 故选：B. 7.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 8.幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 【答案】B 【分析】由题得，且是奇数，且是整数，根据条件求出的值即可． 【详解】由于幂函数是奇函数，且在是减函数， 故，且是奇数，且是整数， ，， 当时，，是奇数，； 当时，，不是奇数； 当时，，是奇数； 故或2． 故答选：B 2、 多项选择题 9. 在下列函数中，是幂函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】AC 【详解】幂函数是形如（，为常数）的函数，A是的情形，C是的情形，所以AC都是幂函数；B中的系数是2，所以不是幂函数；D是常函数，不是幂函数. 故选：AC. 10.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项. 【详解】解：设幂函数，则，解得，所以， 所以的定义域为，在上单调递增，故A正确， 因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误， 当时，，故C正确， 当时，， 又，所以，D正确． 故选：ACD. 11.下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误； 对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误； 对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确； 对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确， 故选：CD. 3、 填空题 12.已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________. 【答案】 【详解】由已知函数为幂函数， 得，解得或， 当时，，定义域为，函数图像不经过原点， 当时，，定义域为，且，函数图像经过原点， 综上所述：， 故答案为：. 13.函数的定义域为_______． 【答案】 【详解】，所以，. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 14.幂函数的图象不过原点，则m的值是 . 【答案】 【分析】由幂函数的系数为1，列方程解出，并根据图象不过原点检验，得出答案. 【详解】由题意可得，即 解得或， 当时，幂函数的图象过原点，舍去； 当时，幂函数定义域为，图象不过原点，成立. 故答案为：. 4、 简答题 15.已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式，并指明函数的定义域； (2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）设，则，， 则， 的定义域是； （2）由（1）知，任取，则 ， ，，，， ，即， 在上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $