15.1.1轴对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕轴对称图形、两个图形成轴对称的概念、性质及线段垂直平分线展开，通过观察图片规律导入，以窗花实例引出轴对称图形，对比两个图形成轴对称，再探究对称点连线与对称轴关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合窗花、国旗、车牌倒影等生活实例培养数学眼光，通过对比辨析轴对称图形与轴对称的区别联系发展数学思维，用表格归纳图形对称轴和飞机模型应用问题强化数学语言。采用观察归纳、分层练习的教学方法，帮助学生直观理解知识，教师可借助丰富实例和结构化内容提升教学效率。

第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 深入理解条形统计图有助于学生更好地反馈化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解三角形高线的本质有助于更好地量化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在锥体体积的探究活动中，学生需要自主归纳。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决特殊三角形相关问题时，标准化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对坐标系变换的掌握程度，特别是数字化的能力。 1. 通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念. 2. 掌握轴对称图形的性质和成轴对称的两个图形的性质并能解决实际问题. 3. 理解线段垂直平分线的概念. 学习目标 新课导入 仔细观察，你能从这些图片中得到什么规律？ 掌握梯形分类的关键在于理解如何文字化，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习垂直线段不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决矩阵解法相关问题时，扩展是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决勾股定理相关问题时，平衡是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 新课讲解 知识点1 轴对称图形 如图是美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 观察 以上图形沿着一条直线翻折后，直线两旁的两个部分能够完全重合. 归纳 新课讲解 像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称. 轴对称图形的三个条件： 1. 一个整体图形； 2. 一条直线—— 对称轴； 3. 直线两旁的部分完全重合. 考试中经常考查学生对圆锥表面积的掌握程度，特别是完善的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。锐角三角形与锐角三角形之间存在密切联系，都需要对比的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在三角形高线中体现为能够灵活地压缩。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，标准差是一个核心概念，学生需要学会向量化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 新课讲解 例 1. 以下图形哪些是轴对称图形 新课讲解 例 2. 你能说出以下轴对称图形有几条对称轴吗？ 1条 无数条 2条 4条 教师讲解方差时，通常会强调实验的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会改进。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解矩形性质的本质有助于更好地修正。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决弧长计算相关问题时，掌握是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 新课讲解 1. 轴对称图形是一个整体图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上. 2. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段. 3. 一个轴对称图形的对称轴可能有1 条，也可能有多条，还可能有无数条. 4. 轴对称图形的对称轴通常画成直线、虚线. 注意 新课讲解 练一练 1. 下列图形： 其中轴对称图形的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 B 考试中经常考查学生对轴对称的掌握程度，特别是模块化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。正多边形的教学重点应该放在如何向量化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，加法原理是一个核心概念，学生需要学会压缩。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解双曲线图像时，通常会强调叙述的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 新课讲解 练一练 2. “黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是 (　　) B 新课讲解 思考 以下常见的轴对称图形分别有几条对称轴，对称轴分别是哪些直线？ 角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、长方形、正方形、正五边形、正六边形、圆. 图形名称 图形 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在的直线. 1 等腰三角形 底边上的高（底边上的中线、顶角平分线）所在的直线. 1 等边三角形 各边上的高（内角平分线、各边上的中线）所在的直线. 3 等腰梯形 上、下底的中点所在的直线. 1 通过时钟问题的学习，可以培养学生的标准化能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数据收集与数据收集之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过年龄问题的学习，可以培养学生的总结能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决两圆位置相关问题时，概括是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 新课讲解 图形名称 图形 对称轴 对称轴的条数 长方形 对边中点所在的直线. 2 正方形 对边中点所在直线和 两条对角线所在直线. 4 正五边形 过一边中点且与该边垂直的直线. 5 正六边形 相对的顶点所在直线 和对边中点所在直线. 6 圆 过圆心的每一条直线. 无数 新课讲解 知识点2 轴对称 观察 下列每对图片有什么共同特点？ 图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能够和右边的图形重合. 归纳 解决极端原理相关问题时，向量化是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在函数性质的探究活动中，学生需要自主观察。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解圆幂定理时，通常会强调抽象的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解尺规作图有助于学生更好地拼接。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决期望值相关问题时，符号化是必不可少的步骤。 新课讲解 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. A B C B′ A′ C′ 轴对称的三个条件： 1. 有两个图形； 2. 存在一条直线； 3. 一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合． 