2.2 平方根与立方根 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 该练习通过基础概念辨析、中档运算应用、提升综合探究的三层设计，构建从单一知识点到实际问题解决的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|算术平方根、立方根定义|单选1直接考查49的算术平方根，强化概念理解| |中档|估算、解方程、简单规律|填空15通过表格数据探索立方根小数点移动规律，提升推理意识| |提升|综合应用与探究|解答20结合规律探索与拓展延伸，培养创新意识；解答18以贺卡信封情境考查无理数估算，体现数学语言表达现实世界|

2.2 平方根与立方根 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 2．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 3．春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 4．已知，则（     ） A．5 B．4 C．2 D． 5．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 7．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 8．下列结论错误的是（   ） A．有立方根 B．1的平方根是 C． D． 9．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．49 B． C． D．4 10．如示意图，小宇利用两个面积为的正方形拼成了一个面积为的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（    ） A．利用两个边长为的正方形感知的大小 B．利用四个直角边为的等腰直角三角形感知的大小 C．利用四个直角边分别为和的直角三角形以及一个边长为的正方形感知的大小 D．利用一个边长为的正方形以及一个直角边为的等腰直角三角形感知的大小 二、填空题 11．立方根等于的实数是________． 12．利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为___________． 13．若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______． 14．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 15．观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 三、解答题 16．求的值： (1)； (2)； (3)． 17．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 18．为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国的责任心和使命感，市教育局举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．各学校积极响应组织开展手工绘制精美贺卡活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 19．某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 20．数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A C C B D A D 1．【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【详解】解：∵， ∴ 49的算术平方根是． 2．【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 3．【答案】D 【知识点】立方根的实际应用 【分析】先根据正方体体积公式计算原体积，再求出体积增大后的新体积，最后根据正方体体积与棱长的关系计算新棱长即可． 【详解】解：∵原正方体的棱长为3， ∴原正方体的体积为， ∵新体积增大为原来的2倍， ∴新正方体的体积为， 设新正方体的棱长为，由正方体体积公式得， ∴． 4．【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴，， 解得，， ∴． 5．【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴． 6．【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数估值，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 8．【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查立方根与平方根的概念，根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐一判断选项即可找出错误结论． 【详解】解：∵ 任何实数都有立方根，∴ 有立方根，A结论正确，不符合题意． ∵ ，∴ 的平方根是，B结论正确． ∵ ，∴ C结论正确． ∵ 表示的算术平方根，结果为非负数，∴ ，D结论错误． 9．【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质列方程求出的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵该正数的两个平方根为和， ，解得． 将代入得其中一个平方根为， 这个正数为． 10．【答案】D 【知识点】算术平方根的实际应用、勾股定理与无理数 【分析】根据拼图前后面积相等的原则，分别计算各选项中图形的总面积与目标正方形面积，同时结合勾股定理的几何意义（即两个小正方形面积之和等于大正方形面积），判断是否能通过常规拼接实现． 【详解】解：A、 两个边长为的正方形面积和为，目标正方形面积为，且满足，能实现； B、四个直角边为的等腰直角三角形面积和为，目标正方形面积为，且满足，能实现； C、 四个直角边分别为和的直角三角形及一个边长为的正方形面积和为，目标正方形面积为，且满足，能实现； D、一个边长为的正方形及一个直角边为的等腰直角三角形面积和为，目标正方形面积为．虽然面积相等，但不能表示为两个有理数的平方和，无法利用“两个正方形拼接”或“勾股定理”的常规方法（从有理数边长出发）拼成边长为的正方形，不能实现． 11．【答案】 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 12．【答案】4 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查的是计算器的使用，求一个数的立方根，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根 【分析】根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】是的算术平方根， ， 是的立方根， ， 将代入得： ． 14．【答案】 【知识点】实数的分类、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 15．【答案】2.872 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：， ． 16．【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 17．【答案】(1)，， (2)3 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算、求一个数的立方根、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算等知识； （1）根据算术平方根，立方根的定义，求得和的值，再根据可求得的值； （2）根据（1）的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∵， ∴ ∵是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解： 由（1）知，，， 所以， 那么9的算术平方根是3， 即的算术平方根是3． 18．【答案】 解：面积为的正方形贺卡的边长是． 设长方形信封的长为，宽为， 由题意得：， ， 根据边长的实际意义得， 长方形信封宽为， ， ∴， ， 信封的宽大于正方形贺卡的边长， 即能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【知识点】无理数的大小估算、算术平方根的实际应用 【分析】先求出正方形贺卡的边长，设长方形信封的长为，宽为，根据长方形面积公式得到，求出，即长方形信封宽为，可知信封的宽大于正方形贺卡的边长，即能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【详解】略 19．【答案】待建的三面墙的总长度是． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 20．【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，； 拓展延伸：， 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根 【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解； （）应用迁移：根据表格规律即可求解； （）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可； 本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键． 【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，， 由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， 故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，， 故答案为：，； 拓展延伸：，， 故答案为：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $