3.2.2 第2课时 奇偶性的应用 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性应用，以“基础定义应用—奇偶性与单调性综合—复杂情境迁移”为路径，分层设计梯度清晰，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性求解析式|教材变式题（如1题）直接应用定义，选择题强化符号推理| |中档层|奇偶性与单调性综合|结合图象（如5题）、抽象函数（如6题），培养几何直观与逻辑推理| |提升层|综合应用与迁移|解答题（如8、15题）含单调性证明、不等式求解，发展数学建模与创新意识|

第2课时　奇偶性的应用 考点一　利用奇偶性求函数解析式 1.[教材P86第11题变式] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x2+2x B.-x2+2x C.-x2-2x D.x2-2x 2.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-x-1,则当x<0时, (　 ) A.f(x)=x2+x-1 B.f(x)=x2-x-1 C.f(x)=x2+x+1 D.f(x)=x2-x+1 3.设f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,且f(x)-g(x)=x2-x,则f(x)的解析式是　　　　.  考点二　函数的奇偶性与单调性 4.下列函数中既是奇函数,又在定义域内为增函数的是 (　 ) A.f(x)= B.g(x)=x3+x C.h(x)=|x| D.φ(x)= 5.设f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 (　 ) A.[-5,-2] B.(0,2) C.[-5,-2)∪(2,5] D.[-2,0)∪(2,5] 6.[2026·连云港高一期中] 已知函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,且f(x+2)是偶函数,则f(π),f(3),f()的大小关系为 (　 ) A.f(π)<f(3)<f() B.f()<f(π)<f(3) C.f()<f(3)<f(π) D.f(3)<f(π)<f() 7.已知函数f(x)=x3+ax+5在[-3,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m= (　 ) A.0 B.5 C.10 D.20 8.已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=. (1)用定义证明f(x)在(-1,1)上单调递增; (2)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 9.[2026·邢台质检联盟高一期中] 函数f(x)=的大致图象是 (　 ) A B C D 10.[2026·茂名高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则f(x)在R上的解析式是 (　 ) A.f(x)=x(1-|x|) B.f(x)=-x(1-|x|) C.f(x)=x(|x|-1) D.f(x)=-x(1+|x|) 11.[2026·云南师大附中高一月考] 已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且在[-2,0]上单调递增,则不等式f(1+x)<f(2x-1)的解集是 (　 ) A.[0,1] B.[0,+∞) C.(-∞,1] D.(0,1] 12.(多选题)已知函数f(x)=2-|x|,g(x)=x2,设函数L(x)=则下列说法正确的是 (　 ) A.L(x)是偶函数 B.函数L(x)的图象与x轴有2个交点 C.L(x)在区间(-1,0)上单调递减 D.L(x)有最大值,没有最小值 13.[2026·安徽六安二中高一期中] 已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x≤0时,f(x)=-x2-2x+m,则函数f(x)的单调递减区间为　　　　.  14.已知函数f(x)=x3+3x,若a>0,b>0,且f(a)+f(2b-3)=f(0),则+的最小值是　　　　.  15.已知函数f(x)为R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=. (1)当x<0时,求f(x)的解析式; (2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并依据单调性的定义证明; (3)若a+b=1,且a<b,试比较f(a)与f(b)的大小,并说明理由. 16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,恒有>-1.若f(1)=1,则不等式f(x)<2-x2的解集为(　 ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 17.函数f(x)=的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到.函数f(x)=的图象的对称中心是　　　　,则f(-10)+f(-9)+f(-8)+…+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(2)+f(3)+…+f(11)+f(12)=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　奇偶性的应用 1.C　[解析] 当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.故选C. 2.A　[解析] 当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+x-1=x2+x-1,又函数f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(-x)=f(x),故当x<0时,f(x)=x2+x-1.故选A. 3.f(x)=-x　[解析] 因为f(x)-g(x)=x2-x①,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=x2+x②.由①②得f(x)=-x. [规律方法] 利用函数奇偶性求解析式的方法: (1)“求谁设谁”,即求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上设x; (2)把-x代入已知区间的解析式; (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 4.B　[解析] 对于A选项,f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-=-f(x),则函数f(x)为奇函数,而函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故A选项错误;对于B选项,g(x)=x3+x的定义域为R,g(-x)=-x3-x=-g(x),则函数g(x)为奇函数,又y=x3,y=x均为增函数,所以函数g(x)在R上单调递增,故B选项正确;对于C,h(x)=|x|的定义域为R,h(-x)=|x|=h(x),则函数h(x)为偶函数,故C选项错误;对于D选项,φ(x)=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,则函数φ(x)为非奇非偶函数,故D选项错误.故选B. 5.C　[解析] 由题图知,在[0,5]上f(x)<0的解集为(2,5],因为f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,所以在[-5,0)上f(x)<0的解集为[-5,-2),所以不等式f(x)<0的解集为[-5,-2)∪(2,5]. 6.C　[解析] 因为函数f(x+2)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,所以函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增.因为2<4-<3<π,所以f()<f(3)<f(π).故选C. 7.C　[解析] 设g(x)=x3+ax,x∈[-3,3],则f(x)=g(x)+5,易知函数g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=g(x)max+5+g(x)min+5=10.故选C. 8.解:(1)证明:∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=-==, 因为-1<x1<x2<1, 所以x1-x2<0,1-x1x2>0,(1+)(1+)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. (2)由函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(t-1)+f(t)<0,得f(t-1)<-f(t)=f(-t). 由(1)可知,函数f(x)在(-1,1)上是增函数, 所以解得0<t<, 所以不等式f(t-1)+f(t)<0的解集是. 9.D　[解析] f(x)的定义域为R,排除B;因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;当x∈(0,1)时,x3<x,所以f(x)<0,排除C.故选D. 10.A　[解析] ∵当x≥0时,f(x)=x(1-x),∴当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x(1+x),∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x(1+x),即f(x)=x(1+x).当x≥0时,|x|=x,则f(x)=x(1-|x|);当x<0时,|x|=-x,则f(x)=x(1+x)=x[1-(-x)]=x(1-|x|).综上,f(x)在R上的解析式是f(x)=x(1-|x|).故选A. 11.D　[解析] 因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[0,2]上单调递减.因为f(1+x)<f(2x-1),所以f(|1+x|)<f(|2x-1|),所以解得0<x≤1,故不等式f(1+x)<f(2x-1)的解集是(0,1].故选D. 12.ACD　[解析] 在同一直角坐标系中,画出函数f(x)=2-|x|,g(x)=x2的图象,由f(x)=g(x)即2-|x|=x2,可得|x|2+|x|-2=0,解得x=±1,从而得函数L(x)=的图象如图中实线部分所示.对于A,函数L(x)的图象关于y轴对称,所以L(x)是偶函数,故A正确;对于B,由函数L(x)的图象知,函数L(x)的图象与x轴有3个交点,交点的横坐标分别为-2,0,2,故B错误;对于C,由函数L(x)的图象得L(x)在区间(-1,0)上单调递减,故C正确;对于D,由函数L(x)的图象得L(x)有最大值,没有最小值,故D正确.故选ACD. 13.[-1,1]　[解析] 由函数f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,又当x≤0时,f(x)=-x2-2x+m,所以f(0)=m=0,则当x≤0时,f(x)=-x2-2x,易知函数f(x)=-x2-2x在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0]上单调递减,所以f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间为[-1,1]. 14.8　[解析] f(x)=x3+3x的定义域为R,因为f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x3+3x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,又f(0)=0,所以由f(a)+f(2b-3)=f(0)可得f(a)+f(2b-3)=0,即f(a)=-f(2b-3)=f(3-2b),又y=x3,y=x在R上均单调递增,所以f(x)在R上单调递增,所以a=3-2b,即a+2b=3,则+=(a+2b)=≥=8,当且仅当=,即a=,b=时取等号,所以+的最小值是8. 15.解:(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=, 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=,所以当x<0时,f(x)=. (2)f(x)在[0,+∞)上单调递减. 证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,f(x2)-f(x1)=-==, 因为0≤x1<x2,所以x1-x2<0,1+x1>0,1+x2>0,所以<0, 因此f(x1)>f(x2),所以f(x)在[0,+∞)上单调递减. (3)f(a)>f(b).理由如下: 因为a+b=1,a<b,所以a<1-a,1-b<b,解得a<,b>. ①当0≤a<时,a,b∈[0,+∞)且a<b,f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(a)>f(b); ②当a<0时,-a,b∈(0,+∞)且-a<b,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(-a)>f(b), 因为f(x)为偶函数,所以f(a)=f(-a)>f(b). 综上,f(a)>f(b). 16.D　[解析] 不妨设0≤x1<x2,所以<,则>-1,即f(x1)-f(x2)<-,所以f(x1)+<+f(x2),令g(x)=f(x)+x2,则g(x1)<g(x2),所以g(x)=f(x)+x2在[0,+∞)上单调递增.又f(x)是偶函数,所以g(-x)=f(-x)+x2=f(x)+x2=g(x),则g(x)=f(x)+x2也是偶函数,其在(-∞,0]上单调递减,因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)+12=2.f(x)<2-x2,即f(x)+x2<2,即g(x)<g(1),所以|x|<1,解得x∈(-1,1).故选D. 17.(1,2)　44　[解析] 因为函数f(x)==2+,所以函数f(x)的图象可由反比例函数y=的图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,因为函数y=为奇函数,其图象的对称中心为原点,故函数f(x)=的图象的对称中心为(1,2),故f(x)+f(2-x)=4.记S=f(-10)+f(-9)+f(-8)+…+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(2)+f(3)+…+f(11)+f(12),则2S=[f(-10)+f(12)]+[f(-9)+f(11)]+[f(-8)+f(10)]+…+[f(0)+f(2)]+[f(2)+f(0)]+…+[f(10)+f(-8)]+[f(11)+f(-9)]+[f(12)+f(-10)]=4×22,故S=2×22=44. 学科网（北京）股份有限公司 $