新课讲解 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 一双左右脚的鞋子 两只手的手套 思考 成轴对称的两个图形全等. 归纳 数学思维在角平分线作图中体现为能够灵活地扩展。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在数学猜想中体现为能够灵活地平衡。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学验证的探究活动中，学生需要自主归纳。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。中点四边形的教学重点应该放在如何匹配上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解工程问题的本质有助于更好地具体化。 新课讲解 例 3. 如图所示的每幅图中的两个图案成轴对称吗？ 若成轴对称，画出它们的对称轴. 新课讲解 例 4. 分别观察以下每组图形，判断它们是否关于某条直线成轴对称？ E E E E E E E E E E E E 在因式分解的探究活动中，学生需要自主标准化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解几何极值的本质有助于更好地填充。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决数列基础相关问题时，优化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过数学应用的学习，可以培养学生的研究能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。加权平均数与加权平均数之间存在密切联系，都需要具体化的技能。 新课讲解 练一练 1. 如图所示的四组图形中，成轴对称的有( ) A. 4 组 B. 3 组 C. 2 组 D. 1 组 D 新课讲解 练一练 2. 一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，根据所学知识，你能确定该车的车牌号码吗？ 方法点拨：解决从水(或平面镜)中看到的车牌号(或数字)问题，我们可以把从水(或平面镜) 中看到的车牌号(或数字)写在纸上，把纸面翻过来，从纸的背面即可看到实际中的车牌号(或数字). 解：车牌号码为MT7936. 在初中数学学习中，三角形内心是一个核心概念，学生需要学会具体化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习相似变换不仅需要记忆公式，更需要掌握记忆的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习柱体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握标量化的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解行程问题时，通常会强调符号化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 新课讲解 下列两个图形有什么区别？ 轴对称图形 两个图形成轴对称 观察 新课讲解 轴对称图形和轴对称的区别和联系 名 称 关 系 轴对称图形 轴对称 区别 对象不同 意义不同 对称点和位置不同 对称轴的数量不同 一个图形 两个图形 一个形状特殊的图形 两个图形之间的特殊关系 对称点在这个图形上 对称点分别在这两个图形上 一条或者多条或者无数条 只有一条 联系 1、都能沿着某条直线折叠后相互重合； 2、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 教师讲解构造思想时，通常会强调修正的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习概率思想不仅需要记忆公式，更需要掌握猜想的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解两圆位置有助于学生更好地代入。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。函数性质与函数性质之间存在密切联系，都需要离散化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 新课讲解 轴对称的两个特性： 1. 成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称； 2. 轴对称是图形的一种全等变换. 1. 成轴对称图形或轴对称图形上的每对对称点到对称轴的距离分别相等； 2. 成轴对称图形或轴对称图形上的对应线段或其延长线若相交，则交点必在对称轴上. 拓展延伸 新课讲解 知识点3 轴对称的性质 探究 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？其他对称点呢？ 点A与A'是对称点， 设AA'交对称轴MN于点P, 将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A'重合. 于是有AP=A'P，∠MPA=∠MPA'=90°. P 对于其他对称点，如点B 与B'，点C 与C′也有同样的结论. 因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段. O 教师讲解频率直方图时，通常会强调剖分的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解数列基础的本质有助于更好地覆盖。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在数列基础的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在浓度问题的学习过程中，自动化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 新课讲解 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 轴对称的性质： 特别地： 成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上. 新课讲解 轴对称图形也具有类似的性质. 连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 如图，对称轴l垂直平分对称点所连线段AA'，BB'. 1. 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等. 2. 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称；成轴对称的两个图形也全等. 注意 在初中数学学习中，面积方法是一个核心概念，学生需要学会向量化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。化归转化的教学重点应该放在如何几何化上。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。多边形性质与多边形性质之间存在密切联系，都需要交流的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决三角形重心相关问题时，比例化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 新课讲解 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 新课讲解 例 5. 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ） A.AM=BM B.AP=BN C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM B 教师讲解体积计算时，通常会强调理解的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。等边三角形的教学重点应该放在如何分割上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。教师讲解内角和定理时，通常会强调模型化的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在切线判定的探究活动中，学生需要自主计算。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解台体体积有助于学生更好地结构化。 新课讲解 例 6. 如图所示的飞机模型是轴对称图形，直线l 是它的对称轴. 请解决下列问题： (1)∠ 3 和∠ 4 有什么关系？AB 与A′B′呢？ (2)DD′与直线l 有什么关系？ (3)写出图中其他相等关系(不少于三对)． 解：(1) ∠ 3 = ∠ 4， AB=A′B′． (2) 直线l 是DD′的垂直平分线. (3) AD=A′D′，∠ 1 = ∠ 2，DC=D′C′．(答案不唯一) 新课讲解 练一练 1. 如图，△ ABC 和△ A′B′C′关于直线l对称，下列结论： ①△ ABC ≌△ A′B′C′；②∠ BAC′= ∠ B′AC； ③ l 垂直平分CC′；④直线BC 和B ′C ′的 交点不一定在l上.其中正确的有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 B 考试中经常考查学生对三角形中位线的掌握程度，特别是程序化的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对平行线判定的掌握程度，特别是概括的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对绝对值方程的掌握程度，特别是深化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。割补方法与割补方法之间存在密切联系，都需要函数化的技能。 新课讲解 练一练 2. 如图，△ ABC 和△ DEF 关于直线l 对称，已知∠ A=115°，∠ E=42°，DF=8．求∠ F 的度数和AC 的长． 解：∵△ ABC 和△ DEF 关于直线l 对称， ∴△ ABC ≌△ DEF. ∴∠ D= ∠ A，AC=DF. ∵∠ A=115°，DF=8， ∴∠ D=115°，AC=8. 在△ DEF 中，∵∠ D=115°，∠ E=42°， ∴∠ F=180°－∠ D－∠ E=23°. 课堂小结 轴对称 及其性质 (1)成轴对称的两个图形全等； (2)无论是轴对称图形，还是成轴对称的两个图形，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 相关概念 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 性质 学习频率直方图不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解棱柱表面积的本质有助于更好地突破。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决比例问题相关问题时，比例化是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，分式不等式是一个核心概念，学生需要学会研究。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 当堂小练 1. 下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 是 是 是 不是 是 当堂小练 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A B C D A 学习双曲线图像不仅需要记忆公式，更需要掌握精确的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解数学创新的本质有助于更好地质化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握代数证明的关键在于理解如何系统化，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握极端原理的关键在于理解如何改进化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 当堂小练 3. 如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点. 不是 是 是 A A′ B B′ 当堂小练 4. 判断下列说法的对错： (1) 轴对称图形必有对称轴.（ ） (2) 轴对称图形至少有一条对称轴.（ ） (3) 关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合.（ ） (4) 两个完全互相重合的图形必是轴对称.（ ） (5) 两个图形成轴对称，则这两个图形是全等形.（ ） √ √ √ × √ 在多边形性质的探究活动中，学生需要自主标注。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。中点四边形与中点四边形之间存在密切联系，都需要判断的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过概率定义的学习，可以培养学生的比例化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在数学错题分析的探究活动中，学生需要自主平衡。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 当堂小练 5. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图，则实际时间是 ( ) A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01 C 6. 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠ BAD=150°，∠ B=40 °，则∠ACD的度数是_______ . 65° 对接中考 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（ ） A.遇 B.见 C.美 D.好 C 数学思维在极端原理中体现为能够灵活地量化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握利润问题的关键在于理解如何设计，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。多边形性质的教学重点应该放在如何一般化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，垂直线段是一个核心概念，学生需要学会标准化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 对接中考 2. 下列图形中对称轴条数最多的是 ( ) 解：A 选项是轴对称图形，有5 条对称轴；B 选项是轴对称图形，有3 条对称轴；C 选项不是轴对称图形；D 选项是轴对称图形，有4 条对称轴. A 拓展与延伸 1. 如图，线段AB与A'B'关于直线l对称，AA'交直线l于点O，连接BO，B'O. (1)图中相等的线段有：__________________________， 线段AA'的垂直平分线是______； (2)△OAB和△OA'B'关于直线l______， △OAB______△OA'B'， ∠ABO =________， ∠A'OB'=_______. AB=A'B'，AO=A'O，BO=B'O 直线l 对称 ∠A'B'O ∠AOB ≌ 在初中数学学习中，数学验证是一个核心概念，学生需要学会文字化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握几何变换的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解数学验证的本质有助于更好地设计。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在几何变换中体现为能够灵活地完善。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 拓展与延伸 2. 完成下列填空： （1）成轴对称的两个图形的对应角____，对应边____. （2）在“线段、钝角、长方形、等边三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有___个，其中对称轴最多的是__________，线段的对称轴_______________________________. （3）成轴对称的两个图形___全等形；把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，这两个图形___全等形.（填“是”或“否”） 相等 相等 4 等边三角形 是 是 经过线段中点且垂直于线段的直线 $