1.1 三角形中的线段和角 题型专练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以“题型专练”为框架，通过“典例示范+举一反三”分层设计，覆盖三角形边、角、三线（高、中线、角平分线）等核心知识点，从基础概念辨析到综合应用，构建“概念理解-技能训练-问题解决”的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（典例）|单一知识点（如三角形边与角关系、三线定义）|以选择/填空题为主，聚焦概念辨析，如判断三角形个数、识别高的画法| |提升层（举一反三1-3）|知识点初步应用（如求边长、判断能否组成三角形）|通过变式训练深化理解，如等腰三角形腰长分类讨论、第三边取值范围计算| |综合层（举一反三4-5）|多知识点融合（如中线与面积综合、角平分线与角度推理）|以解答题为主，培养综合思维，如结合中线求阴影面积、利用角平分线证明角度关系|

苏科版（2024）八年级上册 1.1 三角形中的线段和角 题型专练 【题型1】三角形的边和角 【典例】如图，以∠B为一个内角的三角形有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三1】如图，小强用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，则正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在△XYZ中，已知∠X=40°，∠Y=80°，∠Z=60°，则边长的关系为(　　) A.XY>YZ>XZ B.XZ>XY>YZ C.YZ>XZ>XY D.XZ>YZ>XY 【举一反三3】在△DEF中，∠D=55°，∠E=65°，∠F=60°，则最长的边是　　　　，最短的边是　　　　.  【举一反三4】如图，在△ABC中，AB<AC.若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由. 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 【题型2】求三角形的边长 【典例】一个三角形三边的比为2：3：4．若该三角形的周长为54，则最短边的长为（　　） A.6 B.10 C.12 D.18 【举一反三1】已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【举一反三2】已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是（　　） A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 【举一反三3】如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=8米，A，B间的距离可能是　　　.(写出一个即可)  【举一反三4】一个三角形周长为27cm，三边长比为2：3：4，求这个三角形各边长． 【题型3】三角形的个数 【典例】如图中三角形的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三2】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　   　个三角形；图③有　   　个三角形；图④有　   　个三角形；…猜测第七个图形中共有　     　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　         　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【举一反三3】如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　　个． 【举一反三4】已知△ABC， 如图（1），边BC上有一个点D，连接AD，则图中共有多少个三角形？ 如图（2），边BC上有两个点D，E，连接AD，AE，则图中共有多少个三角形？ 如图（3），边BC上有三个点D，E，F，连接AD，AE，AF，则图中共有多少个三角形？ 如图（4），边BC上有n个点D，E，F，…，连接AD，AE，AF，…则图中共有多少个三角形？ 【举一反三5】如图，在△ABC中，BC边上有n个点（包括B、C两点），则图中共有多少个三角形？ 【题型4】判断三条线段能否组成三角形 【典例】以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是(　　) A.4，6，8 B.8，10，12 C.18，20，22 D.2，4，6 【举一反三1】下列各组中不能构成三角形的一组是（　　） A.5，12，13 B.4，7，7 C.101，102，103 D.2a，3a，5a（a＞0） 【举一反三2】用长度为8cm，9cm，10cm的三条线段 　　构成三角形．（填“能”或“不能”） 【举一反三3】小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米． （1）请用含m的式子表示第三条边长； （2）第一条边长能否为10米？为什么？ 【题型5】利用三角形三边之间的关系进行判断 【典例】已知等腰三角形的两边a，b满足(a－4)2＋|b－8|＝0，则等腰三角形的周长为(　　) A.12   B.16 C.20   D.16或20 【举一反三1】若△ABC的边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 【举一反三2】如图，四边形ABCD为长方形，从A到C有两条路线：第一条是从A→E→C；第二条是从A→B→C；其中较短的是　　． 【举一反三3】如图，填空： 由三角形任意两边之和大于第三边， 得AB+AD＞　     　； PD+CD＞　     　． 将不等式左边、右边分别相加， 得AB+AD+PD+CD＞　        　， 得AB+AC＞　        　． 【举一反三4】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数． 若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状 【题型6】利用三角形三边之间的关系判断第三边的取值范围 【典例】已知△ABC中，有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为(　　) A.11 B.12 C.13 D.11或13 【举一反三1】如图，x的值可能为（　　） A.10 B.9 C.7 D.6 【举一反三2】木工要做一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为12cm和5cm，则不能作为第三根木条长度的为（　　） A.6cm B.9cm C.13cm D.16cm 【举一反三3】已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a＝　　． 【举一反三4】某市木材市场上木棒规格与价格如下表： 小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根． （1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ （2）在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？ 【举一反三5】若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 【题型7】利用三角形三边之间的关系进行化简 【典例】已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝　　． 【举一反三1】已知a，b，c是三角形的三边，化简：++=　　　.  【举一反三2】若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|2b+c|． 【举一反三3】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【题型8】判断组成的三角形的个数 【典例】三角形的边长都是整数，并且唯一的最长边是6，则这样的三角形共有（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.12个 【举一反三1】设一个三角形的三边长为正整数a，n，b，其中b≤n≤a．则对于给定的边长n，所有这样的三角形的个数是（　　） A.n B.n+1 C.n2+n D. 【举一反三2】老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三3】若一个边长都是整数的三角形周长是15cm，则满足条件的三角形有　　种． 【举一反三4】一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？ 【题型9】利用三角形三边之间的关系求三角形的周长 【典例】在△ABC中，AB＝10，BC＝2，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 【举一反三1】有四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（　　） 甲：x的取值可能有4个； 乙：组成的三角形中，周长最大为16 A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.甲正确，乙不正确 D.甲不正确，乙正确 【举一反三2】四根长度分别为3cm、7cm、10cm、14cm的钢条，以其中三根的长为边长，焊接成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（　　） A.31cm B.27cm C.24cm D.20cm 【举一反三3】已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋3b2－4a－18b＋29＝0，则△ABC的周长为　　　　. 【举一反三4】已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1 （1）试说明b一定大于3； （2）若这个三角形周长为22，求a、b、c． 【举一反三5】已知三角形的两边长分别为5cm和2cm，第三边的长是偶数，求第三边的长以及三角形的周长． 【题型10】利用三角形三边之间的关系求等腰三角形的腰或底的值或取值范围 【典例】已知等腰三角形两边的长分别是3和5，求此等腰三角形的周长． 小明的解答过程如下：“当3是腰长时，底边长为5，则三角形周长为：3+3+5＝11； 当5是腰长时，底边长为3，则三角形周长为：3+5+5＝13．” 小明的解答方法体现的数学思想是（　　） A.方程思想 B.分类讨论思想 C.公理化思想 D.转化思想 【举一反三1】如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（　　） A.5 B.8 C.9 D.16 【举一反三2】若等腰三角形的一边长为3 cm，周长为15 cm，则此等腰三角形的底边长是(　　) A.3 cm或9 cm B.9 cm C.3 cm D.3 cm或6 cm 【举一反三3】以15为腰的等腰三角形，底边a的范围是　         　． 【举一反三4】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰△ABC的腰长为　　　　　. 【举一反三5】把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米． 若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值． 【题型11】认识三角形的高 【典例】在钝角△ABC中，若其三条边上的高相交于点O，则点O在△ABC的（　　） A.内部 B.外部 C.边上 D.无法确定 【举一反三1】图中能表示△ABC的边BC上的高的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，AD⊥BC于D，GC⊥BC于C，CF⊥AB于F，图中是△ABC的高的线段有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【举一反三3】在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是　　条． 【举一反三4】如图所示的三个△ABC中的∠ABC有什么不同？这三个△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 【题型12】画出三角形的高 【典例】下面作三角形最长边上的高正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，BC边上的高线画法正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF交BC于点G，可得线段AG一定是△ABC的(　　) A.中线   B.高线 C.角平分线   D.垂直平分线 【举一反三3】画△ABC中AB边上的高，如图的画法中正确的是　   　． 【举一反三4】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是   　． 【举一反三5】（1）探究：分别画出如图所示的各个三角形的3条高； （2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形 　　；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是 　　；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形 　　． 【题型13】利用三角形的高求面积 【典例】如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积（　　） A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 【举一反三1】如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（　　） ①线段AB的长 ②△PAB的周长 ③△PAB的面积 ④∠APB的度数 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【举一反三2】如图，已知：△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位长度到△DEF的位置，若四边形ABFD的面积为32，则m的值为 　　． 【举一反三3】如图，三角形ABC的面积为8，∠ACB＝90°，把三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC长的2倍，则四边形ABED的面积为 　　． 【题型14】利用三角形的高求长度 【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是AB边上的高，若AB＝3，S△ADC＝6，则CE的长度为（　　） A.4 B.8 C.7 D.6 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为（　　） A.1 B. C.2 D.4 【举一反三2】如图所示，AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB＝6，BC＝5，AD＝4，则CE＝　　． 【举一反三3】如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【举一反三4】如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，BE＝5． （1）若△AEC的面积为20，求AD的长； （2）若S△ABD：S△ADC＝2：3，求DE的长． 【题型15】认识三角形的中线 【典例】对于一个三角形的三条中线的位置，下列说法正确的是（　　） A.都在三角形内 B.都在三角形外 C.有的可能在三角形内，有的也可能在三角形外 D.有的可能与三角形的某一边重合 【举一反三1】根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为△ABC的(　　) A.角平分线 　　 B.中线 C.高线 　　 D.都有可能 【举一反三2】画出三角形所有的中线，边BC上的中线是　　；边AC上的中线是　　；边AB上的中线是　　 【举一反三3】如图，D、E是边AC的三等分点，则BD是三角形　　中　　边上的中线，BE是三角形　　中　　边上的中线． 【题型16】利用三角形的中线求长度 【典例】如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（　　） A.3cm B.6cm C.12cm D.无法确定 【举一反三1】如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（　　） A.7cm B.6cm C.5cm D.4cm 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 　　cm． 【举一反三3】如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的中线，若AE=5，BF=6，且△ABC的周长为32，求BC的长. 【举一反三4】如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长． 【题型17】利用三角形的中线求面积 【典例】如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，连接AE，CE，且△ABC的面积为24cm2，则S阴影部分＝（　　） A.12cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.16cm2 【举一反三1】如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E，F分别为线段AD，BC的中点，连接BE，CE，EF，已知S△ABC＝32，S△BED＝7，则△DEF的面积为（　　） A.25 B.9 C.2 D.1 【举一反三2】如图，△ABC中．AE⊥BC于E，AD为BC边上的中线．DF为△ABD中AB边上的中线．已知AB＝8cm，AC＝5cm，△ABC的面积为8cm2，则 （1）△ABD与△ACD的周长之差是　　； （2）△ABD的面积是　　； （3）△ADF的面积是　　． 【举一反三3】如图所示，在△ABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC=6 cm2，则阴影部分的面积为　　　 cm2.  【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线.求证：△ABD和△ADC的面积相等. 【题型18】求面积的综合 【典例】如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5为 A.205-1 B.205 C.195+1 D.195 【举一反三1】如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB＝2OD，连接AO并延长交BC于点E．若△BOE的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 【举一反三2】如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝　　． 【举一反三3】如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，EC＝3BE，D是边AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝　　． 【题型19】三角形的角平分线 【典例】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　） A.AD是△ABE的中线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的高线 D.AE是△DAF的中线 【举一反三1】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论错误的是（　　） A.AD是△ABC的角平分线 B.CE是△ACD的角平分线 C.∠3∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则点D到BC的距离是(　　) A.3   B.4 C.5   D.6 【举一反三3】如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝　　　　　. 【举一反三4】如图1，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线交于点D. (1)若∠A=70°，则∠BDC=　　　　　　　　；  (2)从上述计算中，我们能发现：∠BDC=　　　　　　　　　　　　　(用含∠A的代数式表示)；  (3)如图2，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线交于点A1，请用含∠A的代数式表示∠A1，并说明理由； (4)如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线交于点A1，∠A1BC的角平分线和∠A1CD的角平分线交于点A2，如此继续下去，可得A3，A4，…，An，请写出∠An与∠A的数量关系为　　　　　　　　　　　　　.(直接写出结果即可)  【题型20】角平分线、中线、高的综合 【典例】三角形的高线、中线、角平分线都是(　　) A.直线 B.线段 C.射线 D.以上情况都有 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是(　　) A.∠ABF＝∠CBF    B.∠ABC＝∠CAD C.S△ABE＝S△ACE    D.AF＝CF 【举一反三2】如图所示，∠BAD＝45°，AE＝4cm． （1）如果AD是△ABC的角平分线，那么∠DAC＝　      　； （2）如果AE＝CE，那么线段BE是△ABC的　     　，AC的长为　      　； （3）如果AF是△ABC的高，那么图中以AF为高的三角形有　   　个． 【举一反三3】根据条件画图，并回答问题： （1）画一个锐角△ABC（三边均不相等）； （2）作出BC边上的中线AE和高AD； （3）写出两个以AD为高的三角形． 苏科版（2024）八年级上册 1.1 三角形中的线段和角 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形的边和角 【典例】如图，以∠B为一个内角的三角形有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】以∠B为一个内角的三角形有△EBD，△ABD，△EBC，△ABC， 故选：C． 【举一反三1】如图，小强用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，则正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，正确的图是： 故选：A． 【举一反三2】在△XYZ中，已知∠X=40°，∠Y=80°，∠Z=60°，则边长的关系为(　　) A.XY>YZ>XZ B.XZ>XY>YZ C.YZ>XZ>XY D.XZ>YZ>XY 【答案】B 【解析】最大的角∠Y=80°，对边XZ最长，最小的角∠X=40°，对边YZ最短，因此XZ>XY>YZ. 【举一反三3】在△DEF中，∠D=55°，∠E=65°，∠F=60°，则最长的边是　　　　，最短的边是　　　　.  【答案】DF　EF 【解析】最长的边是DF(对∠E=65°)，最短的边是EF(对∠D=55°). 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB<AC.若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由. 【答案】解　∠BAH<∠CAH. 理由：∵在△ABC中，AB<AC， ∴∠B>∠C(在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大). ∴90°-∠B<90°-∠C(不等式的性质). ∵AH⊥BC， ∴∠AHB=∠AHC=90°. ∴∠B+∠BAH=90°，∠C+∠CAH=90°. ∴∠BAH=90°-∠B，∠CAH=90°-∠C. ∴∠BAH<∠CAH. 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 【答案】解　AB>BC. 理由：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=180°-∠C=90°， ∴∠C>∠A. ∴AB>BC(在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大). 【题型2】求三角形的边长 【典例】一个三角形三边的比为2：3：4．若该三角形的周长为54，则最短边的长为（　　） A.6 B.10 C.12 D.18 【答案】C 【解析】设最短边是2x， 则2x+3x+4x＝54， 解得x＝6， 则最短边是2x＝2×6＝12． 故选：C． 【举一反三1】已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【答案】B 【解析】设大小处于中间的边长是x cm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm． 则（x+1）+x+（x﹣1）＝12， 解得：x＝4， 则最短的边长是：4﹣1＝3cm． 故选：B． 【举一反三2】已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是（　　） A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 【答案】A 【解析】设三角形第三边的长是x cm，较长的两边长是2x cm，依题意有 2×2x+x＝15， 解得x＝3， 故这个三角形的最短边长是3cm． 故选：A． 【举一反三3】如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=8米，A，B间的距离可能是　　　.(写出一个即可)  【答案】10 米(答案不唯一) 【解析】∵10-8<AB<10+8， ∴2<AB<18. 【举一反三4】一个三角形周长为27cm，三边长比为2：3：4，求这个三角形各边长． 【答案】解：设三边长分别为2x cm，3x cm，4x cm， 由题意得，2x+3x+4x＝27， 解得：x＝3． 故三边长为：6cm，9cm，12cm． 【题型3】三角形的个数 【典例】如图中三角形的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】图中的三角形有△ABD，△ABC，△BCD，共有3个． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 【举一反三2】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　   　个三角形；图③有　   　个三角形；图④有　   　个三角形；…猜测第七个图形中共有　     　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　         　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】3，5，7，13，（2n﹣1）． 【解析】（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 【举一反三3】如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　　个． 【答案】21 【解析】第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3． 所以当n＝6时，原式＝21， 故答案为：21． 【举一反三4】已知△ABC， 如图（1），边BC上有一个点D，连接AD，则图中共有多少个三角形？ 如图（2），边BC上有两个点D，E，连接AD，AE，则图中共有多少个三角形？ 如图（3），边BC上有三个点D，E，F，连接AD，AE，AF，则图中共有多少个三角形？ 如图（4），边BC上有n个点D，E，F，…，连接AD，AE，AF，…则图中共有多少个三角形？ 【答案】解：如图（1），图中共，2+1＝3个三角形； 如图（2），图中共有3+2+1＝6个三角形； 如图（3），图中共有4+3+2+1＝10个三角形； 如图（4），图中共有（n+1）+n+（n﹣1）+…+1个三角形． 【举一反三5】如图，在△ABC中，BC边上有n个点（包括B、C两点），则图中共有多少个三角形？ 【答案】解：在△ABC中，BC边上有n个点（包括B、C两点），则图中三角形的个数为：10． 答：图中共有10个三角形． 【题型4】判断三条线段能否组成三角形 【典例】以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是(　　) A.4，6，8 B.8，10，12 C.18，20，22 D.2，4，6 【答案】D 【解析】A项，4+6>8，能构成三角形，不符合题意； B项，10+8>12，能构成三角形，不符合题意； C项，18+20>22，能构成三角形，不符合题意； D项，2+4=6，不能构成三角形，符合题意. 【举一反三1】下列各组中不能构成三角形的一组是（　　） A.5，12，13 B.4，7，7 C.101，102，103 D.2a，3a，5a（a＞0） 【答案】D 【解析】A、5+12＞13，能构成三角形； B、4+7＞7，能构成三角形； C、101+102＞103，能构成三角形； D、2a+3a＝5a，不能构成三角形． 故选：D． 【举一反三2】用长度为8cm，9cm，10cm的三条线段 　　构成三角形．（填“能”或“不能”） 【答案】能． 【解析】∵8+9＞10， ∴长度为8cm，9cm，10cm的三条线段能构成三角形． 故答案为：能． 【举一反三3】小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米． （1）请用含m的式子表示第三条边长； （2）第一条边长能否为10米？为什么？ 【答案】解：（1）∵第一条边长为m米，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米 ∴第二条边长为（2m﹣3）米， ∴32﹣m﹣（2m﹣3）＝（35﹣3m）米； ∴第三条边长为（35﹣3m）米； （2）不能， 因为当m＝10时，三边长分别为10，17，5， 由于10+5＜17，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米． 【题型5】利用三角形三边之间的关系进行判断 【典例】已知等腰三角形的两边a，b满足(a－4)2＋|b－8|＝0，则等腰三角形的周长为(　　) A.12   B.16 C.20   D.16或20 【答案】C 【解析】 ∵等腰三角形的两边a，b满足(a－4)2＋|b－8|＝0， ∴ 解得 若8是腰长，则三角形的三边长为8，8，4， 能组成三角形，周长为8＋8＋4＝20； 若8是底边长，则三角形的三边长为4，4，8， ∵4＋4＝8，∴不能组成三角形. 综上所述，等腰三角形的周长为20. 【举一反三1】若△ABC的边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】C 【解析】设这个三角形的最大边长为a，最小边是b． 根据已知，得a+b＝7． 因为边长都是整数， 所以a， b有6，1；5，2；4，3三种可能， 根据三角形的三边关系可知只有5，2；4，3分别能与4组成三角形，所以最长边 a＝5， 故选：C． 【举一反三2】如图，四边形ABCD为长方形，从A到C有两条路线：第一条是从A→E→C；第二条是从A→B→C；其中较短的是　　． 【答案】A→E→C． 【解析】∵四边形ABCD为长方形， ∴AD+CD＝AB+BC， ∵三角形中两边之和大于第三边， ∴AB+BE＞AE， ∴AB+BE+CE＞AE+CE， 故答案为A→E→C． 【举一反三3】如图，填空： 由三角形任意两边之和大于第三边， 得AB+AD＞　     　； PD+CD＞　     　． 将不等式左边、右边分别相加， 得AB+AD+PD+CD＞　        　， 得AB+AC＞　        　． 【答案】BD；PC；BD+PC；PC+BP． 【解析】如图，由三角形任意两边之和大于第三边， 得AB+AD＞BD； PD+CD＞PC． 将不等式左边、右边分别相加， 得AB+AD+PD+CD＞BD+PC， 得AB+AC＞PC+BP． 故答案为：BD；PC；BD+PC；PC+BP． 【举一反三4】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数． 若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状 【答案】等边三角形 理由： ∵|a﹣b| |b﹣c|0 又∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0 ∴|a﹣b|=0，|b﹣c|＝0 ∴a=b，b=c ∴a=b=c ∴△ABC是等边三角形 【题型6】利用三角形三边之间的关系判断第三边的取值范围 【典例】已知△ABC中，有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为(　　) A.11 B.12 C.13 D.11或13 【答案】D 【解析】设第三边长x， ∴5-2<x<5+2， ∴3<x<7， ∵△ABC的第三边长是偶数， ∴x=4或6， ∴此三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13. 【举一反三1】如图，x的值可能为（　　） A.10 B.9 C.7 D.6 【答案】B 【解析】由三角形三边关系可得： 在上面三角形中7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10， 在下面三角形中11﹣4＜x＜11+4，即7＜x＜15， 故7＜x＜10． 故选：B． 【举一反三2】木工要做一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为12cm和5cm，则不能作为第三根木条长度的为（　　） A.6cm B.9cm C.13cm D.16cm 【答案】A 【解析】由三角形的三边关系得：12﹣5＜x＜12+5， 即7＜x＜17， ∴只有6cm不适合． 故选：A． 【举一反三3】已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a＝　　． 【答案】3 【解析】根据三角形的三边之间的关系得：3﹣2＜a＜3+2， ∴1＜a＜5， ∵a为奇数， ∴a＝3． 故答案为：3． 【举一反三4】某市木材市场上木棒规格与价格如下表： 小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根． （1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ （2）在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？ 【答案】解：（1）设第三根木棒的长度为xm， 根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5+3， 解得2＜x＜8， x＝3，4，5，6共4种， ∴有4种规格木棒可供小明的爷爷选择； （2）根据木棒的价格可得选3m最省钱． 【举一反三5】若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 【答案】解　设第三边的长为x， 根据两边之和大于第三边，得x<2+7，即x<9， 根据两边之差小于第三边，得x>7-2，即x>5， 所以x的值大于5小于9，又因为它是奇数， 所以x只能取7. 【题型7】利用三角形三边之间的关系进行化简 【典例】已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝　　． 【答案】0 【解析】∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，a+b-c＞0， ∴原式 ＝（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）， ＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c， ＝0， 故答案为：0． 【举一反三1】已知a，b，c是三角形的三边，化简：++=　　　.  【答案】a+b+c 【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边， 得a-b-c<0，b-a-c<0，c-a-b<0. 则++ =-(a-b-c)-(b-a-c)-(c-a-b) =-a+b+c-b+a+c-c+a+b =a+b+c. 【举一反三2】若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|2b+c|． 【答案】解：∵a、b、c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b＜c+a， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣b+c+a+2b+c＝2a+2b+c． 【举一反三3】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【答案】解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11； 当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13， 综上所述，△ABC的周长为11或13； （2）∵△ABC的边长为a，b，c， ∴a+c＞b， ∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c| ＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c ＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c ＝a+b+c． 【题型8】判断组成的三角形的个数 【典例】三角形的边长都是整数，并且唯一的最长边是6，则这样的三角形共有（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.12个 【答案】B 【解析】当两边长分别为6，5时，1＜第3边＜6，可取2，3，4，5共4个数； 当两边长为6，4时，2＜第3边＜6，可取3，4，5共3个数； 当两边长为6，3时，3＜第3边＜6，可取4，5共2个数； 当两边长为6，2时，4＜第3边＜6，可取5一个数； 去掉重合的6，5，4；6，5，3；6，5，2；6，4，3，4组， 这样的三角形共有4+3+2+1﹣4＝6（组）． 解法二：列举法：符合条件的三角形有：6，5，5；6，5，4；6，5，3；6，5，2；6，4，4；6，4，3； 故选：B． 【举一反三1】设一个三角形的三边长为正整数a，n，b，其中b≤n≤a．则对于给定的边长n，所有这样的三角形的个数是（　　） A.n B.n+1 C.n2+n D. 【答案】D 【解析】若n＝1时，三角形有一个1，1，1； 若n＝2时，三角形有3个1，2，2；2，2，2；2，2，3； 若n＝3时，三角形有6个1，3，3；2，3，3；2，3，4；3，3，3；3，3，4；3，3，5； 根据特例分析，若n＝n时，有n（n+1）个三角形． 故选：D． 【举一反三2】老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】设从10.5cm的小木棍上裁剪的线段长度为x cm， 根据三角形的三边关系可知9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14， ∴整数x的值为5cm、6 cm、7 cm、8cm、9cm、10cm， ∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 【举一反三3】若一个边长都是整数的三角形周长是15cm，则满足条件的三角形有　　种． 【答案】7 【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 这样的三角形的三边长分别为： 5，5，5； 4，5，6； 3，5，7； 4，4，7； 1，7，7； 2，6，7； 3，6，6共有7个． 故答案为：7． 【举一反三4】一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？ 【答案】解：设 a＜b＜c，则a+b+c＞2c，即 2c＜12，所以 c＜6． 因为c为最长边且三角形是不等边三角形所以有4＜c＜6． 因为a，b，c 都是正整数， 只有c＝5时，a＝3，b＝4，符合条件． 于是符合条件的三角形共有1个． 【题型9】利用三角形三边之间的关系求三角形的周长 【典例】在△ABC中，AB＝10，BC＝2，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 【答案】C 【解析】根据三角形的三边关系得： 10﹣2＜AC＜10+2， 即8＜AC＜12， ∵AC为偶数， ∴AC＝10， ∴△ABC的周长为：10+10+2＝22， 故选：C． 【举一反三1】有四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（　　） 甲：x的取值可能有4个； 乙：组成的三角形中，周长最大为16 A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.甲正确，乙不正确 D.甲不正确，乙正确 【答案】D 【解析】其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四种情况， 由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7，即x＝4或5或6． ①当三边为3、4、6时，其周长为3+4+6＝13； ②当x＝4时，周长最小为3+4+4＝11，周长最大为4+6+4＝14； ③当x＝5时，周长最小为3+4+5＝12，周长最大为4+6+5＝15； ④若x＝6时，周长最小为3+4+6＝13，周长最大为4+6+6＝16； 综上所述，x的取值可能有3个，三角形周长最大为16． 故选：D． 【举一反三2】四根长度分别为3cm、7cm、10cm、14cm的钢条，以其中三根的长为边长，焊接成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（　　） A.31cm B.27cm C.24cm D.20cm 【答案】A 【解析】其中的任意三条组合有3cm、7cm、10cm；3cm、7cm、14cm；3cm、10cm、14cm；7cm、10cm、14cm四种情况． 根据三角形的三边关系，则只有7cm、10cm、14cm符合，故周长是31cm． 故选：A． 【举一反三3】已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋3b2－4a－18b＋29＝0，则△ABC的周长为　　　　. 【答案】 7 【解析】 ∵2a2＋3b2－4a－18b＋29＝0， ∴2(a－1)2＋3(b－3)2＝0， ∴a－1＝0，b－3＝0， 解得a＝1，b＝3， ∵3－1<c<1＋3， ∴2<c<4， ∵c是正整数， ∴c＝3， ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝7. 【举一反三4】已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1 （1）试说明b一定大于3； （2）若这个三角形周长为22，求a、b、c． 【答案】解：（1）∵a＝b+2，b＝c+1， ∴b＝a﹣2，b＝c+1， ∴a﹣2＝c+1， a﹣c＝3， ∴b一定大于3； （2）∵b＝c+1， ∴c＝b﹣1， ∴b+2+b+b﹣1＝22， 解得b＝7， ∴a＝b+2＝9， c＝b﹣1＝6． 【举一反三5】已知三角形的两边长分别为5cm和2cm，第三边的长是偶数，求第三边的长以及三角形的周长． 【答案】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系可得：5﹣2＜a＜5+2． 即：3＜a＜7， 由于第三边的长为偶数， 则a可以为4cm或6cm． ∴三角形的周长是 2+5+6＝13cm或2+5+4＝11cm． 【题型10】利用三角形三边之间的关系求等腰三角形的腰或底的值或取值范围 【典例】已知等腰三角形两边的长分别是3和5，求此等腰三角形的周长． 小明的解答过程如下：“当3是腰长时，底边长为5，则三角形周长为：3+3+5＝11； 当5是腰长时，底边长为3，则三角形周长为：3+5+5＝13．” 小明的解答方法体现的数学思想是（　　） A.方程思想 B.分类讨论思想 C.公理化思想 D.转化思想 【答案】B 【解析】小明的解答方法体现的数学思想是分类讨论思想． 故选：B． 【举一反三1】如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（　　） A.5 B.8 C.9 D.16 【答案】D 【解析】A、当x＝5时，5+5＜16，5，5，16不能组成三角形，不符合题意； B、当x＝8时，5+8＜16，5，8，16不能组成三角形，不符合题意； C、当x＝9时，5+9＜16，5，9，16不能组成三角形，不符合题意； D、当x＝16时，5+16＞16，8+9＞16，符合题意； 故选：D． 【举一反三2】若等腰三角形的一边长为3 cm，周长为15 cm，则此等腰三角形的底边长是(　　) A.3 cm或9 cm B.9 cm C.3 cm D.3 cm或6 cm 【答案】C 【解析】当长是3 cm的边是底边时，腰长为=6(cm)，三边为3 cm，6 cm，6 cm的等腰三角形成立； 当长是3 cm的边是腰时，底边长是15-3-3=9(cm)，而3+3<9，不满足三角形的三边关系. 故底边长是3 cm. 【举一反三3】以15为腰的等腰三角形，底边a的范围是　         　． 【答案】0＜a＜30． 【解析】∵等腰三角形的腰长为a， ∴底边a的取值范围为：0＜a＜15+15，即0＜a＜30． 故答案为：0＜a＜30． 【举一反三4】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰△ABC的腰长为　　　　　. 【答案】 4或8 【举一反三5】把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米． 若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值． 【答案】解：①当边长为x米的边为等腰三角形的底时，x+4+4＝18， 解得，x＝10， ∵10＞4+4， ∴x＝10，不合题意，舍去． ②当边长为4米的边为等腰三角形的底时，2x+4＝18， 解得，x＝7．此时能组成三角形 综上所述，x的值是7． 【题型11】认识三角形的高 【典例】在钝角△ABC中，若其三条边上的高相交于点O，则点O在△ABC的（　　） A.内部 B.外部 C.边上 D.无法确定 【答案】B 【解析】钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点， 故选：B． 【举一反三1】图中能表示△ABC的边BC上的高的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】题中需要画△ABC的边BC上的高.应当过顶点A向BC边作垂线AE，顶点A到垂足E的垂线段就为BC边上的高.钝角三角形钝角两夹边的高在三角形的外部. 【举一反三2】如图，AD⊥BC于D，GC⊥BC于C，CF⊥AB于F，图中是△ABC的高的线段有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】B 【解析】∵AD⊥BC于D， ∴AD是BC边上的高， ∵CF⊥AB于F， ∴CF是AB边上的高， 综上，图中是△ABC的高的线段有2条. 【举一反三3】在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是　　条． 【答案】0或2． 【解析】∵当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内． ∴三角形的三条高中，在三角形外部的最多有2条． 故答案为：0或2． 【举一反三4】如图所示的三个△ABC中的∠ABC有什么不同？这三个△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 【答案】解：图（1）中的∠ABC是锐角，图（2）中的∠ABC是直角，图（3）中的∠ABC是钝角； 图（1）中△ABC的边BC上的高AD在三角形的内部，图（2）中△ABC的边BC上的高AD在三角形的边上，图（3）中△ABC的边BC上的高AD在三角形的外部； 规律：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【题型12】画出三角形的高 【典例】下面作三角形最长边上的高正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，BC边上的高线画法正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【举一反三2】如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF交BC于点G，可得线段AG一定是△ABC的(　　) A.中线   B.高线 C.角平分线   D.垂直平分线 【答案】B 【解析】 根据题意得AF是线段DE的垂直平分线，即AG⊥BC， ∴线段AG一定是△ABC的高线. 【举一反三3】画△ABC中AB边上的高，如图的画法中正确的是　   　． 【答案】③ 【解析】根据三角形的高的定义，可知①②④都错误，只有③正确． 故答案为③． 【举一反三4】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是   　． 【答案】C 【解析】∵三角形的三边为4，9，12， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故答案为：C． 【举一反三5】（1）探究：分别画出如图所示的各个三角形的3条高； （2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形 　　；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是 　　；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形 　　． 【答案】解：（1）如图所示； （2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形三角形内部一点； 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点； 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外部一点， 故答案为：三角形内部一点；直角顶点；外部一点． 【题型13】利用三角形的高求面积 【典例】如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积（　　） A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 【答案】C 【解析】如图，∵a∥b， ∴a，b之间的距离是固定的， 而△ABC的高和这个距离相等， 所以△ABC的高、底边都是固定的， 所以它的面积不变． 故选：C． 【举一反三1】如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（　　） ①线段AB的长 ②△PAB的周长 ③△PAB的面积 ④∠APB的度数 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】A 【解析】∵点A、B为定点， ∴线段AB的长为定值； ∵直线l∥AB， ∴直线l到线段AB的距离为定值， ∴△PAB的面积为定值． ∴不会随点P的移动而变化的是①③． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知：△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位长度到△DEF的位置，若四边形ABFD的面积为32，则m的值为 　　． 【答案】4． 【解析】如图，过点A向BC作垂线，垂足为H， ∵△ABC的面积＝16，BC＝8， ∴BC×AH＝16， ∴8×AH＝16， 解得AH＝4， ∵△ABC沿BC向右平移m个单位长度到△DEF的位置， ∴AD＝BE＝CF＝m， 又∵四边形ABFD的面积为32， ∴32 4＝32 ∴m＝4， 即m的值是4． 故答案为：4． 【举一反三3】如图，三角形ABC的面积为8，∠ACB＝90°，把三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC长的2倍，则四边形ABED的面积为 　　． 【答案】32． 【解析】连接AE，如图， ∵三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC长的2倍， ∴AD＝BE＝2BC，AD∥BF， ∴S△ABE＝S△EAD＝2S△ABC＝2×8＝16， ∴四边形ABED的面积＝S△ABE+S△EAD＝32． 故答案为：32． 【题型14】利用三角形的高求长度 【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是AB边上的高，若AB＝3，S△ADC＝6，则CE的长度为（　　） A.4 B.8 C.7 D.6 【答案】B 【解析】∵AD是BC边上的中线，S△ADC＝6， ∴S△ABCAB•CE3×CE＝2S△ADC＝12， ∴CE＝8； 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为（　　） A.1 B. C.2 D.4 【答案】C 【解析】∵AD⊥BC，AD＝3，S△ABC＝6， ∴BC•AD＝6， ∴BC•3＝6， ∴BC＝4， ∵AE是BC边上的中线， ∴BEBC＝2， 故选：C． 【举一反三2】如图所示，AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB＝6，BC＝5，AD＝4，则CE＝　　． 【答案】． 【解析】根据题意得，S△ABCAB×CEBC×AD， 所以CE． 故答案为． 【举一反三3】如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【答案】解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B ∴∠B+∠BCD＝90° ∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB， ∴CD是△ABC的高； （2）∵∠ACB＝∠CDB＝90° ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴CD． 【举一反三4】如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，BE＝5． （1）若△AEC的面积为20，求AD的长； （2）若S△ABD：S△ADC＝2：3，求DE的长． 【答案】解：（1）∵AE是△ABC的中线， ∴CE＝BE＝5， ∵△AEC的面积为20， ∴CE•AD＝20， ∴5×AD＝20， ∴AD＝8； （2）∵S△ABD：S△ADC＝2：3， ∴BD：CD＝2：3， ∵AE是△ABC的中线， ∴BC＝2BE＝10， ∴BD+CD＝10， ∴BD＝4，CD＝6， ∴DE＝CD﹣CE＝6﹣5＝1． 【题型15】认识三角形的中线 【典例】对于一个三角形的三条中线的位置，下列说法正确的是（　　） A.都在三角形内 B.都在三角形外 C.有的可能在三角形内，有的也可能在三角形外 D.有的可能与三角形的某一边重合 【答案】A 【解析】三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线，所以，一定都在三角形内． 纵观各选项，只有A选项正确． 故选：A． 【举一反三1】根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为△ABC的(　　) A.角平分线 　　 B.中线 C.高线 　　 D.都有可能 【答案】B 【解析】由作图的痕迹可知，点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线. 【举一反三2】画出三角形所有的中线，边BC上的中线是　　；边AC上的中线是　　；边AB上的中线是　　 【答案】AD；BE；CF． 【解析】如图所示： 找出BC中点D，连接AD，边BC上的中线是AD； 找出AC中点E，连接BE，边AC上的中线是BE； 找出AB中点F，连接CF，边AB上的中线是CF． 故答案为AD；BE；CF． 【举一反三3】如图，D、E是边AC的三等分点，则BD是三角形　　中　　边上的中线，BE是三角形　　中　　边上的中线． 【答案】ABE；AE；BCD；CD 【解析】BD是三角形ABE中AE边上的中线，BE是三角形BCD中CD边上的中线． 故答案为：ABE；AE；BCD；CD． 【题型16】利用三角形的中线求长度 【典例】如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（　　） A.3cm B.6cm C.12cm D.无法确定 【答案】B 【解析】∵CD是AB边上的中线， ∴AD＝DB， ∴△ACD的周长﹣△BCD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm）， 故选：B． 【举一反三1】如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（　　） A.7cm B.6cm C.5cm D.4cm 【答案】C 【解析】∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm， ∴BMAB＝5cm， 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 　　cm． 【答案】6． 【解析】∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， ∵△ADC的周长比△ABD的周长多2cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AD+DB+AB）＝2cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∵AB＝4cm， ∴AC＝6cm， 故答案为：6． 【举一反三3】如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的中线，若AE=5，BF=6，且△ABC的周长为32，求BC的长. 【答案】解　∵BE，CF分别是AC，AB边上的中线，AE=5，BF=6， ∴AC=2AE=10，AB=2BF=12， ∵△ABC的周长为32， ∴AB+AC+BC=32， ∴BC=32-10-12=10. 【举一反三4】如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长． 【答案】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2BD＝2CD， ∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7， ∴AB+BC+AC＝9，AB+BD+AD＝8，AC+CD+AD＝7， ∴（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）＝8+7﹣9， ∴2AD＝6， ∴AD＝3． 【题型17】利用三角形的中线求面积 【典例】如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，连接AE，CE，且△ABC的面积为24cm2，则S阴影部分＝（　　） A.12cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.16cm2 【答案】A 【解析】∵BD是边AC上的中线， ∴AD＝CD， ∴， 又∵， ∴， ∵E是BD的中点， ∴BE＝DE， ∴，， ∴， 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E，F分别为线段AD，BC的中点，连接BE，CE，EF，已知S△ABC＝32，S△BED＝7，则△DEF的面积为（　　） A.25 B.9 C.2 D.1 【答案】D 【解析】∵E为线段AD的中点， ∴，， ∴， ∵F为线段BC的中点， ∴， ∴S△DEF＝S△BEF﹣S△BED＝8﹣7＝1． 故选：D． 【举一反三2】如图，△ABC中．AE⊥BC于E，AD为BC边上的中线．DF为△ABD中AB边上的中线．已知AB＝8cm，AC＝5cm，△ABC的面积为8cm2，则 （1）△ABD与△ACD的周长之差是　　； （2）△ABD的面积是　　； （3）△ADF的面积是　　． 【答案】（1）3cm；（2）4cm2；（3）2cm2． 【解析】（1）∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3cm； （2）∵AD为BC边上的中线， ∴△ABD的面积△ABC的面积＝4cm2； （3））∵DF为BC边上的中线， ∴△ADF的面积△ABD的面积＝2cm2， 故答案为：（1）3cm；（2）4cm2；（3）2cm2． 【举一反三3】如图所示，在△ABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC=6 cm2，则阴影部分的面积为　　　 cm2.  【答案】 【解析】∵点D为BC的中点， ∴S△ABD=S△ABC=3(cm2)， ∵点E为AD的中点， ∴S阴影=S△ABD=(cm2). 【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线.求证：△ABD和△ADC的面积相等. 【答案】证明　如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H.AH是△ADC的高，也是△ABD的高. 因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC. 又因为S△ABD=BD·AH，S△ADC=DC·AH. 所以S△ABD=S△ADC. 【题型18】求面积的综合 【典例】如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5为 A.205-1 B.205 C.195+1 D.195 【答案】D 【解析】如图，连接A1C，过点C作CD⊥AB于点D，过点A1作A1E⊥B1E于点E， ∵A1B=2AB，B1C=2BC， ∴A1A=AB+A1B=3AB，BB1=BC+B1C=3BC， ∵S△ABC=AB·CD=1=BC·A1E， ∴=AA1·CD=AB·CD=3=BB1·A1E=BC·A1E， ∴=-S△ABC=2， ∴=3=6， 同理可得==6， ∴=S△ABC+++=19， 同理可得=19·=192， 依此类推，S5==195. 【举一反三1】如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB＝2OD，连接AO并延长交BC于点E．若△BOE的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】C 【解析】如图，连接DE， ∵OB＝2OD， ∴S△BOE＝2S△DOE，S△AOB＝2S△AOD， ∵△BOE的面积为2， ∴S△DOE＝1， 设S△AOD＝a， 则S△AOB＝2a， ∴S△ADB＝S△AOD+S△AOB＝a+2a＝3a， ∵BD是△ABC的中线， ∴S△ADB＝S△CDB，S△ADE＝S△CDE， ∵S△CDE＝S△AOD+S△DOE＝a+1， ∴S△CDE＝a+1， ∴S△CDB＝S△BOE+S△DOE+S△CDE＝2+1+a+1＝4+a， ∴3a＝4+a， 解得a＝2， ∴S△ADB＝S△CDB＝6， ∴S△ABC＝S△ADB+S△CDB＝12， 故选：C． 【举一反三2】如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝　　． 【答案】2 【解析】∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点， ∴AD＝DB，AF＝CF， ∴△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积， ∴设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝四边形ADGF的面积， ∵△ABC的面积为6，AG：GE＝2：1， ∴四边形ADGF的面积， ∴S1+S2＝2， 故答案为：2 【举一反三3】如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，EC＝3BE，D是边AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝　　． 【答案】6． 【解析】∵EC＝3BE， ∴S△AECS△ABC24＝18， ∵点D是AC的中点， ∴S△BCDS△ABC24＝12， ∴S△AEC﹣S△BCD＝6， 即S△ADF+S四边形CEFD﹣（S△BEF﹣S四边形CEFD）＝6， ∴S△ADF﹣S△BEF＝6． 故答案为：6． 【题型19】三角形的角平分线 【典例】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　） A.AD是△ABE的中线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的高线 D.AE是△DAF的中线 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 即∠BAE＝∠CAE， ∴AE是△ABC的角平分线， 故选：B． 【举一反三1】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论错误的是（　　） A.AD是△ABC的角平分线 B.CE是△ACD的角平分线 C.∠3∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 【答案】D 【解析】∵∠1＝∠2， ∴AD是△ABC的角平分线，故选项A正确； ∵∠3＝∠4， ∴CE是△ACD的角平分线，∠3∠ACB， 故选项B、C正确，选项D说法错误． 故选：D． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则点D到BC的距离是(　　) A.3   B.4 C.5   D.6 【答案】D 【解析】 如图，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD＝6， ∴DE＝AD＝6. 【举一反三3】如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝　　　　　. 【答案】 58° 【解析】 如图，延长AD交BC于点E， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠EBD， ∵AD⊥BD， ∴∠BAD＝∠BED＝∠DAC＋∠C＝20°＋38°＝58°. 【举一反三4】如图1，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线交于点D. (1)若∠A=70°，则∠BDC=　　　　　　　　；  (2)从上述计算中，我们能发现：∠BDC=　　　　　　　　　　　　　(用含∠A的代数式表示)；  (3)如图2，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线交于点A1，请用含∠A的代数式表示∠A1，并说明理由； (4)如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线交于点A1，∠A1BC的角平分线和∠A1CD的角平分线交于点A2，如此继续下去，可得A3，A4，…，An，请写出∠An与∠A的数量关系为　　　　　　　　　　　　　.(直接写出结果即可)  【答案】解　(1)∵∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线交于点D， ∴∠CBD=∠CBA，∠BCD=∠BCA， ∵∠A=70°， ∴∠CBA+∠BCA=180°-70°=110°， ∴∠CBD+∠BCD==55°， ∴∠BDC=180°-=180°-55°=125°. (2)由(1)得出∠BDC=180°-=90°+∠A. (3)∠A1=∠A.理由如下：依题意，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠CBA1=∠A1CD， ∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠CBA1， ∵∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线交于点A1， ∴∠A1CD=∠ACD，∠CBA1=∠ABC， ∴∠A1=∠A1CD-∠CBA1=∠ACD-∠ABC=， ∴∠A1=∠A. (4)依题意，∠A1+∠CBA1=∠A1CD，∠A2+∠A2BC=∠A2CD， ∴∠A1=∠A1CD-∠CBA1，∠A2=∠A2CD-∠A2BC， ∵∠A1BC的角平分线和∠A1CD的角平分线交于点A2， ∴∠A2CD=∠A1CD，∠CBA2=∠A1BC， ∴∠A2=∠A2CD-∠CBA2=∠A1CD-∠A1BC=， ∴∠A2=∠A1， 由(3)可知， ∠A1=∠A， 则∠A2=∠A1=∠A， 同理得∠A3=∠A2=∠A， … 以此类推，得∠An=∠A. 【题型20】角平分线、中线、高的综合 【典例】三角形的高线、中线、角平分线都是(　　) A.直线 B.线段 C.射线 D.以上情况都有 【答案】B 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是(　　) A.∠ABF＝∠CBF    B.∠ABC＝∠CAD C.S△ABE＝S△ACE    D.AF＝CF 【答案】D 【解析】 ∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＋∠BAD＋∠ADB＝180°， ∴∠ABC＋∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴BE·AD＝CE·AD， 即S△ABE＝S△ACE， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线， ∴选项D结论错误，符合题意. 【举一反三2】如图所示，∠BAD＝45°，AE＝4cm． （1）如果AD是△ABC的角平分线，那么∠DAC＝　      　； （2）如果AE＝CE，那么线段BE是△ABC的　     　，AC的长为　      　； （3）如果AF是△ABC的高，那么图中以AF为高的三角形有　   　个． 【答案】（1）45°；（2）中线，8cm；（3）6． 【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝∠BAD＝45°； （2）∵AE＝CE， ∴线段BE是△ABC的中线，AC＝2AE＝2×4＝8cm； （3）以AF为高的三角形有：△ABD、△ABF、△ABC、△ADF、△ADC、△AFC共6个． 故答案为：（1）45°；（2）中线，8cm；（3）6． 【举一反三3】根据条件画图，并回答问题： （1）画一个锐角△ABC（三边均不相等）； （2）作出BC边上的中线AE和高AD； （3）写出两个以AD为高的三角形． 【答案】解：（1）如图所示：△ABC即为所求的三角形． （2）如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，AD即为BC边上的高线； 取BC的中点E，连接AE，线段AE即为BC边上的中线； （3）如图所示，以AD为高的三角形可以是：△ABC、△ABD． 学科网（北京）股份有限公司 $