2.2 平方根与立方根 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以平方根与立方根概念为核心，通过概念辨析、性质应用、估算推理及实际问题，系统构建从定义到应用的知识逻辑，提炼夹逼法、性质迁移等解题方法，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1,6|定义辨析法、平方根与立方根性质对比|从算术平方根到平方根、立方根，概念逐步扩展，明确非负性与唯一性差异| |性质应用|2,7,12|非负性综合应用、平方根互为相反数性质|利用平方根性质求参数，结合立方根定义解决综合问题，强化概念间联系| |估算与规律|3,4,5,15|夹逼法估算、数字规律归纳|通过无理数整数部分估算、数列规律探索，培养推理意识与抽象能力| |实际应用|9,10,17,19|体积公式应用、几何拼图验证|结合几何体体积、图形面积探究，体现数学与现实世界的联系，发展应用意识|

2.2 平方根与立方根 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．的算术平方根为（     ） A． B．8 C． D．4 2．已知实数，满足，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 4．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 7．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 8．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 9．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ） A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 10．如示意图，小宇利用两个面积为的正方形拼成了一个面积为的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（    ） A．利用两个边长为的正方形感知的大小 B．利用四个直角边为的等腰直角三角形感知的大小 C．利用四个直角边分别为和的直角三角形以及一个边长为的正方形感知的大小 D．利用一个边长为的正方形以及一个直角边为的等腰直角三角形感知的大小 二、填空题 11．一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是_______． 12．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 13．若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为__________． 14．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 15．有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 三、解答题 16．求的值： (1)； (2)； (3)． 17．如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取．结果保留小数点后两位．） 18．已知为的整数部分，的立方根为，一个数的平方根分别为和 (1)求，，的值． (2)求的算术平方根． 19．某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 20．探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B A B A D D D 1．【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】若正数满足，则为的算术平方根． 【详解】解：且， 的算术平方根为． 2．【答案】C 【知识点】绝对值非负性、两个有理数的乘法运算、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质求出，的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 3．【答案】A 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 即 ， ， 即 ， 因此 的值在1到2之间． 4．【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 5．【答案】A 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、数字类规律探索 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键； 根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是，进而求解. 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， ……， 所以第n个数是， 所以第6个数为； 故选：A. 6．【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，根据定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：A选项： 3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是 B说法错误； C选项： 的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 7．【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根概念理解 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 8．【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 9．【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体、立方根的实际应用 【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm． 【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3， ∴小立方体的棱长， 由三视图可知，最高处有四个小立方体， ∴该几何体的最大高度是4×6=24cm， 故选D． 【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长． 10．【答案】D 【知识点】算术平方根的实际应用、勾股定理与无理数 【分析】根据拼图前后面积相等的原则，分别计算各选项中图形的总面积与目标正方形面积，同时结合勾股定理的几何意义（即两个小正方形面积之和等于大正方形面积），判断是否能通过常规拼接实现． 【详解】解：A、 两个边长为的正方形面积和为，目标正方形面积为，且满足，能实现； B、四个直角边为的等腰直角三角形面积和为，目标正方形面积为，且满足，能实现； C、 四个直角边分别为和的直角三角形及一个边长为的正方形面积和为，目标正方形面积为，且满足，能实现； D、一个边长为的正方形及一个直角边为的等腰直角三角形面积和为，目标正方形面积为．虽然面积相等，但不能表示为两个有理数的平方和，无法利用“两个正方形拼接”或“勾股定理”的常规方法（从有理数边长出发）拼成边长为的正方形，不能实现． 11．【答案】1或0 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查算术平方根，立方根，根据算术平方根和立方根的性质，进行求解即可． 【详解】解：算术平方根等于本身的数有，立方根等于本身的有 ∴的算术平方根等于它的立方根， 故答案为：1或0． 12．【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查科学计算器进行实数的运算，先开立方，开平方，再进行减法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 14．【答案】 【知识点】实数的分类、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 15．【答案】6 【知识点】无理数、有理数的定义、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】由再结合其他数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，，可确定前1000项中的有理数． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵且为正整数，，， ∴前1000个数中是有理数的有，，，，，共6个，其余的数都是无理数． 16．【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 17．【答案】摆动一个来回所用的时间是秒． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】把代入代数式计算即可． 【详解】解：当时，， ， 答：摆动一个来回所用的时间是秒． 18．【答案】(1)，， (2)2 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算、平方根概念理解 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的估算，平方根的定义，立方根的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）先根据无理数的估算方法得到，据此可得a的值；一个正数的两个平方根互为相反数，据此列式可求出b的值；根据立方根的定义即可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的整数部分， ∴； ∵一个数的平方根分别为，， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴； （2）解：由（1）知：，，， ∴， ∴的算术平方根为． 19．【答案】待建的三面墙的总长度是． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 20．【答案】(1)，； (2)10倍； (3)①，②32400； (4) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案 （4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：a扩大100倍，扩大10倍． 故答案为：10倍； （3）解：①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）解：∵，， ∴， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $