第六单元 因数与倍数-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+十八大考点讲练+难度分层练 共56题】-2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理“因数与倍数”单元知识体系，将因数与倍数、2/5/3的倍数特征等7个知识点按逻辑递进排列，知识梳理部分用定义、方法、特征的框架呈现，直观展现概念间内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于18个高频考点的“典例精讲+变式训练”设计，如“用最大公因数解决长方形纸裁剪问题”，培养学生推理意识与应用意识。56题真题分基础通关和能力提升，满足不同层次学生需求，助力教师实施精准分层教学。

null2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第六单元 因数与倍数『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+18个考点讲练展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三 奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 4 知识点五 分解质因数 5 知识点六 最大公因数 5 知识点七 最小公倍数 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 7 高频考点三 根据因数的特征解决问题 7 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 8 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 9 高频考点六 倍数和因数的综合应用 10 高频考点七 2、5的倍数特征 11 高频考点八 奇数与偶数的认识 12 高频考点九 3的倍数特征 13 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 14 高频考点十一 质数与合数的认识 15 高频考点十二 质数与合数的综合应用 16 高频考点十三 质因数的含义 17 高频考点十四 分解质因数 18 高频考点十五 公因数与最大公因数 19 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 20 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 21 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 22 优选真题 实战演练 22 【基础通关】 22 【能力提升】 27 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六 最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七 最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是( )。 【答案】盈数 【思路引导】根据“亏数”的意义，找出36的所有因数（本身除外），再把这些因数相加，然后与36进行比较即可解答。 【规范解答】36除本身之外的所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18； 把它们相加得到和为1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55， 55比36大，符合“盈数”的定义，所以36是盈数。 【变式训练】（24-25五年级下·广东广州·期末）“71☐”是一个三位数，当口里填（    ）时，它既含有因数3，又是偶数。 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】需同时满足两个条件：一是为偶数，个位必须是偶数；二是含有因数3，即各个数位上的数字之和是3的倍数，按这两个条件筛选即可。 【规范解答】A．该数是偶数，因此个位只能是偶数，3是奇数，不符合题意； B．已知数位的和为7＋1＝8，当□里填4时，数位的和为8＋4＝12，12是3的倍数，符合要求； C．该数是偶数，因此个位只能是偶数，7是奇数，不符合题意； D．已知数位的和为7＋1＝8，当□里填8时，数位的和为8＋8＝16，16不是3的倍数，不符合要求。 因此，“71☐”是一个三位数，当□里填4时，它既含有因数3，又是偶数。 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州遵义·期末）小明爸爸今年a岁，a＝2×3×7，a的因数一共有（    ）个。 A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【思路引导】先算出a的具体数值，再列乘法算式找出它的所有因数，统计因数的总个数即可。 【规范解答】a＝2×3×7＝42 42＝1×42 42＝2×21 42＝3×14 42＝6×7 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，共8个。 【变式训练】（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）24节气是我国国家级非物质文化遗产，“24”的因数有（    ）。 A．6个 B．8个 C．10个 【答案】B 【思路引导】有序枚举24的所有因数，统计总个数即可得到结果。 【规范解答】1×24＝24 2×12＝24 3×8＝24 4×6＝24 所以，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。 高频考点三 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【答案】5 【思路引导】根据找一个数因数的方法，列举出48的因数，进而根据题意，找出不超过12个，不少于3的数，即每个瓶中玻璃球的数量，据此解答即可。 【规范解答】48的所有因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 每个瓶中玻璃球的数量不少于3个，不超过12个，所以每个瓶中玻璃球的数量可以是3个、4个、6个、8个、12个，五种。 即共有5种不同的方法。 【变式训练】（24-25五年级下·河南郑州·期末）105个同学参加团体体操表演。如果要求每排人数相等，且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？请把符合要求的情况写出来。 【答案】2种：每排21人，5排；每排15人，7排 【思路引导】先找出105的全部因数，按照要求筛选：找出因数里不小于10、不大于30的数，只有15和21两个，对应两种队列排法 【规范解答】105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15 因此105的因数有1、3、5、7、15、21、35、105。 答：符合要求的队列一共有2种，分别是：每排15人，共7排；每排21人，共5排。 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·福建龙岩·期末）关于9的倍数，下面说法错误的是（    ）。 A．36、45都是9的倍数 B．9的倍数有无数个 C．9的最小倍数是9 D．9是倍数 【答案】D 【思路引导】倍数是两个数之间相互依存的关系，不能单独说某一个数是倍数。 【规范解答】A．，，两个数都是9的倍数，说法正确。 B．自然数个数是无限的，用9分别乘1、2、3……能得到无数个9的倍数，说法正确。 C．一个数的最小倍数是它本身，9的最小倍数是9，说法正确。 D．只能表述为9是某个数的倍数，不能单独说9是倍数，说法错误。 【变式训练】（24-25五年级下·河北保定·期末）强强学习了2，3，5的倍数特征之后，对数的特征产生了深厚的兴趣，通过查阅资料，了解到7的倍数的特征：若一个数去掉最后一位后所得的数减去其末位数字的2倍，结果为7的倍数，那么原数就是7的倍数。 例如：判断161是否是7的倍数：，14是7的倍数，所以161是7的倍数。687是7的倍数吗？请你试着用上述方法判断，并将用到的算式写下来。 【答案】去掉687的末位数字7，剩余部分为68，68－7×2＝54，54不是7的倍数，所以687不是7的倍数。 【思路引导】根据题中给出的7的倍数的判断方法，计算去掉末位后的数与末位数字2倍的差，通过差是否为7的倍数判断原数是否为7的倍数。 【规范解答】68－7×2 ＝68－14 ＝54 答：因为54不是7的倍数，所以687不是7的倍数。 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】笑笑行李箱上密码锁的密码是45，这个数是3的倍数。她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。先把密码45□中已知的数字4和5相加，判断方框里填哪些数字时，三个数位上的数字之和是3的倍数，最后数出符合条件的数字个数即可。 【规范解答】4＋5＝9 方框里填0、3、6、9时，三个数位上的数字之和分别是9、12、15、18，都是3的倍数，所以共有4种可能。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）有A、B、C三个数（A＞B＞C），如果数A除以7，余数是3；数B除以7，余数也是3；数C除以7，余数是4。 甲认为：A与B的差一定是7的倍数； 乙认为：A与C的和一定是7的倍数。 甲、乙两人的说法对吗？请作出判断，并说明你的理由。 【答案】甲、乙两人的说法都对。理由：令A、B、C分别为38、24、18，A－B＝14，14是7的倍数，所以A与B的差一定是7的倍数；A＋C＝56，56是7的倍数，所以A与C的和一定是7的倍数。 【思路引导】根据有余数除法中“被除数＝商×除数＋余数”的关系，令A、B、C为具体的数值，利用特殊值法分别计算差与和，判断是否为7的倍数。 【规范解答】令数A除以7的商为5，数B除以7的商为3；数C除以7的商为2。 A＝5×7＋3＝35＋3＝38 B＝3×7＋3＝21＋3＝24 C＝2×7＋4＝14＋4＝18 A－B＝38－24＝14 14÷7＝2，14是7的倍数，即A与B的差一定是7的倍数，甲说法正确； A＋C＝38＋18＝56 56÷7＝8，56是7的倍数，即A与C的和一定是7的倍数，乙说法正确。 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 9 54 【思路引导】根据题意，这个数需要同时满足两个条件：一是9的倍数，二是54的因数。解题思路是先分别列举出9的倍数和54的因数，然后找出这两个数列中公共的数，最后在这些公共数中确定最小值和最大值。 【规范解答】9的倍数：、、、、、 所以9的倍数有： 54的因数：、、、 所以54的因数有：。 找出既是9的倍数又是54的因数的数：。 最小的是，最大的是。 【变式训练】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【答案】 6种；找出乘积为48，且两个乘数都不小于3的整数组合即可 【思路引导】排长方形队形时，总人数等于每行人数乘行数，需要找出所有乘积为48、且两个数都不小于3的正整数组合，组合的数量就是排法的种数。 【规范解答】先列出乘积为48的所有正整数乘法算式： 要求每行和每列人数都至少是3人，即两个乘数都大于等于3，符合条件的算式共有6个。 答：共有6种不同的排法。 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河北保定·期末）“17□”是一个三位数，当□里填( )时，它既是2的倍数，也是3的倍数；当□里填( )时，它既含有因数5，又是偶数。 【答案】 4 0 【思路引导】根据、的倍数的特征，个位上的数是、、、、的数都是的倍数；一个数各个数位上的数的和是的倍数，这个数一定是的倍数。含有因数的数，个位上是或，又是偶数，个位只能是，据此解答。 【规范解答】 所以填时，既是的倍数，也是的倍数。 填时，既含有因数，又是偶数。 【变式训练】（25-26五年级下·新疆塔城·期末）在括号里填上合适的数。 (1)☐☐是5的倍数，并且两个数位上的数一样，☐里可以填( )。 (2)5☐20既是3的倍数，又有因数5，☐里最大填( )，最小填( )。 (3)要使64口既是3的倍数又是2的倍数，☐里最大应填( )。 (4)4☐0同时是2、3、5的倍数，☐里最小可以填( )。 【答案】(1)5 (2) 8 2 (3)8 (4)2 【思路引导】5的倍数特征：个位上是0或5的数。3的倍数特征：各位上数字的和是3的倍数。2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。同时是2和5的倍数特征：个位上是0的数。 解题时需根据具体数位要求，结合上述特征进行推导，找出符合所有条件的数字。 【规范解答】（1）两位数个位和十位数字相同，且是5的倍数。 5的倍数个位必须是0或5。 若个位是0，则十位也是0，不是两位数，舍去。 若个位是5，则十位也是5，数是55，符合要求。 所以☐里填5。 （2）5☐20 有因数5，个位是0，已满足条件。 要是3的倍数，各位数字之和必须是3的倍数。 数字之和为：。 在0到9中，使是3的倍数的数有：，☐填2；，☐填5；，☐填8。 所以最大填8，最小填2。 （3）64☐是2的倍数，个位必须是偶数（）。64☐是3的倍数，各位数字之和必须是3的倍数。 数字之和为：。 在0到9中，使是3的倍数的数有：，☐填2；，☐填5；，☐填8。 同时要满足是2的倍数，☐必须是偶数，所以☐可以是2或8。 最大应填8。 （4）4☐0同时是2、5的倍数，个位是0，已满足条件。 要是3的倍数，各位数字之和必须是3的倍数。 数字之和为：。在0到9中，使是3的倍数的数有：，☐填2；，☐填5；，☐填8。 所以最小可以填2。 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏无锡·期末）从0、2、3、4中选出三个数字组成三位数，其中最小的奇数是( )；既是2的倍数，又是5和3的倍数的数有( )个。 【答案】 203 2 【思路引导】因为奇数的个位必须是（1、3、5、7、9），给出的数字里只有3是奇数，所以先确定个位为3；如果要组成最小的三位数，那么百位要选除0和3外最小的数字2，十位再选剩余数字里最小的0。 因为同时是2和5的倍数的数个位必须是0，所以先确定个位为0；如果这个数还是3的倍数，那么百位和十位的数字之和需要是3的倍数，再从剩下的数字中找出满足和为3的倍数的组合，再对每组组合进行排列得到符合条件的三位数，统计总个数即可。 【规范解答】由分析得： 从0、2、3、4中选出三个数字组成三位数，其中最小的奇数是203； 同时是2和5的倍数，个位必须是0；还要满足是3的倍数，那么百位和十位的数字加起来得是3的倍数。从剩下的2、3、4里选两个相加，只有2＋4＝6是3的倍数，所以能组成的数是240、420，一共2个。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北荆州·期末）位于湖北省武汉的黄鹤楼，被称为“天下江山第一楼”。北京的小明一家准备坐火车到武汉旅游。购票时，小明发现从北京开往武汉的车次用奇数表示，从武汉开往北京的车次用偶数表示。下面车次中有( )个是开往武汉的。小明一家回北京的车次数恰好是3的倍数。下面符合要求的车次是( )。 ①G67   ②G77   ③G336   ④G891   ⑤G506   ⑥Z149 【答案】 4 ③G336 【思路引导】偶数：个位为0、2、4、6、8；奇数：个位为1、3、5、7、9的数为奇数。 一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是3的倍数。 由题意可知，从北京开往武汉的车次用奇数表示，找出编号为奇数的车次即可； 由题意可知，小明一家回北京的车次数恰好是3的倍数，从武汉开往北京的车次用偶数表示，所以先找到编号为偶数的车次，再看各位上的数的和是否为3的倍数，即可判断符合条件的车次。 【规范解答】个位为1、3、5、7、9的车次编号有：67、77、891、149，所以有4个车次是开往武汉的； 个位为0、2、4、6、8的车次编号有：336、506，3＋3＋6＝12，12是3的倍数，5＋0＋6＝11，11不是3的倍数，所以符合要求的车次是③G336。 高频考点九 3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江台州·期末）一个三位数□2□，如果它是2和5的倍数，这个数最小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是( )。 【答案】 120 720 【思路引导】因为同时是和的倍数的数个位必须是，所以先确定这个三位数的个位数字，如果要让三位数最小，那么百位最小是，结合已经确定的个位和已知的十位数字，即可得到对应数。 先结合和的倍数特征确定个位是，再根据的倍数特征：各位数字之和是的倍数，确定百位可填的最大数字，结合已知十位数字得到最大的数。 【规范解答】百位尽可能取最小非数字，百位填，个位为 一个三位数，如果它是和的倍数，这个数最小是。 同时是、、的倍数：个位是 的倍数：各位数字之和是的倍数。 ，不是的倍数 ，不是的倍数 ，是的倍数 所以百位是 如果它既是和的倍数，同时又是的倍数，这个数最大是 【变式训练】（24-25五年级下·河南周口·期末）8aa是一个三位数，已知它是3和5的倍数，那么a＝( )。 【答案】5 【思路引导】5的倍数特征：个位上是0或者5的数，是5的倍数。3的倍数特征：一个数各个数位上数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】三位数是8aa，个位为a，由5的倍数特征得a＝0或a＝5。 a＝0：8＋0＋0＝8，8不是3的倍数，不符合。 a＝5：8＋5＋5＝18，18是3的倍数，符合条件。 所以a＝5。 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 132 315 【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；根据题意要使组成的最小三位数既是2的倍数，又是3的倍数，百位是1，个位必须是2，三个数字之和要能被3整除；要使组成的最大三位数既是3的倍数，又是5的倍数，个位必须是5，三个数字之和要能被3整除，百位尽量选大数。据此解答。 【规范解答】百位是1，个位是2，此时可能组成的三位数是：132，152； 1＋2＋3＝6，6÷3＝2；所以132符合； 1＋2＋5＝8，8÷3＝2……2；所以152不符合； 因此，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是132。 个位是5，百位数字最大是3；此时可能组成的三位数是：315，325； 5＋3＋1＝9，9÷3＝3；所以315符合； 5＋3＋2＝10，10÷3＝3……1；所以325不符合； 因此，既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是315。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北武汉·期末）在5、9、1、6、0中选出3个不同数字组成一个数，且满足同时是2、3、5的倍数，则这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 960 150 【思路引导】2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；2、5的倍数特征：个位上是0的数。3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。这个三位数要最大，则百位上和十位上的数要尽量大，且各个数位上的数字之和应是3的倍数；相反这个三位数要最小，则百位上和十位上的数要尽量小（百位上的数不能为0），且各个数位上的数字之和应是3的倍数。据此找出合适的数。 【规范解答】据分析可知，这个数的个位是0 这个三位数要最大，百位上的数最大是9，十位上的数也应尽量大，且十位上的数与百位上的数、个位上的数相加应是3的倍数，，15是3的倍数，所以这个三位数最大是960。 这个三位数要最小，百位上的数0除外最小是1，十位上的数也应尽量小，且十位上的数与百位上的数、个位上的数相加应是3的倍数，，6是3的倍数，所以这个三位数最小是150。 高频考点十一 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）写出36的所有因数：( )。这些因数中，既是偶数又是质数的是( )，( )既不是质数又不是合数。 【答案】 1，2，3，4，6，9，12，18，36 2 1 【思路引导】求一个数的因数，就想哪两个非0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数）； 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；1既不是质数又不是合数。 【规范解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的所有因数为：1，2，3，4，6，9，12，18，36；这些因数中，既是偶数又是质数的是2，1既不是质数又不是合数。 【变式训练】（24-25五年级下·河南焦作·期末）哥德巴赫猜想中说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请你将30写成两个质数的和。 30＝( )＋( )    30＝( )＋( )    30＝( )＋( ) 【答案】 【思路引导】质数：只有1和它本身两个因数的数。从小到大列举小于30的质数，从中找出两组相加等于30的质数组合。 【规范解答】小于30的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 依次尝试相加可得： 7＋23＝30 11＋19＝30 13＋17＝30 高频考点十二 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南洛阳·期末）桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 【答案】轩轩 【思路引导】每盘饺子的数量相同，求饺子总数应能平均分成几盘，这个数应该是合数。29和41都是质数，不能平均分成几盘；32可以平均分成若干盘。 【规范解答】29只有1和29两个因数，不能平均分成几盘。 32可以平均分成4盘，每盘8个：4×8＝32。 41只有1和41两个因数，不能平均分成几盘。 所以数对饺子数量的是轩轩。 【变式训练】校园的花坛里种了几行花，每行的棵数都相等。下面是几个同学数出来的总棵数，正确的是（    ）棵。 A．37 B．43 C．51 D．67 【答案】C 【思路引导】总棵数＝行数×每行棵数，行数和每行棵数都大于1，因此总棵数必须是除了1和它本身外还有其他因数的合数，据此判断即可。 【规范解答】A．，37是质数，不符合要求； B．，43是质数，不符合要求； C．，51是合数，符合要求； D．，67是质数，不符合要求。 高频考点十三 质因数的含义 【典例精讲】（24-25五年级下·广西梧州·期末）下面各数中，分解质因数正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】分解质因数是将合数表示为多个质数相乘的形式，1既不是质数也不是合数，分解得到的乘数不能是合数。 【规范解答】A．8是合数，16＝2×8，不符合分解质因数要求，错误。 B．4是合数，20＝4×5，不符合分解质因数要求，错误。 C．5是质数，25＝5×5，符合分解质因数要求，正确。 D．1不是质数，51＝1×51，不符合分解质因数要求，错误。 【变式训练】（25-26五年级下·江苏扬州·期中）在学习了“等式”和“方程”后，两者之间的关系可以用下面的集合圈图来表示。下面知识点也可以用这样的集合圈图表示的有（    ）组。 ①奇数和偶数    ②因数和质因数    ③质数和合数    ④长方形和正方形 ⑤相交和垂直    ⑥等腰三角形和等边三角形    ⑦条形统计图和折线统计图 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】两个知识点是包含关系的可以用图中的集合圈表示。 ①整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 ②在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数。 ③除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 ④两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。 ⑤有唯一公共点的两条直线叫相交线。两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。 ⑥有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。 ⑦条形统计图用直条的长宽表示数据的大小。折线统计图用不同位置的点表示数量的多少，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。 【规范解答】①奇数和偶数是并列关系，不是包含关系，不可以用图中的集合圈表示； ②因数包含质因数，可以用图中的集合圈表示； ③质数和合数是并列关系，不是包含关系，不可以用图中的集合圈表示； ④正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，可以用图中的集合圈表示； ⑤垂直是相交的特殊情况，相交包含垂直，可以用图中的集合圈表示； ⑥等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形，可以用图中的集合圈表示； ⑦条形统计图和折线统计图是两种不同的统计图，不可以用图中的集合圈表示。 可以用图中集合圈表示的是②④⑤⑥，有4组。 高频考点十四 分解质因数 【典例精讲】在括号里填上合适的质数。 36＝( )＋( )＝( )＋( )    38＝( )＋( ) 45＝( )×( )×( ) 【答案】 7 29 17 19 7 31 3 3 5 【思路引导】质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。先列出较小质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31…，再进行组合；分解质因数就是把数写成若干质数相乘的形式。 【规范解答】36＝7＋29＝17＋19 38＝7＋31 45＝3×3×5 【变式训练】．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：，，即27是“史密斯数”：，，，而，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有( )。 【答案】4、22 【思路引导】根据“史密斯数”定义，逐个对数字分解质因数，分别算出原数各位数字之和、所有质因数各位数字之和，对比两者是否相等，相等即为史密斯数。 【规范解答】4分解质因数：4＝2×2 原数各位和：4，质因数各位和：2＋2＝4，4＝4，是史密斯数。 15分解质因数：15＝3×5 原数各位和：1＋5＝6，质因数各位和：3＋5＝8，6≠8，不是史密斯数。 22分解质因数：22＝2×11，原数各位和：2＋2＝4，质因数各位和：2＋1＋1＝3＋1＝4，4＝4，是史密斯数。 56分解质因数：56＝2×2×2×7，原数各位和：5＋6＝11，质因数各位和：2＋2＋2＋7＝4＋9＝13，11≠13，不是史密斯数。 高频考点十五 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·江西宜春·期末）已知A＝2×3×3×5，B＝2×3×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 30 630 【思路引导】把A、B分解质因数后，最大公因数取两个数全部共有的质因数相乘；最小公倍数用全部公有质因数，再乘各自独有的质因数。 【规范解答】最大公因数：2×3×5＝30 最小公倍数：2×3×5×3×7＝630 【变式训练】．（25-26五年级下·陕西商洛·期末）诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 【答案】 8 12 【思路引导】要用整块的正方形艺术砖铺满长方形墙面，正方形砖的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最大，即求长和宽的最大公因数。求出边长后，分别计算长和宽各能铺多少块，再相乘得到总块数。 【规范解答】32的因数：1、2、4、8、16、32； 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24； 32和24的最大公因数是8，所以正方形艺术砖的边长最大8分米。 （块） 所以这些正方形艺术砖的边长最大是8分米，一共需要12块这样的艺术砖。 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 【答案】6厘米；12个 【思路引导】要剪出同样大小且没有剩余的正方形，边长最长即是长方形长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以边长，得到两个方向的正方形数量，相乘得到总个数。 【规范解答】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数：2×3＝6（厘米） 24÷6＝4（个） 18÷6＝3（个） 4×3＝12（个） 答：剪出的正方形边长最长是6厘米，一共可以剪出12个正方形。 【变式训练】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 【答案】 42和30的最大公因数： （张） 所以，裁成的正方形边长最大是6厘米，一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 【思路引导】裁成同样大小且无剩余的正方形，最大边长是手工纸长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以最大边长，得到长、宽方向的正方形个数，相乘即为总张数。 【规范解答】 42和30的最大公因数： 即正方形边长最大是6厘米。 （张） 答：裁成的正方形边长最大是6厘米；一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西商洛·期末）周六上午9：00，阳阳和爸爸在公交车站等车，正好看到65路公交车和95路公交车同时从该车站发车。根据这两路公交车的发车信息（如图），下一次这两路公交车同时从该公交车站发车是几时几分？ 65路：每10分钟发一次车 95路：每8分钟发一次车 【答案】9时40分 【思路引导】两路公交车同时发车的间隔时间是10和8的最小公倍数，用分解质因数法求出最小公倍数，再把起始9：00加上这个间隔时间，即可求出下一次同时发车的时刻。 【规范解答】10＝2×5 8＝2×2×2 最小公倍数：2×2×2×5＝40 说明再过40分钟两路车再次同时发车。 9时00分＋40分＝9时40分 答：下一次这两路公交车同时从该公交车站发车是9时40分。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏常州·期末）一根铁丝，如果剪成12厘米长的一段，正好剪完，没有剩余；如果剪成15厘米长的一段，也正好剪完，没有剩余。这根铁丝最短是( )厘米。 【答案】60 【思路引导】铁丝剪成12厘米一段刚好剪完，说明铁丝长度是12的倍数；剪成15厘米一段也刚好剪完，说明铁丝长度也是15的倍数。求铁丝最短是多少，就是求12和15的最小公倍数。用分解质因数法求最小公倍数。 【规范解答】12＝2×2×3 15＝3×5 最小公倍数：2×2×3×5＝60 所以这根铁丝最短是60厘米。 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江台州·期末）每年6月5日是世界环境日，五（1）班同学手工制作了一些保护环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条；如果每组张贴6条，也会剩下2条，那么他们至少制作了( )条标语。 【答案】32 【思路引导】标语总数减去剩余的2条后，所得的数是5和6的公倍数，要找最少的标语总数，所以需要先求5和6的最小公倍数。用求出的最小公倍数加上剩余的2条，就能得到至少制作的标语数量。 【规范解答】和是互质数，最小公倍数是： （条） 【变式训练】（25-26五年级下·陕西商洛·期末）五年级部分学生分小组跳绳比赛，4人一组、5人一组或6人一组，都没有剩余。五年级参加跳绳比赛的学生至少有( )人。 【答案】60 【思路引导】参加跳绳比赛的学生人数能同时被4、5、6整除，也就是4、5、6的公倍数。求至少有多少人，就是求4、5、6的最小公倍数。 【规范解答】4＝2×2； 5是质数，不用分解； 6＝2×3； 最小公倍数＝2×2×3×5＝60。 参加跳绳比赛的学生至少有60人。 【基础通关】 1．（24-25五年级下·福建福州·期末）已知和是不同的质数，“a×b”的结果一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【思路引导】质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有别的因数，奇数不能被2整除，偶数能被2整除，互质数是公因数只有1的两个数。 【规范解答】质数的因数只有1和它本身，两个不同质数a、b的乘积的因数有1、a、b、a×b，至少有4个因数，符合合数的定义。 举例：取a＝2，b＝3，2×3＝6，6是偶数，排除A； 取a＝3，b＝5，3×5＝15，15是奇数，排除B； 乘积除1和自身外还有a、b两个因数，不是质数，排除C。 所以“a×b”的结果一定是合数。 2．（24-25五年级下·河南周口·期末）质数和合数是把非0自然数按照（    ）。 A．是不是2的倍数分类 B．因数的个数分类 C．两种分类方法都不是 【答案】B 【思路引导】不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数；质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，据此判断。 【规范解答】非0自然数按是不是2的倍数分类，分为奇数和偶数，因此A错误。而根据质数、合数的定义，质数只有2个因数，合数有3个及以上因数，1只有1个因数，既不是质数也不是合数，质数、合数的划分依据是因数的个数。因此B正确，C错误。 3．（24-25五年级下·陕西商洛·期末）龙舟文化源远流长，早在战国时期，龙舟竞渡就已出现，最初是为纪念爱国诗人屈原，后逐渐演变为盛大的水上竞技活动。如今，龙舟发展出多种规格，按照长短大体可以分为22人标准龙舟，12人小龙舟和传统龙舟。22人标准龙舟总长度为18.5米，型长15米，型宽11分米，型深53厘米。 (1)在12、22、15、11、53这五个数中，是奇数的有( )，是质数的有( )，既是奇数也是合数的有( )。 (2)在激烈的龙舟竞赛中，选手们划桨频次颇高，每分钟能达到N次，其中N为既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数，这个最小三位数是( )。 【答案】(1) 15、11、53 11、53 15 (2)120 【思路引导】（1）奇数是不能被2整除的数；质数是只有1和它本身两个因数的数；合数是除1和本身还有其他因数的数，既是奇数又是合数要同时满足两个条件。 （2）同时是2和5的倍数，个位一定是0；又要满足是3的倍数，各位数字之和是3的倍数，找符合条件的最小三位数。 【规范解答】（1）奇数：15、11、53； 质数：11、53； 既是奇数也是合数：15。 （2）个位为0的最小三位数从100开始试： 100：1＋0＋0＝1，不是3的倍数； 110：1＋1＋0＝2，不是3的倍数； 120：1＋2＋0＝3，是3的倍数。 所以这个最小三位数是120。 4．（24-25五年级下·陕西延安·期末）16的因数有( )，在这些因数中，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 1、2、4、8、16 4 1 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有1、2、4、8、16；合数有4、8、16，最小的合数是4；1既不是质数也不是合数。 5．（24-25五年级下·河南周口·期末）北京时间2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分后，神舟二十号飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第5次载人飞行任务，也是神舟飞船的第20次飞行。截至目前，我国已有26名航天员、41人次进入太空执行飞行任务。 上面画横线的数中，( )是质数，( )是合数；( )既是奇数又是合数，( )同时是2和5的倍数。 【答案】 17、5、41 2025、4、24、10、20、26 2025 10、20 【思路引导】质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。奇数：个位数字是1、3、5、7、9的数。2和5的倍数特征：个位数字是0的数。 【规范解答】在2025、4、24、17、10、5、20、26、41中： 2025：是奇数，是合数； 4：是合数； 24：是合数； 17：是奇数，是质数； 10：是合数，同时是2和5的倍数； 5：是奇数，是质数； 20：是合数，同时是2和5的倍数； 26：是合数； 41：是奇数，是质数。 所以，17、5、41是质数，2025、4、24、10、20、26是合数；2025既是奇数又是合数，10、20同时是2和5的倍数。 6．（24-25五年级下·甘肃武威·期末）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8      45和27      24和48 【答案】7和8的最大公因数是，最小公倍数是； 45和27的最大公因数是，最小公倍数是； 24和48的最大公因数是，最小公倍数是。 【思路引导】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【规范解答】7和8是互质数， 7和8的最大公因数是；最小公倍数是7×8＝； 45＝3×3×5 27＝3×3×3 45和27的最大公因数是3×3＝9；最小公倍数是3×3×5×3＝135； 48是24的倍数； 24和48的最大公因数是24；24和48的最小公倍数是48。 7．（24-25五年级下·广东江门·期末）五（1）、五（2）班学生参加大扫除，五（1）班有36人，五（2）班有42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多多少人？ 【答案】6人 【思路引导】要使两个班每个小组的人数相同且每组人数最多，就是求36和42的最大公因数，可通过分解质因数的方法计算，据此解答。 【规范解答】 36和42的最大公因数是2×3＝6 答：每组最多6人。 8．（24-25五年级下·河北沧州·期末）有一包糖果，无论是平均分给2人，5人，还是7人，都正好分完，这包糖果至少有多少块？ 【答案】70块 【思路引导】糖果平均分给2人、5人、7人都正好分完，说明糖果总数是这三个数的公倍数，求至少有多少块，就是求2、5、7的最小公倍数。 【规范解答】2、5、7是互质数，2、5、7的最小公倍数为：2×5×7＝70。 所以，这包糖果至少有70块。 答：这包糖果至少有70块。 9．（24-25五年级下·陕西商洛·期末）有一个电话号码是ABCDEFG。已知：A是3的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D是能同时被2和3整除的数字；E只有一个因数；F的所有因数是1、3、9；G的所有因数是1、2、3、6。这个电话号码是多少？ 【答案】 【思路引导】一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；最小的自然数是，一个数的因数的个数是有限，最小的因数是，最大因数是它本身；和的最小公倍数是，只有一个因数， 据此解答。 【规范解答】．的最小倍数是。 ．最小的自然数是。 ．的因数有、。最大因数是。 ．是能同时被和整除的数字。 ．只有一个因数。 ．的所有因数是、、。 ．的所有因数是、、、。 答：这个电话号码是。 10．（24-25五年级下·陕西商洛·期末）镇安县的木王国家森林公园景色宜人，吸引众多游客前来游玩。景区准备了一批特色旅游纪念品要分给两个旅行团。已知纪念品的总数在40－50个之间，若将这些纪念品按每人6个分给甲旅行团一组游客，刚好全部分完；若按每人8个分给乙旅行团一组游客，也刚好全部分完。这批旅游纪念品有多少个？ 【答案】48个 【思路引导】由题意得，纪念品的总数是6和8的公倍数，先求出这两个数的最小公倍数，再找出40－50之间的公倍数即可。 【规范解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数为24， 24的倍数有：24、48、72、…… 40＜48＜50   答：这批旅游纪念品有48个。 【能力提升】 1．（24-25五年级下·山东临沂·期末）如果两个素数（质数）之差是2，那么这两个素数称为孪生素数（孪生质数）。“孪生素数猜想”是诸多著名数学猜想之一。下面四组数中，（    ）是孪生素数。 A．1和3 B．2和4 C．11和13 D．51和53 【答案】C 【思路引导】只有1和它本身两个因数的数叫做质数，孪生素数需要满足两个数都是质数，且两个数的差是2。 【规范解答】A．1不是质数，所以1和3不是孪生素数； B．4是合数，所以2和4不是孪生素数； C．13－11＝2，且11、13都只有1和它本身两个因数，都是质数，符合孪生素数的要求； D．51＝3×17，51是合数，所以51和53不是孪生素数。 2．（24-25五年级下·山东临沂·期末）小迪的书房长，宽，选用边长（    ）的方砖铺地不需切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】先统一单位，书房长4.8m＝48dm，宽3m＝30dm，方砖铺地不需要切割，说明方砖的边长是地面长和宽的公因数。先用分解质因数法求出48和30的最大公因数，再找出这个最大公因数的所有因数，就是两者全部的公因数，最后对照选项选出正确答案。 【规范解答】4.8m＝48dm，3m＝30dm 48＝2×2×2×2×3 30＝2×3×5 最大公因数：2×3＝6 6的因数：1、2、3、6，也就是48和30的公因数。 对照选项，只有6符合条件。 3．（24-25五年级下·山东临沂·期末）欢欢在文献阅读的过程中，遇到了一些表达年龄称谓的词，如“花甲”“古稀”“耄耋（màodié）”……。经过查阅，欢欢了解到：六十岁为“花甲”，七十岁为“古稀”，八九十岁为“耄耋”。欢欢的爷爷已过花甲，未及古稀，且年龄既是2的倍数又有因数3，欢欢爷爷的年龄是( )岁。 【答案】66 【思路引导】花甲是60岁，古稀是70岁，爷爷过了花甲、没到古稀，所以年龄大于60，小于70。2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8（是偶数）。有因数3的特征：各个数位上数字相加的和能被3整除。同时满足上面两条，就是2和3的公倍数。在60～70之间找符合条件的数。 【规范解答】大于60且小于70的偶数：62、64、66、68。 62：6＋2＝8，8不能被3整除； 64：6＋4＝10，10不能被3整除； 66：6＋6＝12，12能被3整除； 68：6＋8＝14，14不能被3整除。 所以欢欢爷爷的年龄是66岁。 4．两个不成倍数关系的自然数的积是240，最小公倍数是60，这两个自然数分别是( )和( )。 【答案】 12 20 【思路引导】根据两数乘积＝最大公因数×最小公倍数，用240除以60求得最大公因数，据此解答。 【规范解答】240÷60＝4 所以最大公因数为4； 60÷4＝15 15＝3×5（3与5互质） 所以这两数分别为：4×3＝12 4×5＝20 因此，两个不成倍数关系的自然数的积是240，最小公倍数是60，这两个自然数分别是12和20。 5．（24-25五年级下·湖北荆州·期末）已知，（b为非0的整数），则和的最大公因数是7。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数。 【规范解答】由a＝7b可知，a是b的7倍，二者为倍数关系，a＞b，则a和b的最大公因数是b。b为任意非0整数，不一定等于7，原题说法错误。 故答案为：× 6．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6     8和18         15和30          10和24 【答案】最大公因数是1，最小公倍数为30；最大公因数是2，最小公倍数是72；最大公因数是15，最小公倍数是30；最大公因数是2， 最小公倍数是120 【思路引导】将每组的2个数分解质因数，这两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积。 【规范解答】5和6 因为5和6互质，所以最大公因数是1，最小公倍数为5×6＝30； 8＝2×2×2 18＝2×3×3 最大公因数是2，最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72； 因为15×2＝30，所以两数的最大公因数是15，最小公倍数是30； 10＝2×5 24＝2×2×2×3 最大公因数是2， 最小公倍数是：2×2×2×3×5＝120。 7．（24-25五年级下·浙江台州·期末）小明家装修房间，需要铺满一块长32分米、宽24分米的长方形地面。为了美观，他计划使用边长为整分米的正方形地砖，且要求地砖刚好铺满地面，没有剩余。那么，正方形地砖的边长最大可以是多少分米？此时需要多少块这样的地砖？ 【答案】8分米；12块 【思路引导】要使正方形地砖刚好铺满长方形地面且无剩余，地砖的边长必须是32和24的公因数，求最大边长就是求这两个数的最大公因数；再分别用长、宽除以最大边长，得到长和宽方向的地砖数，相乘即为总块数。 【规范解答】 32和24的最大公因数是：2×2×2＝8 （32÷8）×（24÷8） ＝4×3 ＝12（块） 答：正方形地砖的边长最大可以是8分米，此时需要12块这样的地砖。 8．（25-26五年级下·新疆塔城·期末）新疆某牧场的牧民要把36只羊和48只牛分成若干组，每组里羊的数量相同、牛的数量也相同，且所有羊和牛都要分完。最多可以分成多少组？每组里羊和牛各有多少只？ 【答案】 12组；每组里有3只羊、4只牛 【思路引导】将36和48分解质因数，求出36和48的最大公因数（公有质因数的乘积）就是可分成的最多组数。再用羊、牛的总只数分别除以最大公因数，就能得到每组的羊、牛数量。 【规范解答】36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 所以最多可以分成的组数为： 2×2×3 ＝4×3 ＝12（组） 羊的只数为：（只） 牛的只数为：（只） 答：最多可以分成12组；每组里有3只羊、4只牛。 9．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【思路引导】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【规范解答】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【考点剖析】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 10．（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【答案】92颗 【思路引导】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。 【规范解答】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。 情况一：1＋31×3 ＝1＋93 ＝94（颗） 情况二：2×1＋30×3 ＝2＋90 ＝92（颗） 92＜94 答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。 【考点剖析】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 第六单元因数与倍数「举一反三知识讲练」 (能力提升版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+18个考点讲练展+真题难度分层演练共56题) 讲义简介丙容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 目录指引丙容知晓 导图指引梳理脉络。 3 知识梳理温故知新..。 3 知识点一因数与倍数 ….3 知识点二2、5、3的倍数特征 知识点三奇数与偶数 知识点四质数与合数 …4 知识点五分解质因数 …5 知识点六最大公因数… ..5 知识点七最小公倍数.……… 考点讲练真题汇总。 6 高频考点一因数和倍数的认识..... ..6 高频考点二找一个数的因数及因数的特征.…6 第1页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点三根据因数的特征解决问题.·· 高频考点四找一个数的倍数及倍数的特征.... 7 高频考点五根据倍数的特征解决问题...7 高频考点六倍数和因数的综合应用.·· 7 高频考点七2、5的倍数特征..... 8 高频考点八奇数与偶数的认识…………… 6 高频考点九3的倍数特征……………… …9 高频考点十2、3、5的倍数特征综合，........ 高频考点十一质数与合数的认识..9 高频考点十二质数与合数的综合应用. …9 高频考点十三质因数的含义… 高频考点十四分解质因数………………… 10 高频考点十五公因数与最大公因数………………… 10 高频考点十六用最大公因数解决实际问题............ 10 高频考点十七公倍数与最小公倍数...... 11 高频考点十八用最小公倍数解决实际问题.· 11 优选真题实战演练·… 11 【基础通关】 11 【能力提升】… ……….13 第2页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 少导图指引梳理脉格 知果a×b=c(ab.c是不为0的自然数 小提示 1因数 ·0不是自然数，在研究圆数和数时， 因数与倍教的特征 那么Q,b是C的因数，C是a,b的倍数 个位上是0、2、4、6、8的数，能被2整除 如果a+b=c(a、b、c是不为0的自然数】 个筑 小的因数是1 1,能坡2整除的特征 且a能被b整除)，那么a是b的倍数， 2.倍数 最大的因数是它本身 [倒聊】判断下面各数能否被2整除 最小的信数是它本身 48(能)57（不能）120（能） b是a的因数 因被和停数量相瓦依有的关系 2能被5整除的特征 个位上是0或5的数，能被5整除。 91294561年902241516718190 在直线上用“○”表示某数的倍致 3在性上表示 用“△”表示某数的因数。 第六单元 3.奇数与偶数 能坡2整降的是偶数，不能被2整除的是奇数 因数与倍数 【例判断下面各致是奇数还是偶数 13(奇数)28（偶数）97（奇数） 一个数，除了1和它本身外，没有其他因数， 这个数叫质数（素数） 1.质数 公因数和公倍数 一个数，除了1和它本身外，还有其他因数 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数 这个数叫合数。 2,合数 1.公因数 其中最大的公因数叫作最大公因数。 3.1既不是质数，也不是合数 2.公倍数 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数 整理与练习 其中最小的公倍数叫作最小公倍数。 4,质数与合数的求法 先找出每个数的因数（或倍数）， 根据因数的个数来判断： 只有两个因数一质数 不能被2整除 3.求法 再找出它们的公因数（或公信数）： 除了两个因数，还有其他因数→合数。 。如果两个数是倍关系，则大是小的倍数 【例题】（附答案） 较小数是较大数的因数 【例题】（附答案） 1.判断下面各数是质数还是合数。（们不是质数也不是合数） ·分解质因数：把一个合数写成几个质数连乘的形式， .求18和24的最大公因数和最小公倍粉 叫作分解质因数 6(合数)17（质数）29（质数）1（匠不曼质数他不曼合数 答：最大公因数是6，最小公倍数是72 2.写出18的所有因数， 【例题】附答案) 答：18的因数有1、2.36.918 ,求12、18和30的最大公因数和最小公信数 1.把60分解质因数 答：60=2×2×3×5 答：最大公因数是6，显小公倍数是180， 3.写出20的所有倍数（写出5个）. 2把84分解质因数 答：84=2×2×3×7 答：20的倍数有20、40、60.80、100 综合练习题（附若案）● 1.写出24的所有因数 2,写出15的所有倍数（写出6个）。 3判断97星质数还是合数.4.找出36和60的最大公因致和 5.把90分解质因数 50的自然数中，找出所有 答：1.2.34.6.8.12.24 答：15.30.45,60.75.90 答：97是质数 最小公倍数 答：90=2×3×3×5 答：最大公因数是12。最小公倍数是180 知识梳理温故知新 知识点一因数与倍数 1.因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6,12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c 的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.找一个数的因数的方法 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因 数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3.因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 第3页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 4.找一个数的倍数的方法 (1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三奇数与偶数 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2一1表示。 3.奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四质数与合数 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 第4页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.注意。 (1)0、1既不是质数，也不是合数。 (2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97,共25个。 知识点五分解质因数 1.分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六最大公因数 1.最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几 个数的最大公因数。 2.求最大公因数的方法 (1)列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 (短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作(12,18)=6。 知识点七最小公倍数 1.最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最 小公倍数。 2.求最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 (2)短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 (短除法的口决：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) 第5页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作[12,18]= 36。 考点讲练真题忙邑 高频考点一因数和倍数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和， 那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10>1十2 十5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是()。 【变式训练】(24-25五年级下·广东广州·期末)“71口”是一个三位数，当口里填( )时， 它既含有因数3，又是偶数。 A.3 B.4 C.7 D.8 高频考点二找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲(24-25五年级下贵州遵义期末)小明爸爸今年a岁，a=2×3×7,a的因数一共有( 个。 A.3 B.5 C.7 D.8 【变式训练】(24-25五年级下·陕西宝鸡·期末)24节气是我国国家级非物质文化遗产，“24”的因数 有( )。 A.6个 B.8个 C.10个 高频考点三根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末)把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的 数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【变式训练】(24-25五年级下·河南郑州·期末)105个同学参加团体体操表演。如果要求每排人数相等， 且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？请把符合要求的情况写出来。 第6页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点四找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】(24-25五年级下·福建龙岩·期末)关于9的倍数，下面说法错误的是（ ）。 A.36、45都是9的倍数 B.9的倍数有无数个 C.9的最小倍数是9 D.9是倍数 【变式训练】(24-25五年级下·河北保定·期末)强强学习了2,3,5的倍数特征之后，对数的特征产 生了深厚的兴趣，通过查阅资料，了解到7的倍数的特征：若一个数去掉最后一位后所得的数减去其末位 数字的2倍，结果为7的倍数，那么原数就是7的倍数。 例如：判断161是否是7的倍数：16-1×2=14,14是7的倍数，所以161是7的倍数。687是7的倍 数吗？请你试着用上述方法判断，并将用到的算式写下来。 高频考点五根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】笑笑行李箱上密码锁的密码是45 这个数是3的倍数。她忘记了密码中的一个数字，这 个密码一共有( )种可能。 A.4 B.3 C.2 D.1 【变式训练】(24-25五年级下·浙江嘉兴·期末)有A、B、C三个数(A>B>C),如果数A除以7，余 数是3；数B除以7，余数也是3：数C除以7，余数是4。 甲认为：A与B的差一定是7的倍数： 乙认为：A与C的和一定是7的倍数。 甲、乙两人的说法对吗？请作出判断，并说明你的理由。 高频考点六倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(24-25五年级下·河北秦皇岛·期末)一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小 是()，最大是()。 第7页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】(25-26五年级下·山西晋中·期末)为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多 彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成 一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多 少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 高频考点七2、5的倍数特征 【典例精讲】(24-25五年级下·河北保定·期末)“17口”是一个三位数，当口里填( )时，它既 是2的倍数，也是3的倍数：当☐里填( )时，它既含有因数5，又是偶数。 【变式训练】(25-26五年级下·新疆塔城·期末)在括号里填上合适的数。 (1)口口是5的倍数，并且两个数位上的数一样，口里可以填( ）。 (2)5☐20既是3的倍数，又有因数5，口里最大填( ),最小填( ）。 (3)要使64口既是3的倍数又是2的倍数，口里最大应填()。 (4)4口0同时是2、3、5的倍数，口里最小可以填( 高频考点八奇数与偶数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·江苏无锡·期末)从0、2、3、4中选出三个数字组成三位数，其中最小 的奇数是( );既是2的倍数，又是5和3的倍数的数有()个。 【变式训练】(24-25五年级下·湖北荆州·期末)位于湖北省武汉的黄鹤楼，被称为“天下江山第一楼”。 北京的小明一家准备坐火车到武汉旅游。购票时，小明发现从北京开往武汉的车次用奇数表示，从武汉开 往北京的车次用偶数表示。下面车次中有( )个是开往武汉的。小明一家回北京的车次数恰好是3 的倍数。下面符合要求的车次是( ①G67 ②G77 ③G336 ④G891 ⑤G506 ⑥Z149 第8页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点九3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江台州·期末)一个三位数口2口，如果它是2和5的倍数，这个数最 小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·河南周口·期末)8aa是一个三位数，已知它是3和5的倍数，那么a= ( )。 高频考点十2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍 数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( ）。 【变式训练】(24-25五年级下·湖北武汉·期末)在5、9、1、6、0中选出3个不同数字组成一个数， 且满足同时是2、3、5的倍数，则这个数最大是( ),最小是( ）。 高频考点十一质数与合数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·安徽芜湖·期末)写出36的所有因数：( )。这些因 数中，既是偶数又是质数的是( ),( )既不是质数又不是合数。 【变式训练】(24-25五年级下·河南焦作·期末)哥德巴赫猜想中说：每个大于2的偶数都可以表示为 两个质数的和。请你将30写成两个质数的和。 30=( )+( 30=( )+( 30=()+( 高频考点十二质数与合数的综合应用 【典例精讲】(24-25五年级下·河南洛阳·期末)桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜 茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是29、32、41，数对饺子数量的小朋友是( )。 【变式训练】校园的花坛里种了几行花，每行的棵数都相等。下面是几个同学数出来的总棵数，正确的是 )棵。 A.37 B.43 C.51 D.67 高频考点十三质因数的含义 【典例精讲】(24-25五年级下·广西梧州·期末)下面各数中，分解质因数正确的是( )。 A.16=2×8 B.20=4×5 C.25=5×5 D.51=1×51 【变式训练】(25-26五年级下·江苏扬州·期中)在学习了“等式”和“方程”后，两者之间的关系可 以用下面的集合圈图来表示。下面知识点也可以用这样的集合圈图表示的有( )组。 第9页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 ①奇数和偶数 ②因数和质因数 ③质数和合数 ④长方形和正方形 ⑤相交和垂直 ⑥等腰三角形和等边三角形 ⑦条形统计图和折线统计图 A.3 B.4 C.5 D.6 高频考点十四分解质因数 【典例精讲】在括号里填上合适的质数。 36=( )+( )=( )+( 38=( )+( 45=( )×( )×( 【变式训练】.(24-25五年级下山东菏泽·期末)小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：27=3× 3×3,2+7=3+3+3,即27是“史密斯数”：51=3×17,5+1=6,3+1+7=11，而5+1≠3+1+7， 即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等 于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中， 符合“史密斯数”特征的有( )。 高频考点十五公因数与最大公因数 【典例精讲】(24-25五年级下·江西宜春·期末)已知A=2×3×3×5,B=2×3×5×7,A和B的最大 公因数是( ),最小公倍数是( )。 【变式训练】.(25-26五年级下·陕西商洛·期末)诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用 正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖 的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 高频考点十六用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪 成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方 形？ 第10页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】(24-25五年级下·河北秦皇岛·期末)一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它 来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？ 一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 高频考点十七公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(24-25五年级下·陕西商洛·期末)周六上午9：00，阳阳和爸爸在公交车站等车，正好看 到65路公交车和95路公交车同时从该车站发车。根据这两路公交车的发车信息（如图），下一次这两路 公交车同时从该公交车站发车是几时几分？ 65路：每10分钟发一次车 95路：每8分钟发一次车 【变式训练】(24-25五年级下·江苏常州·期末)一根铁丝，如果剪成12厘米长的一段，正好剪完，没 有剩余；如果剪成15厘米长的一段，也正好剪完，没有剩余。这根铁丝最短是( )厘米。 高频考点十八用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·浙江台州·期末)每年6月5日是世界环境日，五(1)班同学手工制作 了一些保护环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条：如果每组张贴6条， 也会剩下2条，那么他们至少制作了( )条标语。 【变式训练】(25-26五年级下·陕西商洛·期末)五年级部分学生分小组跳绳比赛，4人一组、5人一组 或6人一组，都没有剩余。五年级参加跳绳比赛的学生至少有( )人。 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(24-25五年级下·福建福州·期末)已知a和b是不同的质数，“a×b”的结果一定是( )。 A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 第11页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 2.(24-25五年级下·河南周口·期末)质数和合数是把非0自然数按照( )。 A.是不是2的倍数分类 B.因数的个数分类 C.两种分类方法都不是 3.(24-25五年级下·陕西商洛·期末)龙舟文化源远流长，早在战国时期，龙舟竞渡就已出现，最初是 为纪念爱国诗人屈原，后逐渐演变为盛大的水上竞技活动。如今，龙舟发展出多种规格，按照长短大体可 以分为22人标准龙舟，12人小龙舟和传统龙舟。22人标准龙舟总长度为18.5米，型长15米，型宽11分 米，型深53厘米。 (1)在12、22、15、11、53这五个数中，是奇数的有( ),是质数的有( ),既是奇数也是 合数的有( ）。 (2)在激列的龙舟竞赛中，选手们划桨频次频高，每分钟能达到N次，其中N为既是2和5的倍数，又是3 的倍数的最小三位数，这个最小三位数是( ）。 4.(24-25五年级下·陕西延安·期末)16的因数有( ),在这些因数中，最小的合数是( )既不是质数也不是合数。 5.(24-25五年级下·河南周口·期末)北京时间2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞 船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分后，神舟二十号飞船与火箭成功分 离，进入预定轨道。此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第5次载人飞行任务，也 是神舟飞船的第20次飞行。截至目前，我国已有26名航天员、41人次进入太空执行飞行任务。 上面画横线的数中，( )是质数，( )是合数；( )既是奇数又是合数，()同时是2 和5的倍数。 6.(24-25五年级下·甘肃武威·期末)求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8 45和27 24和48 7.(24-25五年级下·广东江门·期末)五(1)、五(2)班学生参加大扫除，五(1)班有36人，五(2) 班有42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多多少人？ 第12页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 8.(24-25五年级下·河北沧州·期末)有一包糖果，无论是平均分给2人，5人，还是7人，都正好分 完，这包糖果至少有多少块？ 9.(24-25五年级下·陕西商洛·期末)有一个电话号码是ABCDEFG。己知：A是3的最小倍数；B是最小 的自然数；C是5的最大因数；D是能同时被2和3整除的数字；E只有一个因数；F的所有因数是1、3、9： G的所有因数是1、2、3、6。这个电话号码是多少？ 10.(24-25五年级下·陕西商洛·期末)镇安县的木王国家森林公园景色宜人，吸引众多游客前来游玩。 景区准备了一批特色旅游纪念品要分给两个旅行团。已知纪念品的总数在40一50个之间，若将这些纪念品 按每人6个分给甲旅行团一组游客，刚好全部分完；若按每人8个分给乙旅行团一组游客，也刚好全部分 完。这批旅游纪念品有多少个？ 【能力提升】 1.(24-25五年级下·山东临沂·期末)如果两个素数（质数）之差是2，那么这两个素数称为孪生素数 (孪生质数)。“孪生素数猜想”是诸多著名数学猜想之一。下面四组数中，( )是孪生素数。 A.1和3 B.2和4 C.11和13 D.51和53 2.(24-25五年级下·山东临沂·期末)小迪的书房长4.8m,宽3m,选用边长( )dm的方砖铺 地不需切割。 A.4 B.5 C.6 D.8 第13页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 3.(24-25五年级下·山东临沂·期末)欢欢在文献阅读的过程中，遇到了一些表达年龄称谓的词，如“花 甲”“古稀”“耄耋(màodié)”…。经过查阅，欢欢了解到：六十岁为“花甲”，七十岁为“古稀”， 八九十岁为“耄耋”。欢欢的爷爷已过花甲，未及古稀，且年龄既是2的倍数又有因数3，欢欢爷爷的年龄 是( )岁。 4.两个不成倍数关系的自然数的积是240，最小公倍数是60，这两个自然数分别是( )和( ）。 5.(24-25五年级下·湖北荆州·期末)已知a=7b,(b为非0的整数)，则a和b的最大公因数是7。 ）(判断对错) 6.(24-25五年级下·辽宁鞍山·期末)找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6 8和18 15和30 10和24 7.(24-25五年级下·浙江台州·期末)小明家装修房间，需要铺满一块长32分米、宽24分米的长方形 地面。为了美观，他计划使用边长为整分米的正方形地砖，且要求地砖刚好铺满地面，没有剩余。那么， 正方形地砖的边长最大可以是多少分米？此时需要多少块这样的地砖？ 8.(25-26五年级下·新疆塔城·期末)新疆某牧场的牧民要把36只羊和48只牛分成若干组，每组里羊 的数量相同、牛的数量也相同，且所有羊和牛都要分完。最多可以分成多少组？每组里羊和牛各有多少只？ 第14页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 9.(25-26五年级上·安徽毫州·期中)五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主 题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列 的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 10.(24-25五年级下·全国·单元测试)数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在 游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合 数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的 糖果总数最少是多少颗？ 第15页共15页2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第六单元 因数与倍数『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+18个考点讲练展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三 奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 4 知识点五 分解质因数 5 知识点六 最大公因数 5 知识点七 最小公倍数 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 6 高频考点三 根据因数的特征解决问题 6 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 7 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 7 高频考点六 倍数和因数的综合应用 7 高频考点七 2、5的倍数特征 8 高频考点八 奇数与偶数的认识 8 高频考点九 3的倍数特征 9 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 9 高频考点十一 质数与合数的认识 9 高频考点十二 质数与合数的综合应用 9 高频考点十三 质因数的含义 9 高频考点十四 分解质因数 10 高频考点十五 公因数与最大公因数 10 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 10 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 11 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 11 优选真题 实战演练 11 【基础通关】 11 【能力提升】 13 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六 最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七 最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·广东广州·期末）“71☐”是一个三位数，当口里填（    ）时，它既含有因数3，又是偶数。 A．3 B．4 C．7 D．8 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州遵义·期末）小明爸爸今年a岁，a＝2×3×7，a的因数一共有（    ）个。 A．3 B．5 C．7 D．8 【变式训练】（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）24节气是我国国家级非物质文化遗产，“24”的因数有（    ）。 A．6个 B．8个 C．10个 高频考点三 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【变式训练】（24-25五年级下·河南郑州·期末）105个同学参加团体体操表演。如果要求每排人数相等，且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？请把符合要求的情况写出来。 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·福建龙岩·期末）关于9的倍数，下面说法错误的是（    ）。 A．36、45都是9的倍数 B．9的倍数有无数个 C．9的最小倍数是9 D．9是倍数 【变式训练】（24-25五年级下·河北保定·期末）强强学习了2，3，5的倍数特征之后，对数的特征产生了深厚的兴趣，通过查阅资料，了解到7的倍数的特征：若一个数去掉最后一位后所得的数减去其末位数字的2倍，结果为7的倍数，那么原数就是7的倍数。 例如：判断161是否是7的倍数：，14是7的倍数，所以161是7的倍数。687是7的倍数吗？请你试着用上述方法判断，并将用到的算式写下来。 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】笑笑行李箱上密码锁的密码是45，这个数是3的倍数。她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）有A、B、C三个数（A＞B＞C），如果数A除以7，余数是3；数B除以7，余数也是3；数C除以7，余数是4。 甲认为：A与B的差一定是7的倍数； 乙认为：A与C的和一定是7的倍数。 甲、乙两人的说法对吗？请作出判断，并说明你的理由。 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小是( )，最大是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河北保定·期末）“17□”是一个三位数，当□里填( )时，它既是2的倍数，也是3的倍数；当□里填( )时，它既含有因数5，又是偶数。 【变式训练】（25-26五年级下·新疆塔城·期末）在括号里填上合适的数。 (1)☐☐是5的倍数，并且两个数位上的数一样，☐里可以填( )。 (2)5☐20既是3的倍数，又有因数5，☐里最大填( )，最小填( )。 (3)要使64口既是3的倍数又是2的倍数，☐里最大应填( )。 (4)4☐0同时是2、3、5的倍数，☐里最小可以填( )。 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏无锡·期末）从0、2、3、4中选出三个数字组成三位数，其中最小的奇数是( )；既是2的倍数，又是5和3的倍数的数有( )个。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北荆州·期末）位于湖北省武汉的黄鹤楼，被称为“天下江山第一楼”。北京的小明一家准备坐火车到武汉旅游。购票时，小明发现从北京开往武汉的车次用奇数表示，从武汉开往北京的车次用偶数表示。下面车次中有( )个是开往武汉的。小明一家回北京的车次数恰好是3的倍数。下面符合要求的车次是( )。 ①G67   ②G77   ③G336   ④G891   ⑤G506   ⑥Z149 高频考点九 3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江台州·期末）一个三位数□2□，如果它是2和5的倍数，这个数最小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·河南周口·期末）8aa是一个三位数，已知它是3和5的倍数，那么a＝( )。 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北武汉·期末）在5、9、1、6、0中选出3个不同数字组成一个数，且满足同时是2、3、5的倍数，则这个数最大是( )，最小是( )。 高频考点十一 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）写出36的所有因数：( )。这些因数中，既是偶数又是质数的是( )，( )既不是质数又不是合数。 【变式训练】（24-25五年级下·河南焦作·期末）哥德巴赫猜想中说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请你将30写成两个质数的和。 30＝( )＋( )    30＝( )＋( )    30＝( )＋( ) 高频考点十二 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南洛阳·期末）桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 【变式训练】校园的花坛里种了几行花，每行的棵数都相等。下面是几个同学数出来的总棵数，正确的是（    ）棵。 A．37 B．43 C．51 D．67 高频考点十三 质因数的含义 【典例精讲】（24-25五年级下·广西梧州·期末）下面各数中，分解质因数正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26五年级下·江苏扬州·期中）在学习了“等式”和“方程”后，两者之间的关系可以用下面的集合圈图来表示。下面知识点也可以用这样的集合圈图表示的有（    ）组。 ①奇数和偶数    ②因数和质因数    ③质数和合数    ④长方形和正方形 ⑤相交和垂直    ⑥等腰三角形和等边三角形    ⑦条形统计图和折线统计图 A．3 B．4 C．5 D．6 高频考点十四 分解质因数 【典例精讲】在括号里填上合适的质数。 36＝( )＋( )＝( )＋( )    38＝( )＋( ) 45＝( )×( )×( ) 【变式训练】．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：，，即27是“史密斯数”：，，，而，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有( )。 高频考点十五 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·江西宜春·期末）已知A＝2×3×3×5，B＝2×3×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练】．（25-26五年级下·陕西商洛·期末）诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 【变式训练】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西商洛·期末）周六上午9：00，阳阳和爸爸在公交车站等车，正好看到65路公交车和95路公交车同时从该车站发车。根据这两路公交车的发车信息（如图），下一次这两路公交车同时从该公交车站发车是几时几分？ 65路：每10分钟发一次车 95路：每8分钟发一次车 【变式训练】（24-25五年级下·江苏常州·期末）一根铁丝，如果剪成12厘米长的一段，正好剪完，没有剩余；如果剪成15厘米长的一段，也正好剪完，没有剩余。这根铁丝最短是( )厘米。 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江台州·期末）每年6月5日是世界环境日，五（1）班同学手工制作了一些保护环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条；如果每组张贴6条，也会剩下2条，那么他们至少制作了( )条标语。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西商洛·期末）五年级部分学生分小组跳绳比赛，4人一组、5人一组或6人一组，都没有剩余。五年级参加跳绳比赛的学生至少有( )人。 【基础通关】 1．（24-25五年级下·福建福州·期末）已知和是不同的质数，“a×b”的结果一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．（24-25五年级下·河南周口·期末）质数和合数是把非0自然数按照（    ）。 A．是不是2的倍数分类 B．因数的个数分类 C．两种分类方法都不是 3．（24-25五年级下·陕西商洛·期末）龙舟文化源远流长，早在战国时期，龙舟竞渡就已出现，最初是为纪念爱国诗人屈原，后逐渐演变为盛大的水上竞技活动。如今，龙舟发展出多种规格，按照长短大体可以分为22人标准龙舟，12人小龙舟和传统龙舟。22人标准龙舟总长度为18.5米，型长15米，型宽11分米，型深53厘米。 (1)在12、22、15、11、53这五个数中，是奇数的有( )，是质数的有( )，既是奇数也是合数的有( )。 (2)在激烈的龙舟竞赛中，选手们划桨频次颇高，每分钟能达到N次，其中N为既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数，这个最小三位数是( )。 4．（24-25五年级下·陕西延安·期末）16的因数有( )，在这些因数中，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 5．（24-25五年级下·河南周口·期末）北京时间2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分后，神舟二十号飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第5次载人飞行任务，也是神舟飞船的第20次飞行。截至目前，我国已有26名航天员、41人次进入太空执行飞行任务。 上面画横线的数中，( )是质数，( )是合数；( )既是奇数又是合数，( )同时是2和5的倍数。 6．（24-25五年级下·甘肃武威·期末）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8      45和27      24和48 7．（24-25五年级下·广东江门·期末）五（1）、五（2）班学生参加大扫除，五（1）班有36人，五（2）班有42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多多少人？ 8．（24-25五年级下·河北沧州·期末）有一包糖果，无论是平均分给2人，5人，还是7人，都正好分完，这包糖果至少有多少块？ 9．（24-25五年级下·陕西商洛·期末）有一个电话号码是ABCDEFG。已知：A是3的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D是能同时被2和3整除的数字；E只有一个因数；F的所有因数是1、3、9；G的所有因数是1、2、3、6。这个电话号码是多少？ 10．（24-25五年级下·陕西商洛·期末）镇安县的木王国家森林公园景色宜人，吸引众多游客前来游玩。景区准备了一批特色旅游纪念品要分给两个旅行团。已知纪念品的总数在40－50个之间，若将这些纪念品按每人6个分给甲旅行团一组游客，刚好全部分完；若按每人8个分给乙旅行团一组游客，也刚好全部分完。这批旅游纪念品有多少个？ 【能力提升】 1．（24-25五年级下·山东临沂·期末）如果两个素数（质数）之差是2，那么这两个素数称为孪生素数（孪生质数）。“孪生素数猜想”是诸多著名数学猜想之一。下面四组数中，（    ）是孪生素数。 A．1和3 B．2和4 C．11和13 D．51和53 2．（24-25五年级下·山东临沂·期末）小迪的书房长，宽，选用边长（    ）的方砖铺地不需切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 3．（24-25五年级下·山东临沂·期末）欢欢在文献阅读的过程中，遇到了一些表达年龄称谓的词，如“花甲”“古稀”“耄耋（màodié）”……。经过查阅，欢欢了解到：六十岁为“花甲”，七十岁为“古稀”，八九十岁为“耄耋”。欢欢的爷爷已过花甲，未及古稀，且年龄既是2的倍数又有因数3，欢欢爷爷的年龄是( )岁。 4．两个不成倍数关系的自然数的积是240，最小公倍数是60，这两个自然数分别是( )和( )。 5．（24-25五年级下·湖北荆州·期末）已知，（b为非0的整数），则和的最大公因数是7。( )（判断对错） 6．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6     8和18         15和30          10和24 7．（24-25五年级下·浙江台州·期末）小明家装修房间，需要铺满一块长32分米、宽24分米的长方形地面。为了美观，他计划使用边长为整分米的正方形地砖，且要求地砖刚好铺满地面，没有剩余。那么，正方形地砖的边长最大可以是多少分米？此时需要多少块这样的地砖？ 8．（25-26五年级下·新疆塔城·期末）新疆某牧场的牧民要把36只羊和48只牛分成若干组，每组里羊的数量相同、牛的数量也相同，且所有羊和牛都要分完。最多可以分成多少组？每组里羊和牛各有多少只？ 9．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 10．（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $