重难专题03 几类高考常考函数（对勾函数、飘带函数一次分式函数、高斯函数与狄利克雷函数）（十种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦高考常考函数专题，系统梳理对勾函数、飘带函数、一次分式函数、复合函数及高斯函数等十大题型，涵盖定义、性质、解题步骤与典型例题，构建完整的函数知识网络。 清单通过题型脑图归纳重难考法，考法深研模块提炼解题技能，如对勾函数单调性分区间总结、复合函数转化为基本模型的方法，培养学生数学思维与模型观念。例题覆盖选择填空解答题，配易错点提示，助力学生高效自主复习，教师可依此设计专题训练提升备考针对性。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题03几类高考常考函数 题型脑图•重难考法归纳 题型1对勾函数 题型6一次分式函数 题型2含对勾函数的分段函数 题型7一次分式型复合函数 题型3对勾型复合函数 题型8最值函数 几类高考常考函数 题型4飘带函数 题型9高斯函数 题型5飘带型复合函数 题型10狄利克雷函数 考法深研•解题技能通关 题型01对勾函数 点方法技巧 6 f(x)=ax+ 对勾函数：形如 x(其中ab>0)的一类函数， 00,1 定义域： x≠0} 奇偶性：奇函数；渐近线：y轴和直线y=心；单调性：在 和 b b +00 a 上单调递增， 在 上单调递减。 1. (多选) (25-26高一上·云南昭通期末)已知函数f)=x+ x, 下列说法正确的是() A.f)的定义域为xx≠Oy B.f(x)的值域为R c.f(x)为奇函数 D.f(x)在(l,+o)上单调递增 1/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 _n+1 2Sn+10 2.(2026湖南长沙三模)设数列a,的前n项和为S4=山且， ”则an的最小值为 () 1 2 15 A.2 B.210+1 c.3 D.2 an 3.(2026重庆三模)己知数列a}满足 a=2a.+1,4=l,已知数列b}满足 bn-bn1=-(n≥2) bn+13 6=1,则n的最小值为 .(2026高三下全国专题练习)函数了三，0<x≤3 /(6-x,3<x<6f()=m有 有四个不等的实数根 x,x2,x3,x4(出<x3<x3<4 时，不等式4-)++巧-18> 恒成立，则实数的最小值是一 [er,x≤0 5(2a6无#红新二接)板蛋领/儿付+3>0，名，=内-0有四个不同的零点，从小大然 x 成，则 次为 +%+的取值范围为一 6.(2026四川成都模拟预测)已知函数 (x)=r2+1 bx,(b>0) (1)a=1,b=2,求函数值域： 2讨论()的单调区间， B倒证明：当a=b=1时，不等式/(]/(r22-2meN)对任意x∈(，0u0,+o)恒成立. 题型02 含对勾函数的分段函数 点方法技巧 2/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此类函数由两部分构成，对勾函数段和其它函数段。 解题步骤：1.画图辅助；2.分段分析；3.衔接点验证：4综合结论。 常见考查题型：1.求参数范围；2.求最值/值域；3.单调区间讨论。 a-x,x<0 (x)= 1.(2026江西南昌二模)已知函数 x+4,x>0在定义域内有最小值，则实数。的取值范围是 () A.（-0,2] B.[2,+oo) c.（-0,41 D.[4,+o) f(x)= 32 x≥a 2.(2026湖南常德·一模)已知函数 -x-5,x<。在R上单调递减，则。的最小值是 () 1 A.2 B.2 C.2W6 D.5 9 3.(2026广东茂名二模)已知函数 (x)= x+- ,x<0 -x+a,x>0在定义域内有最大值，则实数的取值范围是 () A.6,+o) B（∞，-6] c.(∞，3] D.3.+) x+ax<I 2 4. (2324高二下山西晋城期末)若(x)= 1 、1是R上的增函数，则实数a的取值范围为 ax+ +1,x 2x () A.(,2) 8(2,3) c.2,3] D.[2,+oo) 3/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2xe(∞，2) ax+ 5.(23-24高一上广东珠海阶段检测)若函数(x)= x+a+2a,xe[2,+o 在上单调递增，则的取值 R a 范围为() A.(0,41 8.2引 C.[14] D.2,+o) x+ ,x<0 6.(多选)(25-26高三上广东佛山阶段检测)函数/(x)= 之0·关于的方程 3x x ()mf(x=0(m∈R),下列说法正确的是() A.函数f()的值域为 B.函数的单调减区间为 1,0）(1,+∞) C.当m=2时，则方程有6个不相等的实数根 3 D、若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是(。，+“ 题型03对勾型复合函数 点方法技巧 对勾型复合函数通常指两类在高中数学中高频出现的函数结构：一类是对勾函数本身作为内层或外层构 成的复合函数，另一类指形如对勾函数但由二次函数与反比例函数组合而成的广义“双勾”型复合函 数。 y =logx+ v= x+- 内层为对勾函数：如 或 等。 4/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x2+1+1 y=t+- 外层为对勾结构：如 x2+1,此时将t=x2+1视为整体，转化为 t的对勾模型求 解。 1.(2026湖北二模)已知函数 ()e21 e+2,则该函数的值域为() D.(-l,+o) 2.(多选)(2425高一上广东湛江阶段检测)已知不等式x2--a+1≥0在x∈[0,3]上有解，则实数a 的取值可以为() A.a=2 8.a=3 2 C.a=3 D.a=5 f)=++x 3.(多选)(25-26高一上重庆期中) 士+中+1，则下列结论正确的是（) A.f是奇函数 B.当x>0时， f()>x恒成立 c.f(x)值域为 me D.若>06>0*5，且f)=f),则+2225 =32+1+3 4.（多选)(25-26高一上山西忻州期末)己知函数 )+3+1,则下列结论正确的是 () A.f(x)是偶函数 B.f(x)在(0，+o)上单调递增 C.f(x)的值域为[3，+o) 0.>0*与.且)-=则25 5/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 5.（多选)(23-24高一上广东广州期末)已知函数f冈=c+。,且 a=fog,2),b=(og,3,c=f0,则(） A.y=f9的图象关于直线x=1对称B.y=f()在(o,0上单调递减 C.a>b>c D.b>a>c 6（25-26高一上北京期中)函数（x=2-x二x∈07 的值域为一 (2026高三全国专题练习)关于函数（)三g(x≠0，xER ）,有下列命题：①函数y=f)的图 象关于y轴对称：②当x>0时，f(四是增西数，当x<0时，f四是诚函数，③数四的最小值是g2】 ④当-1<x<0或x>1时，(x)是增函数.其中正确命题的序号是 (把你认为正确的 序号都填上) 8.(2425高三上上海期中)已知函数f(x)=a-2+ 2是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值： 2尼知关于的方程2产V()+2列大=0在G0,)上有解，求实数k的取值范园， 9.(2425高三上·上海杨浦开学考试)已知函数f)=2+ 2*,其中a为实常数. (1)若f(0)=7,解关于x的方程f()=5: (2)讨论函数(x)的奇偶性： (3)当a=l时，用定义证明函数w)在0，+W)上是严格增函数，并解不等式 (2x)>f(x+1) 题型04飘带函数 6/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点方法技巧 飘带函数：形如 =ax+b (其中b<0)。定义域：钟≠0，奇偶性：奇函数：渐近线：y销和 直线y=ax:单调性：在人o,0)和0，+0)上单调递增；值域：人0，+0）】 1. (2026高三·全国·专题练习)下列结论正确的是() 1 Igx+ 22 x+≥2 A.当x>0且x≠1时， lgx B.当x>0时， 1 C.当x≥2时，x+的最小值为2 D.当0<x≤2时女无最大准 [ax+l,x≤2 f(x)= 2.(2026河北保定·二模)已知函数 >2在R上单调递增，则实数a的取值范围为（） c 。 x+2m-1,x≥1 f(x)= x 3.(24-25高一上浙江杭州期末)，已知函 (m+l)x-1,x<1在R上单调递增，则实数心的取值 范围为() A.（-1,0] B.[0,] D.[0,+∞] 3.(多选)(2021高一下湖南阶段检测)已知函数(=x-1,则（) A.f儿四为奇函数 B.f()在定义域内是增函数 C.存在非零实数“使得关于x的方程()=“在H,0U(0内只有一个实银 7/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若对任意re+o）,f(m)+m时()< 恒成立，则m< 4.(2026六三下全国专题练习)已知J侧)生a1,若对任意的正实数a,总存在6L4利，使符 14 f(x)≥m 则实数m的取值范围为() A.（-o,0] B.(-o,] C.(-0,2] D.（-0,3] 题型05 飘带型复合函数 点方位技巧 飘带型复合函数是指将飘带函数作为内层或外层函数，与其他函数复合而成的结构。复合结构形式有两 种：1.飘带函数作为 1.（2026河北秦皇岛一模)已知函数/)=c-a-e 为奇函数，则a=() A.-1 B.0 c.1 D.2 2.(2026河北保定二模)已知函数f()=2026-2026+2,若关于z的不等式 f+<4 在0,2)上有解，则实数m的取值范围为《) A.（-0,-2）B.（-0,-2] c(+w。[+ 3.(多选)(2022福建厦门模拟预测)已知函数 A.f四)是奇函数 B.四)的图象关于点对称 C.f()有唯一一个零点 D.不等武2x+3)>()的解集为(U(6+m) 4.(2526高三下陕西西安阶段检测)已知)=e-。+r是奇两数，则不等式 8/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f1og2）+f(21g,x-3)20的解集是 (25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)己知函激x9 3,函数()是奇函数. (1)求实数a的值： 2若对任意的e(Q,网)，不等式(++f(->0恒成立，求实数k的取值范司. 6.（2627高三上江苏常州阶段检测)己知函数f)=m:2+2 ,其中m∈R 讨论函数（的奇偶性， (2)当m=1时，若存在 (0+o),使符 f(x)=2”+1 成立，求实数的取值范围. 题型06一次分式函数 点 方法技巧 y= ax+b 一次分式函数：形如 cx+d,(a,C≠0)的函数，其图像是有反比例函数平移得到，两条渐近线分别 s、d a d a y= 为 C,对称中心为 cc)。 分离常数法是核心技巧，把函数拆成“常数项+反比例函 y=a+bc-ad 数型项”。变形方法为：用分子配凑分母的倍数，写成cc(cx+)的形式。 1.（多选)(2026甘肃模拟预测)已知函数f)-2x一 x-1,则() A.八四的图象关于点 ,2) 对称 8.f() 的图象关于直线’=-x+3对称 c.f)的值域为←0,2U2,+） D.f(四在定义域上单调递减 x-3 (26-27高三上·重庆阶段检测)已知7x2x/ og,(x-l,x>1则实数满足f[fa]=1' 则满足条 9/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 件的实数a的值的个数为() A.6 B.5 C.4 D.3 x 3.(25-26高二下山西长治期末)己知函数f()= /x-jxs0 In ,若关于的方程 无实根，则 ,x>0 x f(x)=x+a 实数a的取值范围为() D.(0,) f()=1-x 4.(多选)(25-26高一上江苏苏州期中)某数学兴趣小组对函 x+1进行研究，得出如下 结论，其中正确的有() .)+ B.<五，使得f(x)<f() c.的值域为0,2) D.(0,+o,都有 's6s 2 (25-26高三下·甘肃金昌阶段检测)若函数f(x)=心- (1,n2 2x-1的图象关于点（2 对称，则实数a= 6,(2026高三全国·专题练习)已知函数/四十 (1)画出()的草图： (2)由图象指出f(x)的单调区间： (3)设a>0,b>0,c>0,a+b>c,证明：f(@+f⑥>f©. 7.(25-26高二下河北承德·期末)已知函数 是定义在3,3)上的奇函数，满足-)-，当 10/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3<xs0时，f(x)=ar+b x+3· (1)求实数a,b的值； 2求函数（四的解折式 倒若3m-2)+f2m-1）>0 求实数m的取值范围。 题型07一次分式型复合函数 点方法技巧 一次分式型复合函数指由一次分式函数作为内层或外层，与其他函数（如指数、根式、幂函数等）复合 ax+b ax+b 而成的函数。一次分式为内层函数：形如y=e y三 ”或 cx+d;一次分式为外层函数：形如 ag(x)+b V= cg(x)+d,其中8(x)为其他函数。 f(x) 1. (2026·北京·高考真题)下列函数 是奇函数且在定义域上单调递增的是() A.f(网=F+1 1 B.f(x)=sinx C.f(x)=2*-2 D.f(x)=In5+x 5-x 2.(2023新课标Ⅱ卷高考真题)若f()=(x+a)n2x- 2x+1为偶函数，则a=()· 1 A.-1 B.0 C.2 D.1 3,(多选)(2425高一上云南德宏期末)已知函数()=2-3”十，则下列选项正确的是6 A.(冈为R上的奇函数 B。f(☒)在定义域内单调递增 79 C.不等式f(o:2x-l》tf-3)小>0的解华为2m 11/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若函数8()-[（✉订-f)-2,则8(）有且仅有2个零点 4.(多选)(25-26高三上贵州贵阳期中)已知函数” 等，) A.f(h5)>f(血3) B.f(血3)<f2) C.对任意实数x,(列+f()月 D。对任意实数x:f(f)-子 .（多选)2026山东枣庄一模)己知函数x)=e+1.则 A.)为奇函数 B.⊙的信城是 c.f(x)有极值 0农支质a,6,货相a创t的板力 。（多选)（2025四川成都模拟预测)己知函影7e、 e+1,则下列结论正确的是() A.函数的定义域为R B,函数的值域为) c.f()+f(-x)=0 D.函数()为减函数 7(26在三全国专据线习刃已期强数四=吧书a>6>0a0, (1)求x)的定义域： (2)讨论f)的奇偶性： (3)讨论f(的单调性： 8.(25-26高一上·贵州遵义阶段检测)已知 八四=2+1是定义在R上的奇函数 求“的值，并证明（的单调性； 12/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b.2 2)函数f()的图象先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，得到函数 ()=2+2的图象，求b的值 和函数8(9的值城： 9。(25-26高一下安徽安庆期末)已知函数f()=nx 1+x 四求函数() 的定义域，并判断其奇偶性： a1考化-)+f(2>0,求实数'的取值范国； 记知函数8()=r-x+1在区同么+）上单调递减证明： 8)++f8++(a+2n>aeN 恒成立 10.（2025高三上：安徽合肥专题练习)已知函数f(x)=1g2010x 1+x，数列{a}满足 a,=f房a+(22 求数列a的通项公式： 1 2记数列a4的前n项和为7，求证：}子<. 1 题型08 最值函数 点 方法技巧 最值函数：形如y=maxf(r),g(}或y=minf(x,g(}的函数，最值函数一般为分段函数。 y=mxf(),g()}的图像由f(?和g()的图象中位置较高的部分组成。在两个函数的交点处，函 数表达式发生切换。 13/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a,azb 1.(2026湖南邵阳·模拟预测)定义一种运算 ab)=么.a<b,则函数f()-(e*e)的值诚为〈） A.(0) 8.(0, C.too) D.(亿+o) 2.(2526高三全国一轮复习)定义mim{a,6c为a,6c中的最小值，设f()=mim2x+3,r+1,5-3出 则)的最大值是〈) A.1 B.2 C.3 D.5 a,(a≤b) a*b= 3.(2026高三全国专题练习)对任意两实数a、b,定义运算“*”如下： b,(a>b),则函数 f)=log1(3x-2)*og,的值域为() A.（-o0,0] 4.(2026高三全国专题练习)用mxa,)表示a,b两个数中的最大数，设西数 f()=max{←+8x-4,1og,,若函数8()=f儿四)-c有2个零点，则实数k的取值范围是（） 4.(0,3) B.(0,3] c.(0,4) D.[0,41 5.（2526高一上湖南娄底期末)已知（因=x+3,8(闭=(x+,用M(四表示8（中的较大者。 记作M()=max(,8(》M(因的最小值为 题型09 高斯函数（取整函数） 点方法技巧 14/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高斯函数也叫取整函数， 取整函数)表示不大于x的最大整数，且由于对于任意的实数x,对应的函 数值d都是整数，故称函数y=d为取整函数。 1. (2026高三全国·专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称 号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设R,用冈表示 不超过*的最大整数，则'=冈春为高斯函数.例如：3]-42-2 已知函数 小令(-U.则下列收述不正的是长) A8()是偶函数 B.是奇函数 C.f在R上是增函数 D.8(x 的值域是f10叫 2.(2026河南开封模拟预测)高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R, 用 表示不超过x的最大整数，则冈称为高斯函数，例如：【05]=-，几5-= 已知函数 f(x)=42-3x2+40<x<2),则函数y=[f(x]的值域为() A.{l,0,} B.1,2) C.01,2 0.【1,2 3.(2526高-上河南开学考试)已知冈表示不超过实数*的最大整数，函数)- 的部分图象如图所 示，若方程=m+方在0≤x<3有2个解，则o的取值范围是（） 15/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 3 1 .3 5 3 5 3 A.6<a≤ B.98 -<a< 8 C.18<asg 8 <a<8 D.1 4.(2026河南开封模拟预测)高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R, 用 表示不超过x的最大整数，则因称为高斯西数。例如.【0-1，-1 已知函数 f(x)=42-3×2+40<x<2),则函数y=[f(x]的值域为() A.{l,0,} B1,2) C.0,l2 D.【h2] 5.(25-26高二下重庆阶段检测)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子” 的降号，用他名字定义的函数/儿倒冈称为高斯函数，其中因表示不超过×的受大整数，刘1， [-1.6= 2,己知方程 x2-[3x-1=0 ,则方程的解集为() 6,(多选)(2026全国模拟预测)高斯函数冈表示不超过实数x的最大整数，已知函数儿-( 为大于0的实数)，下列说法正确的是() A.若f(2.)=4 则a=2 B,无论“为何值，f冈恒过定点：5别 C.存在“，使()为奇函数 D.f四在0，+o)上单调不减 7(2026商三上全国专题练习)已知xeR,符号 表示不超过的最大整数，若函数 f-月a 有且仅有两个零点，则a的取值范围是（） [12 。引 8.（多选)(25-26高一上江苏南京·阶段检测)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号， 16/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用其名字伦名的“商斯函数”为：设xR,用冈表示不超过产的最大整数，则冈春为“高斯函数”， 如：2]=1，【1.2]=-2=3 又称为“取整函数”设)x-冈，则下列结论正确的是《) A.f(2026.1)=0.1 B.f四的图像关于'轴对称 C.[f(x)≥x-1的解集为(-0,2) 。石因-。司到附该心 9.(多选)(25-26高三上·四川广安阶段检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有 “数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR,用因表示不超过x的辰大整数，如B2316-2.称)=因为商斯脑数，记 f()=-冈，则下列说法正确的是(） Af因的值域为[D) B.f冈+f)sf(x+) C.不等式-4[可+3<0的解集为[2，) ，者6-卧目一点的有e 10,(2026重庆校拟预测)已知冈为不超过实数×的最大整数，如2]-3,25]=2，]=3.若西 数)=i血r+x3,侧r()[/]+[6-]的值域是() A.(2) 8.02} c.红，2,3} D.0,12,3y 1,(2025高一上重庆专愿练习)设x∈R,用冈表示不超过x的最大整数，则'=[闪称为高斯函数， 17/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：2-3.B小-3日商数)-+- x+i2,则函数y=[f(x]的值域是 题型10狄利克雷函数 点方位技巧 1,x∈Q y=f(x)= 狄利克雷函数解析式： O,x∈C2,其中R为实数集，为有理数集。 1.(25-26高二下·河北衡水·期末)德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数 1,x∈Q, D(x)= 1,2 称为狄利克雷函数，其解析式为 0,xEQ.若a+2b=2D()(a,beR),则ab的最小值是 () 9 A 2 B.3 C.4 D.2 1x是有理数 2.（多选)（25-26高一上山东济宁阶段检测)对于狄利克雷函数儿) 0,x是无理数，下列命题中真 命题的有() A.对于任意xeR,都有[/(]=l B.对于任意x∈R,都有f()-f()=0 C,存在x是无理数，使得(x+)=f(x)+1 D.若a<0b>1,则有df>a=树f()<b 3.(多选)(2024全国·模拟预测)著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函 「0，x是无理数 (x)= 数：定义在R上的函数 山，x是有理数·后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处 不可导根据该函数，以下是真命题的有() A.D(x+y)sD(x)+D() B.D()的图象关于'轴对称 18/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.D,)D(D(✉》的图象关于辅对称 D.存在一个正三角形，其顶点均在D(四的图象上 4.(多选)(25-26高二下·黑龙江佳木斯期中)德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet)定义了一个“奇怪 的函数”f)人hxeQ 0,x∈CQ其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题，正 确的为() A.存在∈R.有+f)=0 ,有 8.函数( 的图像关于直线=0对称 C.函数(~是周期函数，无最小正周期 D.存在三个点4f》,B(,(飞》，C,/(》,使△ABC为等腰直角三角形 19/19 重难专题03 几类高考常考函数 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 对勾函数 对勾函数：形如（其中）的一类函数， 定义域：；奇偶性：奇函数；渐近线：轴和直线；单调性：在和上单调递增，在和上单调递减。 1．（多选）（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．在上单调递增 【答案】ACD 【详解】由图可知，的定义域为，值域为， 的图象关于原点对称，所以为奇函数， 在上单调递增，故ACD正确，B错误. 故选：ACD.    2．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 又，所以的最小值为. 3．（2026·重庆·三模）已知数列满足，，已知数列满足，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对的递推式取倒数构造等差数列求，再用累加法求的通项，最后转化为对勾函数求正整数范围内的最小值. 【详解】由且，可得，同理可依次证得，对两边取倒数， 得，即是以为首项，为公差的等差数列，因此，故， 由累加法得，当时，， ，故， 验证时，也满足上式，故. 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以数列在上单调递减，在上单调递增， 因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且， 因此，当时数列取得最小值. 4．（2026高三下·全国·专题练习）函数有四个不等的实数根时，不等式恒成立，则实数的最小值是______. 【答案】 【分析】画出的图象，得到，，变形换元得到恒成立，求出答案 【详解】当时，，所以， 故， 画出函数与的图象，显然关于对称， 由于，故， 且，，，所以，故， 且由对称性可知，，故， ，故 ， 其中在上单调递增，故， 所以， 令，故， 令，则， 所以在上单调递减， 故，所以， 故恒成立， 故，实数的最小值为 5．（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将函数有四个不同的零点，转化为函数和有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程 的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又因为函数有四个不同的零点， 所以函数和有四个不同的交点， 如图所示： 由图知，， 设为方程 的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以， 所以， 令，， 所以在上单调递增， 因为 ， ， 所以的值域为， 即的取值范围为． 6．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，. (1)，，求函数值域； (2)讨论的单调区间； (3)证明：当时，不等式对任意恒成立. 【答案】(1) (2)当时，在，上分别递增，在，上分别递减；当时，在，上分别递减；(3)答案见解析 【分析】（1）先代入，，得到具体函数表达式，再利用基本不等式或函数单调性来求值域； （2）先将函数化简为，根据导数来确定不同取值下的单调区间对的取值进行分类； （3）先将，代入得到，得到和的表达式，然后利用二项式定理展开，结合绝对值的性质进行变形，最后利用基本不等式来证明不等式. 【详解】（1），时，，函数定义域为， ∴， ∴在区间，上单调递增，在区间，上单调递减； 在处取得极大值，； 在处取得极小值，； 且当时，；当时，； 的值域为； （2）函数的定义域为， 求导得：， 当时，在，上均递减； 当时，在，上均递减； 当时为对勾函数， 则在，上分别递增，在，上分别递减. 综上所述：当时，在，上分别递增，在，上分别递减； 当时，在，上分别递减； （3）证明：，，则，； ∵函数定义域为关于原点对称， ∴， ，； ∴为偶函数； 则只需证明时，不等式，恒成立； ∵ ； ∴； ∵； ∴ ； ∵. ∴； 则； 即. 综上所述：当时，不等式对任意恒成立. 题型02 含对勾函数的分段函数 此类函数由两部分构成，对勾函数段和其它函数段。 解题步骤：1.画图辅助；2.分段分析；3.衔接点验证；4.综合结论。 常见考查题型：1.求参数范围；2.求最值/值域；3.单调区间讨论。 1．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 2．（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 3．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 4．（23-24高二下·山西晋城·期末）若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，为单调递增函数； 当时，，则， 令，即，而，则可得， 故要使得是R上的增函数， 需满足，解得， 故选：C 5．（23-24高一上·广东珠海·阶段检测）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使在上单调递增， 故在上递增，在上递增，且， 所以. 故选：C 6．（多选）（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）函数，关于的方程，下列说法正确的是（     ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为， C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. 当时，，. 当，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 故，且恒有. 综上可知，，作出函数大致图象，如下图. 由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根， 即与共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不相等的实数根0，， 则方程有且仅有一个根，且不为0，. 所以与有且仅有一个公共点， 由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 题型03 对勾型复合函数 对勾型复合函数通常指两类在高中数学中高频出现的函数结构：一类是对勾函数本身作为内层或外层构成的复合函数，另一类指形如对勾函数但由二次函数与反比例函数组合而成的广义“双勾”型复合函数。 内层为对勾函数：如或等。 外层为对勾结构：如，此时将视为整体，转化为的对勾模型求解。 1．（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 2．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 3．（多选）（25-26高一上·重庆·期中） ，则下列结论正确的是 （    ） A．是奇函数 B．当 时， 恒成立 C．值域为 D．若 ，且 ，则 【答案】BCD 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则，故不是奇函数，A错误， 当时，由，故，B正确， 令，则或，则， 由于对勾函数在单调递增，此时，在单调递增，此时，故，或， 故值域为 ，C正确， 由， 若且， 所以，故，当且仅当，时等号成立，故D正确， 故选：BCD 4．（多选）（25-26高一上·山西忻州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．若，且，则 【答案】ABD 【详解】由题函数，定义域为R关于原点对称， 又， 所以是偶函数，故A正确； 当时，函数为增函数，且， 又函数为上的增函数， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B正确； 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的值域为，故C错误； 因为函数是偶函数，且函数在上单调递增， 所以若，且， 则且， 所以，当且仅当即时等号成立.故D正确. 故选：ABD 5．（多选）（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数，且，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递减 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以， 因为， 所以的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称，故A选项正确； 令，所以， 如图，对勾函数在单调递减，所以在上单调递减，故B选项正确； 因为， 所以，， 所以，故C选项正确，D选项错误. 故选：ABC. 6．（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【详解】方法一： 由， 令， ，则， 因为，当且仅当即时等号成立，所以， 由于在是单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则此时的最大值为， 所以函数的值域为， 即原函数的值域为； 方法二： 由，求导得， 令，在内解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 而 所以的值域为， 故答案为：. 7．（2026高三·全国·专题练习）关于函数，有下列命题：①函数的图象关于y轴对称；②当时，是增函数，当时，是减函数；③函数的最小值是；④当或时，是增函数．其中正确命题的序号是________________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【详解】命题①，函数定义域为，关于原点对称， 而，， 所以是偶函数，图象关于轴对称，①正确. 命题②，当时，， 令，在单调递减，在单调递增； 又单调递增，由复合函数单调性得到在上单调递减，在上单调递增， 由偶函数对称性可得，当时， 得到在上单调递减，在上单调递增，所以②错误. 命题③，当时，由基本不等式得到， 当且仅当，即取等号， 因为单调递增，所以，即最小值为，③正确. 命题④，由上面复合函数可得，当时，递增，故单调递增； 又是偶函数，与对称，在上单调递减，则在上单调递增， 所以当或时，是增函数，④正确. 8．（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由偶函数定义知：， 即，. （2）由（1）知， ，即， 即，令，则， 则方程在时有解， 则，令，，则. 9．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【答案】(1)或；(2)答案见解析；(3)证明见解析， 【详解】（1）由题意， ，， 令，即有， 可得或， 或； （2）函数定义域， ①当为奇函数时，有， ， ，； ②当为偶函数时，， ， ， ； ③当时，函数为非奇非偶函数； 综上所述，当时，为奇函数； 当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； （3）当时，，任取，，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是严格增函数， 由（2）知，当时，为偶函数， 则由，可得， 即，即， 解得. 题型04 飘带函数 飘带函数：形如（其中）。定义域：；奇偶性：奇函数；渐近线：轴和直线；单调性：在和上单调递增；值域：。 1．（2026高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．当且时， B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时，无最大值 【答案】B 【详解】对于A，令，，故A错误， 对于B，若，则，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确， 对于C，若，， 当且仅当即时等号成立， 由对勾函数的性质，在上单调递增， 所以，故C错误， 对于D，因为单调递增，单调递减，单调递增， 所以单调递增，所以在上的最大值为，故D错误. 2．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，若为单调递增，可得，解得； 又为单调递增，所以，解得； 且，解得； 综上可得，，即实数m的取值范围为. 故选：B 3．（多选）（20-21高一下·湖南·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内是增函数 C．存在非零实数使得关于的方程在内只有一个实根 D．若对任意，恒成立，则 【答案】ACD 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以为奇函数，故A正确； 对于B选项，，故函数在定义域上不是增函数，B选项错误； 对于C选项，由图象可知函数与在内只有一个交点，故C正确； 因为对任意，恒成立， 所以恒成立，即． 当时，因为恒成立，所以， 而无最大值，所以不合题意； 当时，因为恒成立，所以， 而，所以，得，所以，故D正确． 故选：ACD. 4．（2026高三下·全国·专题练习）已知，若对任意的正实数，总存在，使得．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 当时，，因此， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，， 对任意的正实数，当时，恒成立， 由总存在，使得，得， 所以实数的取值范围为. 题型05 飘带型复合函数 飘带型复合函数是指将飘带函数作为内层或外层函数，与其他函数复合而成的结构。复合结构形式有两种：1.飘带函数作为 1．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 2．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 3．（多选）（2022·福建厦门·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．有唯一一个零点 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A错误；根据解析式验证可知，则知B正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在定理可说明在有且仅有一个零点，知C正确；结合C的结论可说明时，时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果. 【详解】对于A，由得：，即定义域为，不关于原点对称， 为非奇非偶函数，A错误； 对于B，，， ，图象关于点对称，B正确； 对于C，当时，； 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减； 在上单调递增，在上单调递减； 在上单调递减； 由知：图象关于对称，在上单调递减； 当时，，，，在上无零点； 当时，，， ，使得，则在上有唯一零点； 综上所述：有唯一一个零点，C正确； 对于D，由C知：在和上单调递减， 又时，；时，； ①当，即时，由得：，解得：（舍）或； ②当时，不等式组无解，不合题意； ③当，即时，，，满足题意； ④当，即时，，，不合题意； 综上所述：的解集为：，D正确. 故选：BCD. 4．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 5．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得，则， 经检验是奇函数，满足题意，故． （2） 由解析式可知在上单调递增，且为奇函数， ∴由恒成立，得， 所以，时恒成立，即在上恒成立， 令，，则 又，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为． 6．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数；(2) 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 题型06 一次分式函数 一次分式函数：形如，的函数，其图像是有反比例函数平移得到，两条渐近线分别为，，对称中心为。分离常数法是核心技巧，把函数拆成“常数项+反比例函数型项”。变形方法为：用分子配凑分母的倍数，写成的形式。 1．（多选）（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 【答案】ABC 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】令，则原方程转化为， 若， 则，，即，矛盾，因此该情况舍去， 若， 则， 则有，即，解得， 或，即，解得， 因此或， 当时， 若，则有，即，解得，因此该情况舍去， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 当时， 若，则有，即，解得， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 综上，可能的取值为共个 3．（25-26高二下·山西长治·期末）已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切于点，求出切线方程为：，结合图象求解即可. 【详解】因为函数 所以关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点， 设直线与切于点， 由，由已知有：解得，则 则切线方程为：， 由图知：函数的图象与直线 无交点时实数的取值范围为. 4．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（   ） A． B．，使得 C．的值域为 D．，都有 【答案】ACD 【详解】A：且，正确； B：，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数在R上单调递减，则，都有，B错误； C：由B知，当时，，当时，， 即，，因此函数的值域为，正确； D：当时，，，， ， 当且仅当时取等号， 因此成立，正确. 故选：ACD 5．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）若函数 的图象关于点对称，则实数________． 【答案】 【详解】当时，的图象关于对称，不合题意， 当时，的图象关于对称， 又因为函数 的图象关于点对称， 所以， 综上，. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)画出的草图； (2)由图象指出的单调区间； (3)设，，，，证明：． 【答案】(1)；(2)和；(3)答案见解析 【详解】（1）由得． 的图象可由的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到如图． （2）在和上为增函数． （3）略 7．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 题型07 一次分式型复合函数 一次分式型复合函数指由一次分式函数作为内层或外层，与其他函数（如指数、根式、幂函数等）复合而成的函数。一次分式为内层函数：形如或；一次分式为外层函数：形如，其中为其他函数。 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 3．（多选）（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．为上的奇函数 B．在定义域内单调递增 C．不等式的解集为 D．若函数，则有且仅有2个零点 【答案】ABC 【详解】对于选项A：由题意可知：的定义域为， 且， 即，所以函数为上的奇函数，故A正确； 对于选项B：因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递增，故B正确； 对于选项C：因为，则， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于选项D：令，解得或， 即或，解得， 所以有且仅有1个零点，故D错误. 故选：ABC. 4．（多选）（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．对任意实数， D．对任意实数， 【答案】AC 【详解】因为函数，所以在上单调递增， 因为，所以，， 所以， . 故选：AC． 5．（多选）（2026·山东枣庄·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．的值域是 C．有极值 D．存在实数，，使得在上的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，， 则， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，由， 而，则，即， 则，即， 所以的值域是，故B正确； 对于C，由B知，， 因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 则在上单调递增，无极值，故C错误； 对于D，由C知，函数在上单调递增， 若在上的值域为， 则， 所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在上有两个交点， 结合为奇函数，在上单调递增，且的值域是， 且，， 可作出函数与的大致图象如下：    由图可知与在上有两个交点， 因此存在实数，，使得在上的值域为，故D正确. 故选：ABD 6．（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【】【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性； (3)讨论的单调性； 【答案】(1)；(2)是奇函数 (3)当时，在和上分别为增函数；当时，在和上分别为减函数 【详解】（1）由，得，又因为，所以不等式的解为或， 所以的定义域为. （2）由（1）知的定义域为，关于原点对称. 又因为， 所以是奇函数． （3）令，则函数在和上分别为减函数， 所以当时，在和上分别为增函数； 当时，在和上分别为减函数． 8．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知是定义在上的奇函数， (1)求的值，并证明的单调性； (2)函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域； 【答案】(1)；证明见解析；(2)； 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得，所以. 因为，故符合题意. 任取， 因为， 所以 因为函数在上单调递增且，故，所以； 因为，所以，所以， 所以，即，即， 因此在上单调递增； （2）将向右平移个单位，得到， 再向上平移个单位得到. 因为 ， 所以 ， 所以，解得，所以. 令，则. 令，则，可得，解得， 所以的值域为. 9．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数；(2)；(3)答案见解析 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 10．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)证明过程详见解析 【详解】（1）因为，所以， 则. 又， 所以， 两式相加得， 由可得，， 所以，故. （2）证明：由（1）知，， 所以. 故， 又 ， 所以数列是递增数列. 当时，取得最小值，又， 所以. 题型08 最值函数 最值函数：形如或的函数，最值函数一般为分段函数。 的图像由和的图象中位置较高的部分组成。在两个函数的交点处，函数表达式发生切换。 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 、【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 、【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 3．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 令，则，解得， 此时，且，可得， 可知函数在内的值域为； 令，则，解得， 此时，可知函数在内的值域为； 综上所述：函数的值域为. 4．（2026高三·全国·专题练习）用表示两个数中的最大数，设函数，若函数有2个零点，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，令， 则，令， 可得，令，解得， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，则，即，， 当时，，当时，， 而，， 则在上存在一个零点，在上存在一个零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，， 当时，，则， 而，后面讨论的正负， 当时，在上各有1个零点，此时， 设这三个零点分别为，而，则， 而，， 且，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，可得， 令，可得， 即当时，， 当时，， 若函数有2个零点，则有2个根， 可得有2个根，即和有2个交点， 当时，可得， 令，则， 且，当时，， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，可得，令， 则，令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，，若和有2个交点， 可得，即实数k的取值范围是， 当时，，， 且，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 则当时，，当时，， 若函数有2个零点，则有2个根， 可得有2个根，即和有2个交点， 当时，可得，令，则， 且，当时，， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，可得，令， 则，此时恒成立，可得在上单调递减， 当时，，若和有2个交点， 可得，即实数k的取值范围是，故C正确. 5．（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 题型09 高斯函数（取整函数） 高斯函数也叫取整函数，取整函数表示不大于的最大整数，且由于对于任意的实数，对应的函数值都是整数，故称函数为取整函数。 1．（2026高三·全国·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中不正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】A 【详解】依题意，函数的定义域为， 因为，， 所以，故函数不是偶函数，故A错误； ，且定义域关于原点对称， 则函数是奇函数，故B正确； 函数在上单调递增，则函数在上是增函数，故C正确； 由，得，，则， 故的值域为，故D正确. 故选：A 2．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】, 设，因为，则， 所以， 因为，则，即， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的值域是 3．（25-26高一上·河南·开学考试）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在内的取值为0、1和2，且易知不可能是原方程的解， 当时，，，得， 由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 由题意知，方程在有2个解， 根据上述讨论，a所属的范围必须同时满足其中两个才能成立，也即， 故选：A． 4．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】, 设，因为，则， 所以， 因为，则，即， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的值域是 5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即，解得或， 当时，，此时（舍去）； 当时，，此时， 解得或（舍去）； 当时，，此时，满足题意. 6．（多选）（2026·全国·模拟预测）高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．无论为何值，恒过定点 C．存在，使为奇函数 D．在上单调不减 【答案】ABD 【详解】选项 A，，由题意 ，A 正确； 选项 B，时，，，时恒成立，因此函数一定经过点，B 正确； 选项 C，奇函数的定义：对定义域内任意，都满足， 取，由高斯函数定义，因此（），对应，，则 若为奇函数，需满足，但不可能等于 0，矛盾； 同时负数的非整数次幂在实数域无意义，因此不存在使为奇函数，C 错误； 选项 D，单调不减的定义：对任意，都有， 在上，高斯函数本身是单调不减函数：增大时，取整结果要么保持不变，要么增加，不会减小； 已知，幂函数在上单调递增,两者复合后，可推出，即，因此在上单调不减，D 正确. 7．（2026高三上·全国·专题练习）已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 函数有且仅有2个零点，函数与函数的图象有两个公共点， 由图可得的取值范围是. 8．（多选）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图像关于轴对称 C．的解集为 D．若，则的值域为 【答案】ACD 【详解】，A选项正确； ，， ∴，即，B选项错误； ∵，∴，即，∴，则， 当时，即，则，由题意可知，∴此时无解； 当时，即，此时恒成立，∴是不等式解集的一部分， 当时，即，则，∵，∴不等式恒成立，即， 综上所述，，C选项正确； ∵，则，∴，∴，∴， ∴的值域为，D选项正确. 故选：ACD. 9．（多选）（25-26高三上·四川广安·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，如， 称为高斯函数， 记，则下列说法正确的是（ ） A．的值域为 B． C．不等式 的解集为 D．若,且方程的所有解的和为9. 【答案】ACD 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 即当时，，故A正确； 当，则，，且，故B错误； 当且，由，可得恒成立， 此时原不等式无解，故舍去且， 当时，不等式 ，此时无解，故舍去， 当时，不等式 ， 此时解得，与无交集，故舍去， 当时，不等式 ， 此时解得，与有交集， 当时，不等式 ， 此时解得，与无交集，故舍去， 当且时，不等式 ， 此时解得， 因为当时，有， 所以， 即与无交集，故舍去，且时， 综上有，故C正确； 当时，方程， 故此时， 当时，方程， 故此时不满足，故此时无解； 当时，方程， 故此时不满足，故此时无解； 当时，方程， 故此时不满足，故此时无解； 当时，方程， 故此时满足，故此时解为； 当时，方程， 故此时满足，故此时解为； 由于此方程的解必为非负整数， 所以检验当时， 当时， 当时，随着的增大，左边每增加1，右边至少增加一项， 从而至少多一个1，所以左右两边将不可能再相等。 综上可得方程的解只有，满足所有解的和为9，故D正确； 故选：ACD. 10．（2026·重庆·模拟预测）已知为不超过实数的最大整数，如，，．若函数，则的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 则恒有， 由题意，对任意实数，有 ，其中是不超过的最大整数，是小数部分，满足， 设 ，则， 又，整理得 ， 由 ，得 ， 是整数，分两种情况： 若 ，则 ，得 ， 若 ，则 ，得 ， 因此的值域为. 11．（2025高一上·重庆·专题练习）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域是__________. 【答案】 【详解】， 当时，， 当时，， 设函数，，函数为奇函数， 当时，，当且仅当时取等号， ∴函数，则， ∴ 综上可得，函数的值域为，则的值域为. 故答案为： 题型10 狄利克雷函数 狄利克雷函数解析式：，其中为实数集，为有理数集． 1．（25-26高二下·河北衡水·期末）德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】①当时，．因为，所以． 因为，所以不符合题意． ②当时，．因为， 所以．因为，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是． 2．（多选）（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）对于狄利克雷函数，下列命题中真命题的有（    ） A．对于任意，都有 B．对于任意，都有 C．存在是无理数，使得 D．若，则有 【答案】ABD 【详解】因为， 对于选项A：因为的值域为，即为有理数， 所以对于任意，都有，故A正确； 对于选项B：若是有理数，则为有理数，则， 若是无理数，则也为无理数，则， 综上所述，，即，故B正确； 对于选项C：若是无理数，则是无理数，则， 所以不存在是无理数，使得，故C错误； 对于选项D：因为的值域为，且， 则，故D正确. 故选：ABD 3．（多选）（2024·全国·模拟预测）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．的图象关于轴对称 D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 【答案】BCD 【详解】对于A，当，时，，，，故A错误； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 若是无理数，则是无理数，所以，； 若是有理数，则是有理数，所以，； 所以，故是偶函数，图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由B可知，，所以， 故是偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，设， ，， 则，所以是等边三角形， 又因为，，，所以的顶点均在的图象上，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选）（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A．存在，有 B．函数的图像关于直线对称 C．函数是周期函数，无最小正周期 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】ABC 【详解】对于A：取，则，，因此存在，有，故A正确； 对于B：若是有理数，则也是有理数，故， 若是无理数，则也是无理数，故， 因此，，是偶函数，图像关于直线对称，故B正确； 对于C：设为任意有理数，若是有理数，则是有理数，， 若是无理数，则是无理数，，因此，任意正有理数都是的周期， 而任意正有理数无最小值，故无最小正周期，故C正确； 对于D：假设存在三个点，，，使为等腰直角三角形，不妨设， 分两类情况，第一种，斜边平行于轴或在轴上； 第二种，斜边不平行于轴或也不在轴上，如图所示    第一种情况，不妨设斜边在轴上， 所以，，即，则， 此时，，，与假设矛盾； 第二种情况，不妨设点在轴上，即，所以， 此时，，即在轴上，与假设矛盾，故D错误. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $