重难专题03 高考热点：基本不等式与其它模块的融合（九种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦基本不等式与各模块融合专题，涵盖函数、导数、数列、向量、三角函数、解三角形、解析几何、立体几何、概率统计九大知识模块，构建跨模块知识应用体系。 清单采用题型脑图归纳重难考法，分模块深研解题技能，如函数融合题型标注“构造基本不等式求最值”核心思路，培养数学思维与运算能力。特设高考真题关联与易错点提示，助力学生系统掌握跨模块应用，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题02 高考热点：基本不等式与其它模块的融合 题型脑图•重难考法归纳 题型1与函数的融合 题型6与解三角形的融合 题型2与导数的融合 题型7与解析儿何的融合 题型3与数列的融合 基本不等式与其它模块的融合 题型8与立体几何的融合 题型4与向量的融合 题型9与概率统计的融合 题型5与三角函数的融合 考法深研·解题技能通关 题型01与函数的融合 点方法技巧 基本不等式与函数的融合主要应用于求函数的最值、解决参数范围的问题。其核心思想是将函数解析 式变形，构造出符合基本不等式(a+b≥2√ab,其中a,b>0)的结构，从而利用“和定积最大”或 “积定和最小”的原理求解。 1.(2026陕西三模)已知函数1 f(x)=e*-e* 若正实数m,”满足f(2m+f-5)=f0) 则 2+1 mn+i的最小值是() 9 7 B.5 C.4 3 D. 2.己知函数f()=o。(2x-)1(a>0且a≠1)的图象经过定点P(,W）,若m,+,-2=0,当满 21 足m>0:n>0时，代数式m+n+1的最小值是（) 1/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+2√2 2+3V2 A.3 B.3 C.3+2W2 D.2+32 3.(2026重庆渝中模拟预测)已知函数f()=g(F+1-,若何)+6-)=0，则d+公的最小值 是() 1 A.1 B.2 c.4 D.2 4-3x 4.(25-26高二下江苏南京阶段检测)函数'=x+ 3) 3x-2（3的最大值为() 2W6-1 26+1 2√6 1-2V6 A.3 B.3 C.3 D.3 loga(a+b)-ba=l1(a≠1，b+) 5.（多选)(2026山东聊城模拟预测)已知正数a,b满足 ,则() A.a+b=ab B.ab的最小值为2 1 C.a+4b的最小值为9 D.a-6的最小值为1 6.(25-26高三下云南曲靖阶段检测)若函数/(=(a-2e+e)++ ”有奇数个零点，则4a+b的 最小值是() A.6 B.8 C.16 D.18 7.(2026-浙江二模)已知a,beR且a,b>0,若函数 (x)=ete*bcosx a2有唯一零点，则2a+b的最 小值为() A.22 8.32 C.4V2 D.5V2 8,(2026阁北武汉模拟预测)已知函数()-2x2,若正数a,6,满足fa)+f0)=1,则。十20 ab 的最大值为() 2 2W2-1 1 2W2+1 A.8 B.7 C.4 D.7 2/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026海南三亚一模)已知正实数m,n满足e2m-2-e2-2m=e"-e,则m-2n的最大值为（） A.0 B.-3 C.1 D.2 10. 6陕西榆林三模)已知直线=mx+n-Im>O,n>O经过函x)=4x 2x-1的图象的对称中 m+2n 心，则mn的最小值为 11.(2026重庆模拟预测)己知0，beR且b>0,若对任意的' e(0,+o）,不等武mr+-ahr-b≤0恒 成立，则4a2+b的最小值为 题型02 与导数的融合 点方法技巧 基本不等式与导数的融合主要解决求最值、证明不等式以及确定参数范围三类问题。两者结合的关键在 于利用导数研究函数的性质（单调性、极值），从而为基本不等式的使用创造条件，或直接通过构造函 数证明不等式。题型主要有：1.利用导数确定“定值”条件，辅助基本不等式求最值；2.构造函数，利 用导数证明基本不等式或其变形：3.解决“恒成立”与“有解”问题中的参数范围。 4 1.已知点P在曲线y= e+i上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则。的取值范围是() B.42 π3π c.(24 [ D 4+m+e2n 2.(2026山东聊城模拟预测)若存在实数m,n,使得方程nm+m=n+e“成立，则m+1的最小值为 A.1 B.3 C.6 D.8 3.(2026四川德阳二模)过点 P(xo,Yo 作曲线'=x+D的两条切线，记两切点分别为 %+1 M(x,),N(x,,x≠，，若两条切线斜率之积为1，则+1的取值范围是（) 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(0) 8.(0, C.[1+0) D.(0,+o∞) 4.(多选)(2026福建泉州模拟预测)已知函数f()=2h-+,则() A.f儿四在区间〈®，0)上单调递减 B.f()的值域为R c.不等式f()2f+刊恒成立，则mc2,2 D.若f@)+fO)=0,则@++的最小值为4 5.(2026陕西滑南模拟预测)已知ab为正实数，且直线”=-a与曲线血(+b)相切，则2咖的最 大值为 6.(2026江苏南京模拟预已知函数()a(x-4川x-x-6a>0),设曲线=在点 (x,f(x》 处切线的斜率为 =12,3).若均不相等，且6=小，则么+4的最小值为 21 7.(2026山东聊城模拟预测)已知a,b为正实数，直线y=2x+a与曲线y=h(2x+b)相切，则)a 最大值为一 题型03 与数列的融合 点 方法技巧 基本不等式与数列的融合主要考查基本不等式处理数列中的最值问题、大小比较以及不等式的证明。 1.利用基本不等式求数列的最值：当数列的通项公式或前项和公式满足“一正、二定、三等”条件 时，可直接使用基本不等式求最值。2.数列中的大小比较与不等关系判断：在等差数列与等比数列的对 比中，基本不等式是判断项的大小关系的有力工具。 2a1+a 1. (2026湖南长沙一模)已知数列{a,}(n∈N)是公比大于0的等比数列，则a,的最小值为() 4/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 A.3 B.2W2 C.2 D.2 2.(2026江西模拟预测)已知数列a,为等差数列， }为等比数列，4=6=2，则《) b2b4≤a2a4 B b2b,≥a2a4 C.马+a≤h+b, D.4+a≥h+b 2Sn+10 3,(2026湖南长沙三模)设数列a的前n项和为S4=,月a-7+。 a,则a,的最小值为 n () 11 22 15 A.2 B.210+1 C.3 D.2 4.(25-26高三下：江西萍多：期中〕已知数列满足：4=l0,=2兰a1+(≥2，n∈N n ,若对于 n∈N,都有a,+”+35 22n 3≥0，则实数1的取值范围是（） A.【HI6,+o）B.-I15,o) c.-l4,t+w) D.[4-2v30,+0) 5.(2026陕西一模)记为等差数列{a,}的前n项和，若S+4=34,则5+7的最大值为（) √2210 17 34 A.6 B.5 C.5 D.V85 1-1=d 6.(2026湖北黄冈模拟预测)若数列{a}满足aa。(neN,d为常数)，则称数列a}为调和 1 数列，已知数列x为调和数列，且x+x号+号+…+x6=405,则x+xs的最大值为， an 7.(2026重庆三模)已知数列{a,}满足42a,+1,q=1,已知数列，}满足3， 5/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 bn+13 么=1，则n的最小值为 8.(2026河南三模)己知a}是公差不为零的等差数列，其前”项和为S,=35,4,4,“成等比 数列，记=(a+2)8,则的最小值为 1 9.(2026河北保定二模)记函数f(x)=sin2“x+cos2”x(n∈N)的最小值为a,数列aJ的前n项和为 Sm,若 Sn≥16n-t-24 ,则实数t的取值范围为 10。(2026江苏模拟预测）已知数列a,为正顶等比数列，公比9>1，前”项和为， a4+a-a2-a1=2 回当9=3时，记集合4={mGNS.<10},求A中元素之和， 2求4+a的最小值 题型04与向量的融合 点方法技巧 基本不等式与向量的融合主要是利用向量的几何性质（如三点共线、数量积定义）构建等量关系，再结 合基本不等式求解最值或范围。这类问题通常出现在高考填空、选择题即解答题中，属于中高档难度题 型。解题思路如下：1利用“三点共线”构建系数关系：若平面内A,B,C三点共线，且O为直线外一 点，满足OC=xOA+y0B,则必有x+y=l;2利用“数量积”结合坐标法活几何法：向量数量积 d-万=c0心ā，6)常与余弦定理、坐标运算结合，转化为代数式的最值：3面积比与向量系数酰 合：在三角形内部点的问题中，面积比S往往对应向量的系数。 1. (25-26高二下甘肃定西期中)已知向量i=(,,6=(-2,),a16,则a+6列 的最小值为() 6/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高一下·吉林期中)已知G为△ABC所在平面内一点，并且满足GA+GB+GC=0,过G的直线 1,1 与AB,AC边分别交于M,N点，若AB=xAM,AC=yAN,则xy的最小值为() 2 4 A.3 B.3 C.2 D.4 .(2025山东茶安三模)已知在△4C中，G4C-D-号瓜，正=C,M为那与cD的交点 3 则向量AM在AB上的投影向量的模的最小值为() A. 6 2 B.7 c.3 4.(25-26高二下·浙江温州期中)在菱形ABCD中， 4C=4,点E为线段BC上一点，且AE4C=12, 11 点F为线段BD上的一个动点（包括端点），若=xAE+AC,则x+yx+2y的最小值为() 3V2 A.2 B.22 C.1+V2 01*② 2 5.(多选)(2026江西南昌模拟预测)如图，在等边三角形ABC中，AB=6,点O是靠近B的三等分 点，过O的直线分别交射线4B,AC于不同的两点M,NAB=mMM,4C=nMN ,则下列选项中正确的 是() M 7/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B cos∠A0C= 21 C.2m+m=3 女员的银小 D 6.《多选)(2026河北邯郸二模)已知在△40C中，+C=10,BC=2,BD-2DC,若 P=1AB.A0=AMC(0≤，“≤)，且直线P吧过4D中点M,则下列结论正确的是(） A.AB-AC=3 B.MB-MC<0 c.+u≥3+22 6 D.2因+4C的取值范围为5,5] 7.(25-26高三下·安徽六安阶段检测)已知A、B、C三点共线（该直线不过原点0），且 12 OA=m0B+2n0c(m>0,n>0),则m+折的最小值为一 8,(2026高三全国专题练习)已知点G是△MBC的重心，若∠A=60°，AB.AC=2,则4G的最小值 是 。 9226天津三模)在平行四边形ABCD中，4B=3,AD三4.∠BD=CB=2CECT=2D,点视 3 在线段EF上.若MM=xAB+yAD(x,y∈R),则3x+4y= M的最小值为， 10,(2526商三下江西阶段检测)在三角形4BC中，∠B4C=60,BC边上的中线4D=2.外心为0， 重心为G,则OG的取值范围是 1.(2025山东福得三发)已知在BC中，BC-号，仙-号B+子4C,则向最在G上的 2 4 投影向量的模的最小值为. 12.(226高三全国专题练习)已知0是△4C的外心，∠BMC=120,若0=xB+aC,则+y的 最小值是 8/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(2026山东济宁·二模)G是△ABC的重心，过点G且不过△ABC顶点的直线I分别交边AB,AC于 S 点M,N,记△AMG和△CWG的面积分别为S,S,则S的最小值是 14.(2026天津北辰·二模)在△ABC中，点D是AB边上一点，且AD=3DB.AC边上存在点E满足 E=ACE,直线D和BE交于点R,且C=DF,记C1=a,C丽=6当=4时，CF=(用a CF.EA 和b表示)：当乙μ∈(0，+)时，则CD.C的最大值为 15.(25-26高三上广东深圳阶段检测)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为 △ABC AO=AAB+uAC 的外心， ,已知c-36+3 C=0,则osA= 2+4 的最大值为 16。(2026辽宁抚顺二模)已知平面内有5个互不相等的单位向量“，4,4,0，“若这5个向量 C. 中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直， 的最大值为 题型05与三角函数的融合 点 方法技巧 基本不等式与三角函数的融合的核心思路是利用三角恒等变换（如平方关系、二倍角公式等）构造出符 合基本不等式的使用条件。解题策略：1.利用平方和构造定值：三角函数中的sina+c0sa=l是天 m n 然的定值条件，求最值的典型结构为求sin2a cos2a的最小值：2.三角换元法：对于代数式中含有 1-x2 或两项平方和为定值(x'+y=1)的结构，可令x=sin0,y=cos日进行三角换元。 9/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9 1(25-26高三下·湖南衡阳阶段检测)函数（)$im2日+， 0∈0， ”2的最小值为() A.10 B.12 C.14 D.16 1 4 2.(2026天津南开·二模)已知x≠m时，sinx2+cosx的最小值为（） 7 9 A.2 B.3 C.3 D.4 3.(22-23高三上江苏南通开学考试)已知 3,则sin2asin2P的最小值为 () A.2 8.23 C.4 D.4V3 1 4 4.(23-24高三上·重庆阶段检测)已知+B=元 2,则sin2a'sin2B的最小值为() A.6 B.8 C.9 D.10 1 (2026-陕西二模)已知锐角4，P满足a+B=刃 P3,则sina cosB cosasinp的最小值为() 4.3+6 8.2x3 8V5 3+ 2v3 3 3 C.3 D 3 1 6(2026云南昭通二模)已知锐角4，阝满足a+B= 4,则sinacosB cosasinB的最小值为() A.3+2V2 B.3-2V2 c.4+3V2 D.4-3V2 7.(2026湖南永州三模)已知 a.pe(0.3) 2sinB=cos(a+B)sina,则tanB的最大值为() 6 6 6 5 A.12 B.6 C.4 D.6 8.(2026重庆三模)函数f(四)=sinx-sin2 xtanx的最大值为 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 92026高三下全国专题练习)已知4子a<2,4<P<2,且.sinasin2B=sim(a+B)cc,则 tan(a+B) 的最大值为 tan A 6 10.(2026高三·全国专题练习)在锐角a4BC中，a2+2 abcosC=362,则tan BtanCtan的最小值为 题型05与解三角形的融合 点方法枝巧 基本不等式与解三角形的融合主要应用于求解三角形边长、周长、面积的最值或取值范围问题。其核心 思路是利用正弦定理或余弦定理将集合条件转化为代数关系，再结合基本不等式进行放缩求解。解题模 型有：1.余弦定理+基本不等式求最值；2.正弦定理+三角函数有界性/基本不等式：3.常数代换法(“1” 的代换)。 1.(黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期6月月考数学试卷)在△ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c,已知C=2,a+2c0sA=b+2cosB,a≠b,则△ABC面积的最大值为 A.无最大值 B.2 C v3 0.25 2.(25-26高一下·湖北襄阳阶段检测)在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c, sin A a=3,c2+2b2=9，求sin Bsin C的最小值(）· A.3 8.4V5 c.3 D.34V3 3.(2026江苏苏州模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 b2 2sinB sin2A+2sin2C,则。ABC面积的最大值为() 1 √2 √2 2 A.2 B.2 C.3 D.4 4,(25-26高三下湖南株洲阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若2，b2, 11/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2c2 tan(C-B) 成等差数列，则 的最小值为() 3 √5 3 3 A.3 B.3 C.2 D.2 5.(25-26高一下·江苏扬州阶段检测)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若△ABC的 面积4，则tanAtanBtanC的最小值为() A.4 B.8 C.12 0.35 (2026江西南昌模拟预0)。1BC中，已知.BC=-ac.☑，则os4(） 6. 2V2 6 2 A.最小值为3B.最小值为3 C.最小值为3 D.无最小值 7.(2026陕西西安模拟预测)在MCB中，者∠B1C=120°，BAC=-8,D平分∠B1C交BC 交 于D 则AD的最大值为一 8。(2026-江苏徐州三模)己知三角形ABC的内角4，B,C的对边分别为a,6c,口=2 c2+h, 2 tan (A-B) cos Acos B≠0，则日 ”的最大值为一 9.(2026广东佛山模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,点D满足 MD=ADca>0,记∠ABD=a,b=asin(B-a+csin ,则A+a= 一，对任意给定的实数九， 1 tanA'tanB的最小值是 (结果用2表示)· 10.(2026福建泉州模拟预测)已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且满足 acosC+3asinC-b-c=0 (1)求A的值： 12/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=1,求BC的最小值， 11.(2026上海三模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C. 1 ()若ab、c成等比数列，求证：cosB≥ 2 (2)若A、B、C成等差数列，且b=2,求△ABC的周长I的最大值. csin B=bsin 12.(2026重庆江津三模)记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 c+ (1)求C: (2)若D在AB边上，且AD=2DB,CD=2,求△ABC面积的最大值， 13.(2026湖北武汉三模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC. (1)求角A的大小： 2刨若a=23.∠B1 的角平分线交BC于点D,求线段D长度的最大值. 题型07 与解析几何的融合 点 方法技巧 基本不等式与解析几何的融合主要利用基本不等式来解决解析几何中的最值问题（如面积最大、周长最 小、距离最短等)或范围问题。其核心思想是将几何量（长度、面积、斜率等）转化为代数不等式，再 通过不等式技巧求解。 1.(2026上海杨浦·模拟预测)圆+y+4x-2y+1= 关于直线m-+2=0(o>0,b>0 对称，则 12 +6的最小值为() a A.2 8.3+2V2 C.4 D.8 C: =1 2.(2026辽宁三模)已知椭圆2516的焦点分别为F,B,点P为C上任意一点，则PEHP5 的最大值为() A.41 B.25 C.10 D.9 13/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C:y2=8x 3.(25-26高三下·贵州遵义开学考试)设抛物线 的焦点为F,P为C上任意一点，O为坐标原 点，M为线段FP的中点，则直线OM斜率的最大值为() A.2 B.1 C.2 D.4 pm2+4 4.(2025辽宁铁龄模拟预测)若抛物线C:y=8x(m>0)的焦点为R,且气m,”为C上一点， PF 则当 取得最小值时，”=(（) 121 128 4 A.3 B.40 C.3 0.3 C:y2=4x 5.(25-26高三下·辽宁铁岭阶段检测)过抛物线 的焦点F的直线与C交于4B 两点，则 24F+BF的最小值为() 2 9 7 A.3+2√2 B.4 C.2 0.2 6.（多选)(2026山西忻州模拟预测)点P在单位圆+广= 上运动记点P到直线'=无的距离为4， 到直线’=一的距离为4则下列说法正确的是() d A.di+d=1 B.4+ 的最大值为V2 C.满足d=d,的点p有且仅有2个 D.did, C:x=8y 7.(2026河南许昌·三模)己知抛物线 ,过C的焦点的直线交C于A,B两点，交圆 1,9 E:x+y-4y=0于M,N两点，其中A,M位于第一象限，则|AM|IBN|的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 8.(2026河北邢台二模)已知P是抛物线 T:y2=6x x上一点，点M,N在'轴上，△PMN 的内切圆的方 14/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 程为(K-3)+y=9,则aPMN面积的最小值为《) A.42 B.56 C.72 D.88 9,（多选)(2026重庆模拟预测)抛物线C,广=2r化 「的焦点为尸，坐标原点为0,4，B为抛物线上的 两个动点，且满足F=cos001+sin00B,设4，B到'轴的距离分别为.4，则以下说法正确的有 .d d2 () 15 A.直线AB过点F B.AF BF2 C.d+4d,的最小值为2 D.当d+4d,取最小值时，cos20= 3 10.(2026湖北武汉三模)设平面内动点P在单位圆 +少=l上，P到直线 (:x-y=042:x+y=0 的 为4.4，即+4=1，指矿到空间：动点0在单位球4y+=1上，0到平面 距离分别为， a1:x-y=0a2:x+y=0 的距离分别为P,D记8(O=m0+D(m>0),则当8(@) 取最大值为5时， m=() A.2 B.4 c.26 D.24 1.(26-27高三全国一轮复习)在平面直角坐标系0中，已知射线5，-y=0(x≥0），4 2x+y=0(x20),过点P1.0作直线分别交射线人，于点4，B (1)当AB的中点在直线x-2y=0上时，直线AB的方程为一 (2)当△AOB的面积取得最小值时，直线AB的方程为一· C: 2，（26-27高三全国：一轮复习)日知双曲线·4=/ 「的左、右顶点分别为A,B,点P在C上且在第 15/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 象限内，设直线4P与BP的斜率分别为，5，则 ‘的最小值为 B26京三已我C:了作点为，P是C生的做点，4-40， 14.(25-26高二下·上海徐汇·期末)平面上到两个不同的定点，“的距离之积为非零常数的点的轨迹称 为卡西尼卵形线.如图所示，曲线C是一条过坐标原点O的卡西尼卵形线，其中两定点 (-2,0) B(2,0).若点P为线C上的任意一点，则P四+2PE 的最小值为. VA 15。(2026广东广州：三模)已知圆M的圆心在曲线y=x+上，若圆M与直线y=x交于么B两点，且 |AB=2 过原点O的直线交圆M手PQ OP10 两点，则 的最小值为 C C 16. (2026上海浦东新·三模)如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点A、B是椭圆与双曲 线C,的两个交点，其中A在第一象限，B在第三象限.若∠15B-红 4,则C与C,的离心率之积的最小值 为 B 16/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2.y2 17.(2026河南南阳三模)已知椭圆7+京=1(a>b>0 的坐标原点O逆时针旋转 0<0< 2角后得到 「：7x2-2xy+7y2-24=0,M,N ,若点M,为曲线「上的两个动点，满足OM=N F 曲线 ,记曲线「的焦点为， 1 4 则MN的最小值是 18,(2026河北沧州三模)己知直线的方程为2-m)r+(2m+y+3m+4=0,其中m∈R 四当m变化时，求点(3,4) 到直线的距离的最大值’ (2)若直线I分别与x轴的负半轴和y轴的负半轴交于点A、B,求△AOB(0为坐标原点)面积的最小值及此 时直线的方程. 2=2px(p>0) 19.(2026辽宁·三模)已知抛物线 的焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线，么， 与抛物线交于A,8两点，与抛物线交于C,D两点.设4(：，），B(,),C,）,D() ()者P= 2,直线的斜率为1，求M8的值 (2)求四边形1CBD 积的最小值及此时直线的斜率. C 20.(2026高三全国专题练习)已知曲线 ☒+y-1a>b>0) a b 所围成的封闭图形的面积为4√5，曲线 2v5 C的内切圆半径为3，记C,为以曲线C与坐标轴的交点为顶点的椭圆. (1)求椭圆C2的标准方程： (2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦，I是线段AB的垂直平分线.若M是I与椭圆C2的交点，求△AMB的面 17/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积的最小值。 C:x22 21.（2026江苏模拟预测)已知双曲线C:。方=1a>0,6>0 的左、右焦点分别为F(-2,0,E(2,0) 其渐近线方程 为士vBy=0.设M是C上的动点，且M不在轴上. (1)求C的方程： 3 3 2点P,Q分别在直线4：x=-之与：x=2上，且满足FP-FM=0,F0万M=0. ①证明：P,M,Q三点共线： ②求MP-WMO 的最小值. 22.(2026上海浦东新三模)已知抛物 C:少=4x,0为坐标原点， F为焦点，A、B为抛物线C上异 于原点O的两个不同点. (1)若点A到焦点F的距离等于9，求点A的坐标： (2)若OA·OB=-4,求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标： 3)若过点F且不与x轴垂直的直线！与抛物线C交于P、Q两点，点P在x轴上方.设点$为x轴上异于点 PF=PS,延长P交抛物线C于点T.记直线0与2的倾斜角分别为”、”，求 PS C O9.T9 的点，且满 &B tam(a+B以的最小值. 题型08 与立体几何的融合 点 方法技巧 基本不等式与立体几何的融合主要应用于解决空间几何体的表面积、体积及外接球/内切球相关的最值问 题。解题步骤为：1.根据模型：设出几何体的关键变量（如底面半径r,高h,棱长a,b,C):2.列出等 式：根据题目条件（如周长、面积、体积)尽力变量间的约束条件：3转化目标：将要求解的目标量 (体积V,表面积S)表示为含变量的代数式；4应用不等式。 18/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ABC-ABC 1.(25-26高三下·陕西西安阶段检测)已知正三棱柱 的所有顶点都在球◇的表面上，且球0 的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为() A.4V2 83V5 c.2V2 D.V3 2.(25-26高三下·云南阶段检测)设点E,F,G分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，将 △AFG,△BEG,△CEF分别沿直线FG,EG,EF向上折起，使得A,B,C重合于同一点P.若 BC=42 AB+AC=82 P-EFG ,则三棱锥 的外接球表面积的最小值为() 17π A.2 82 C.12r D.21π 3.《多选)(2026山东济南模拟预测)在四棱锥P-ABCD内有一个半径为 (r>0) 的球，底面4BCD为 正方形，PA=PD,△PAD的面积为2，则() A.PB=PC B.PA的最小值为√2 C,该球能与该四楼锥的每个面都相切D,若PAL4B,则≤2-5 4.(2026高三全国专题练习)已知正六棱柱的体积为2，则其外接球表面积的最小值为 5.(2026高三·全国·专题练习)半径为1的球内切于圆锥，求圆锥表面积最小时母线与底面夹角的正切值 为 6.(2026江苏南通模拟预测)半径为1的球可以整体放入一圆锥容器内（容器壁的厚度忽略不计），则 该容器体积的最小值为一· 7.(2026·海南海口模拟预测)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，过点C和PA的中点F 作平面Q,且平面a与侧棱PB,PD(不含端点)分别交于点E,G,若四棱锥P-ABCD的体积为24， 则四棱锥P-CEFG体积的最小值为 8.(广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷)已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形 ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB,PD分别交于点M,N,设 PM=APB,P四=uPD,则四枝锥P-MCO体积的最小值为· 9.(2026重庆沙坪坝模拟预测)如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同 于A,B的任意一点，AB=2AP,三棱锥PABC体积的最大值为9. 19/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B ()当∠BAC= 3时，求二面角C-PB-A的正弦值： (2)当△PBC的面积最大时，求AC, 题型09 与概率统计的融合 点方法技巧 基本不等式与概率统计的融合主要利用基本不等式来处理概率计算中的最值问题、范围估计以及期望与 方程的优化。解题策略为：1.构建函数模型：首先根据题意列出概率、期望或方差的不等式，将其转化 为关于变量（如概率P,次数）的函数；2.识别结构特征：观察函数是否具有“导数和”、“积定和 最小”或“和定积最大”的结构；3.验证约束条件：概率问题中的变量由严格的范围限制（如0≤p≤1 n∈W'),若基本不等式求得的等号成立不在的定义域内，需利用函数的单调性求解；4结合实际意 义：最终结果需回归到实际背景中解释。 21 1.(25-26高一下湖南娄底：期末)已知随机事件4，B互为对立事件，且P)=m,P(B)=n,则m十n的最 小值为() A.3+2V2 8.22 c.3-22 D.2+22 21 aX-- 2.(25-26高二下·吉林长春期末)a,b为正实数，且a+2b=3,当a+2b取最小值时，（x的展 开式中x项的系数为() A 。 3.(多选)（江苏省如皋中学2026届高三5月培优数学练习卷）设随机变量 X~N(4o）,其中 “=a+。号a>)。一组裤本数指4，内的方若等于。，将该样木中每个数托按栽则=2么-1变换， 变换后数据的平均数等于“，方差为16.下列说法正确的是() 20/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.“的最小值为5 B.σ2=4 C.的平均数为6 D.当=6时.P(X<3)<P(X>7) 4.(多选)(2026湖北武汉：三模)已知随机事件A,B满足 0<P(4<1,0<P(B)K1,记 T=P(40P(B).S=P(4UB）,若A,B互斤，则《） A.P(AB)≠0 B.S>27 1 1 1 C.当S=2时，T的最大值为16 D.若T=4,则s=1 5.(多选)(2026甘肃平凉·模拟预测)已知离散型随机变量5的分布列如表所示其中a>0,b>0,且 E(5)=0.3 ,则下列说法正确的是() -1 0 6 0.2 2 A.ab≤ 16 B.a2+b2≥ 4 C. 4a,b、5 D.4-a1-b9 一十 6.(2026江苏常州三模)已知随机变量 X-N(2,3) 正实数“，b满是P(X≤3a+2列=P(X≥4b-1), 3b,a+3 则4a+b的最小值为 7.(2026陕西咸阳模拟预测)已知数据，，，六的平均数为m,数 据0，”的平均数为”，其中 2,3 正数m,n满足m十1，则样本数据5，，，的平均数的最小值为 8.(25-26高二下·江西景德镇·期末)随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人 直播带货：某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，若该公司收集了2026年前5个月x 21/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (c=山，23,45)与对应销告金额)（单位：万元）的数据，并且成线性相关，具体如下表所示： 月份代码x 2 3 4 5 销售金额y(单位：万元) 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数”（精确到0.001），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： 2=2+5x2+10 (2)求销售金额y关于月份x的回归方程y=r+a,若投入总成本z(单位：万元)满 当x为何值时，总成本2的投入值最低？ xy;-nxy xy.-nxy 附：相关系数 2 a=y-bx 当”越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当它接近O时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 其中y=3550 -5x ∑y2-5y2=553 9.(25-26高三全国·一轮复习)编号为~n的小球随机放入编号为1~n的盒子中，即每个球放入任何一 X 个盒子机会均等，相互独立，记“表示个盒子中空盒子的个数， (1)当n=2时，求编号为1的盒子中有球的概率： 1,第个盒子有球 a若设乙-0第个盒子没球=l2川，求E亿)，BX）: E(X,) (3)求证：n关于n单调递增. 10.(2026湖北武汉模拟预测)甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能 进入面试笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的 概率)均为p0<p<),每道岗位实践题的难度系数均为9(0<g<),考生至少答对3道题才能进入面试， 22/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 否则被淘汰出局；己知甲笔试得满分的概率为16，笔试各题是否答对相互独立 (当P=3时，求q: (2)求甲能够进入面试的概率(P)的最小值及相应的P值. 23/23 重难专题02 高考热点：基本不等式与其它模块的融合 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 与函数的融合 基本不等式与函数的融合主要应用于求函数的最值、解决参数范围的问题。其核心思想是将函数解析式变形，构造出符合基本不等式（，其中）的结构，从而利用“和定积最大”或“积定和最小”的原理求解。 1．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 2．已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】对于函数（且）， 由可得，且，故，， 则有，即，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性定义可得函数为奇函数，结合其单调性可得，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由恒成立，故定义域为， ， 由在上单调递增， 且在上单调递增，则在上单调递减， 有， 则， 故函数为奇函数，则在上单调递减， 则由可得， 即，则， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 5．（多选）（2026·山东聊城·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】先根据对数的运算法则对已知等式进行化简，得到的关系，然后根据基本不等式逐一验证. 【详解】， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 6．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 【答案】B 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 7．（2026·浙江·二模）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，结合偶函数图像对称性与唯一零点的性质确定零点为，推导得到与的等量关系，再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】∵ 函数的定义域为，且， ∴ 为偶函数. ∵ 存在唯一零点，若存在非零零点，则也为函数零点，与唯一零点矛盾， 故函数唯一零点为. ∴ ，整理得. 由基本不等式可得， 将代入得，当且仅当时等号成立. 联立，解得，满足条件，故等号可取. 综上，的最小值为. 【方法归纳】对于含奇偶性的函数零点问题，优先利用对称性分析零点分布，得到参数关系后结合基本不等式、导数等工具求解最值. 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 9．（2026·海南三亚·一模）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 10．（2026·陕西榆林·三模）已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】求出函数的对称中心并代入直线中得，化为并结合，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】因为， 所以函数的图象的对称中心为， 将点代入直线，得， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为4. 11．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 题型02 与导数的融合 基本不等式与导数的融合主要解决求最值、证明不等式以及确定参数范围三类问题。两者结合的关键在于利用导数研究函数的性质（单调性、极值），从而为基本不等式的使用创造条件，或直接通过构造函数证明不等式。题型主要有：1.利用导数确定“定值”条件，辅助基本不等式求最值；2.构造函数，利用导数证明基本不等式或其变形；3.解决“恒成立”与“有解”问题中的参数范围。 1．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】． 设，则， ，， ∵， ∴． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）若存在实数，使得方程成立，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【详解】设函数 ． 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为3．故选B． 3．（2026·四川德阳·二模）过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，则，， 依题意得两条切线的方程分别为，， 联立两条切线的方程， 解得， 则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，解得， 可得， ， 则 ， 令，则可化为， 而，当且仅当，即时取得最小值， 因为，且，所以，即不成立， 则的取值范围是，故D正确. 4．（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则（     ） A．在区间上单调递减 B．的值域为 C．不等式恒成立，则 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】令，，求导判断单调性，再结合偶函数逐个选项分析. 【详解】，令，则， 所以恒成立， 所以在上单调递减， 对于A，可看作由函数与复合而成， 而为减函数，在上是减函数， 所以在区间上单调递增，A错误； 对于B，在上单调递减，当时，， 当时，，所以的值域为，B正确； 对于C，由题可知为偶函数，且在区间上单调递增， 且， 即恒成立，而，故，且， 所以，C错误； 对于D，设，则， 因为，所以， 因为在上单调递减， 且， 所以，即，即， 所以，故D正确. 5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 6．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 【答案】9 【分析】通过求导以及导数的几何意义计算得到，，之间的关系，由基本不等式即可求解. 【详解】已知函数，对函数求导得，， 根据导数的几何意义，有，，， 因为，所以， 令，， 则，因此，而，所以， 而，，, 代入，得，， 而由基本不等式得，， 当且仅当时取等， 故的最小值为 7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 题型03 与数列的融合 基本不等式与数列的融合主要考查基本不等式处理数列中的最值问题、大小比较以及不等式的证明。 1.利用基本不等式求数列的最值：当数列的通项公式或前项和公式满足“一正、二定、三等”条件时，可直接使用基本不等式求最值。2.数列中的大小比较与不等关系判断：在等差数列与等比数列的对比中，基本不等式是判断项的大小关系的有力工具。 1．（2026·湖南长沙·一模）已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可设等比数列的公比为， 则，当且仅当即时取等号， 故的最小值为. 2．（2026·江西·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 3．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 又，所以的最小值为. 4．（25-26高二下·江西萍乡·期中）已知数列满足：，若对于，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用递推构造累加法求通项公式，再利用不等式恒成立，分离参变量，构造对勾函数求最值即可. 【详解】由已知 两边同乘得：， 令，则，且， 累加得：， 因为满足，所以，，因此 ​， 将代入不等式，两边同乘得， 整理得：​对任意恒成立，因此大于等于的最大值， 令，，则， 得， 由对勾函数 ​的最小值点在， 因为,所以计算相邻整数的函数值： 当时，，当时，， 因此​的最小值为，即， 则. 5．（2026·陕西·一模）记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由题知，，再令，，则，进而根据二次方程有解问题，结合判别式即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 因为， 设，则，解得， 令，，则， 令，则， 将代入得， 整理得，由题知该方程有解， 所以，即，解得， 所以，即的最大值为. 6．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为____________. 【答案】 【详解】因为数列为调和数列，所以，故是等差数列， 由，得， 所以，又， 所以，当且仅当或时取得等号， 由于， 当且仅当时，取得最大值，为. 7．（2026·重庆·三模）已知数列满足，，已知数列满足，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对的递推式取倒数构造等差数列求，再用累加法求的通项，最后转化为对勾函数求正整数范围内的最小值. 【详解】由且，可得，同理可依次证得，对两边取倒数， 得，即是以为首项，为公差的等差数列，因此，故， 由累加法得，当时，， ，故， 验证时，也满足上式，故. 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以数列在上单调递减，在上单调递增， 因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且， 因此，当时数列取得最小值. 8．（2026·河南·三模）已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列，记，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】先利用等差数列前项和公式与等比中项性质求解首项和公差，再推导、的表达式，进而得到的表达式，通过计算正整数对应的取值得到最小值． 【详解】设等差数列的公差为，， 由，根据等差数列前项和公式，得：，化简得①， 由成等比数列，根据等比中项性质得，将各项用展开：， 整理得，因，故②， 联立①②，将代入②，解得，。 因此通项公式，前项和． 代入得，计算不同的取值： 时，，，故； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，，，故，综上，的最小值为． 9．（2026·河北保定·二模）记函数的最小值为，数列的前n项和为，若 ，则实数t的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据基本不等式及二倍角的正弦公式求得的最小值，从而得到数列通项公式，根据等比数列的前n项和公式，求得，分离参数，并构造函数，利用导数分析其单调性，并求得的最大值，进而得到实数t的取值范围. 【详解】， 函数， 当且仅当时，等号成立. 所以. 所以，所以. 所以，所以. 若 ，则. 令，则. 令， 因为是单调递减函数， 且，， 所以在上存在唯一零点，记为， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，所以， 即的最大值为. 所以实数t的取值范围为. 10．（2026·江苏·模拟预测）已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. (1)当时，记集合，求中元素之和； (2)求的最小值. 【答案】(1)28；(2)8 【分析】（1）当时，由条件，可得的值，代入求和公式，可得，根据条件，可得m的所有取值，即可得答案； （2）由条件可得，即可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）当时，由， 得， 所以，解得， 所以，则， 由，得， 因为，所以， 所以中元素之和为； （2）由，得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时取等号， 所以的最小值为8. 题型04 与向量的融合 基本不等式与向量的融合主要是利用向量的几何性质（如三点共线、数量积定义）构建等量关系，再结合基本不等式求解最值或范围。这类问题通常出现在高考填空、选择题即解答题中，属于中高档难度题型。解题思路如下：1.利用“三点共线”构建系数关系：若平面内三点共线，且为直线外一点，满足，则必有；2.利用“数量积”结合坐标法活几何法：向量数量积常与余弦定理、坐标运算结合，转化为代数式的最值；3.面积比与向量系数融合：在三角形内部点的问题中，面积比往往对应向量的系数。 1．（25-26高二下·甘肃定西·期中）已知向量，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量垂直等价于数量积为0，计算出的关系，用关于的代数式表达，使用均值不等式求出最小值. 【详解】，即, ， 当且仅当即时取等号. 2．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先确定点是的重心，再根据线性运算，用基底表示，利用三点共线，表示，再根据基本不等式求最值. 【详解】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 3．（2026·山东泰安·三模）已知在△ABC中，，M为BE与CD的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算表示出，根据投影向量模长的表达式，结合基本不等式可求答案. 【详解】设,因为，所以为中点， , 因为三点共线，所以，解得； . , 向量在上的投影向量的模为，即， ，当且仅当，即时取到最小值. 4．（25-26高二下·浙江温州·期中）在菱形中，，点为线段上一点，且，点为线段上的一个动点（包括端点），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标和关键向量，结合数量积和向量加法的坐标运算得到，最后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，记菱形的中点为， 以为原点，建立平面直角坐标系，而，设， 由题意得，，，， 可得，，而点为线段上一点， 则，则，设， 可得，得到，解得， 即，得到， 因为，所以，解得， 此时，，， 而点为线段上的一个动点（包括端点）， 设，则，由题意得， 则，即，设，，， 设， 对照系数可得，解得，得到， 即，可得， 又 ， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号， 则，故A正确. 5．（多选）（2026·江西南昌·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 6．（多选）（2026·河北邯郸·二模）已知在中，，，，若，，且直线过中点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据题意结合余弦定理即可判断A，根据平面向量的数量积以及三角形三边的关系即可判断B，根据平面向量基本定理以及基本不等式即可判断C，通过将原问题转化为圆与直线的交点的几何问题即可判断D. 【详解】设，，，则根据题意有， 对于A，由余弦定理：， 所以，故A正确； 对于B，如图所示： 由以及平面向量基本定理可知， 又因为是线段的中点，因此， 则，， 因此，代入以及，化简得， 由三角形的三边关系：，即，又， 取，则，故B错误； 对于C，由三点共线，则存在实数使得，代入以及， 可得，则有，消去可得 则，当，即时取最小值，此时，，满足的条件，故C正确； 对于D，由三角形的三边关系：，即，又， 因此原问题转化为已知点在圆的第一象限的圆弧上运动，满足且，求的取值范围， 如图所示，当直线与圆相切时，切点为，取最大值， 此时原点到直线的距离为，即， 因此的最大值为，此时，由于，满足三角形三边的条件，因此的最大值可以取到， 当直线与圆相交于点时，取最小值，此时，由于，不满足三角形三边的条件， 因此的最小值取不到，即的取值范围是，故D正确. 7．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】利用 平面向量三点共线的结论得到，利用基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】、、三点共线（该直线不过原点），且， ，， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】 如图所示，已知，，则，化简得， 由，所以，当且仅当时等号成立， 由于点是的重心，所以，所以， 因为，即， 因此，所以的最小值是. 9．（2026·天津·二模）在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________． 【答案】 【分析】设，以为基底表示，由此列方程，求得；利用向量模的运算以及基本不等式求得的最小值. 【详解】设，其中， 则 ， 由于， 所以，则为正数， 且. ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 10．（25-26高三下·江西·阶段检测）在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出重心坐标结合基本不等式求出的范围，再求出外心坐标即可利用两点间距离公式求解. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，重心，即， 则由边上的中线得，即， 所以，故，当且仅当时等号成立， 所以即， 因为外心O在AB中垂线上，也在AC中垂线上，，AC中点为， 所以AC中垂线所在直线方程为， 将代入得， 所以外心， 则， 所以的取值范围是. 11．（2026·山东淄博·三模）已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________. 【答案】 【分析】根据题意结合投影向量可得投影向量的模为，再利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，， 则， 可得向量在上的投影向量的模为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以向量在上的投影向量的模的最小值为. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知是的外心，，若，则的最小值是___________． 【答案】2 【分析】将题干条件，转化成，平方后得到，然后结合基本不等式处理. 【详解】由可得， 整理可得， 如图，根据圆内接四边形性质，，于是， 由于（是外接圆半径）， 对两边平方可得， 整理可得， 由基本不等式，整理得， 如图，钝角三角形的外心必在三角形外，设和交于， 根据共线性质，，且， 于是，结合可知， 于是由可得，最小值是，当时取等号. 13．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 【答案】 【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，由是的重心，得， 则，又点共线，因此，即， 而，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 14．（2026·天津北辰·二模）在中，点是边上一点，且.边上存在点E满足，直线和交于点F，且，记，.当时，______（用和表示）；当时，则的最大值为________. 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则计算可得，代入即可得空一；借助平面向量线性运算法则及三点共线定理可得，则可借助平面向量基本定义与数量积定义表示出，再利用基本不等式计算即可得空二. 【详解】， 则， 当时，； 又， 且、、三点共线，故，化简得，即， 则， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 15．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，，已知，则________ ，的最大值为________________． 【答案】 【分析】利用余弦定理化简可得，利用平面向量的线性运算化简已知得，平方化简得，解不等式即可. 【详解】因为，所以由余弦定理可得， 化简可得，所以， 由得， 两边平方有， 又点为锐角的外心，即，， 化简上式得， 因为 ，得 所以，解得或， 因为为锐角三角形，所以O在三角形内部，即，得， 当且仅当时，. 16．（2026·辽宁抚顺·二模）已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为____________. 【答案】/ 【分析】先利用平行向量为相反向量的性质简化问题，再结合题设垂直对数约束，分类讨论并排除不可能情形，最终确定向量分布，利用向量加法的三角不等式求出和向量模长的最大值． 【详解】因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量， 令，则，若，，中有2个或3个向量与垂直， 则这些向量也与垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意． 若，，均不与垂直，也不与垂直，则，，两两垂直，不符合平面向量的性质． 故，，中恰有1个向量同时与，垂直，令，， 则由题可知，从而，则 ， 当且仅当与同向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件，故的最大值为． 题型05 与三角函数的融合 基本不等式与三角函数的融合的核心思路是利用三角恒等变换（如平方关系、二倍角公式等）构造出符合基本不等式的使用条件。解题策略：1.利用平方和构造定值：三角函数中的是天然的定值条件，求最值的典型结构为求的最小值；2.三角换元法：对于代数式中含有或两项平方和为定值（）的结构，可令，进行三角换元。 1.（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 2．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用两角差的余弦公式可知，令，，即可得到，再利用基本不等式求出的最大值，最后由二倍角公式可得，从而得解. 【详解】解：因为锐角，满足， 所以， 令，， 则， 由题意得，，所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以 ； 故选：C 4．（23-24高三上·重庆·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由于，得出和的对应关系，再设定和为，得到基本不等式形式：“和模型”，求解即可. 【详解】由于，得， 所以设，，且， 则， 其中（等号成立时，即时成立）. 故选：C. 5．（2026·陕西·二模）已知锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，即， 则 ， 当且仅当即时，等号成立， 因为为锐角，也就是，即时，等号成立， 故所求式的最小值为，故C正确. 6．（2026·云南昭通·二模）已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意， 由，可得，即， 所以， 则 ， 当且仅当时，即， 即时，等号成立. 7．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 两边同除以，得， 所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以最大值为． 8．（2026·重庆·三模）函数 的最大值为______． 【答案】 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号． 9．（2026高三下·全国·专题练习）已知，，且，则的最大值为______． 【答案】 【分析】把条件转化为，的关系式，设统一变量，再利用基本不等式求分式最值. 【详解】由 ，得， 所以， 所以， 令 ，由，，得 ，故 ，即， 则， 因为，当且仅当 ，即 时取等号， 所以，即，当且仅当 时取等号， 所以 的最大值为 . 10．（2026高三·全国·专题练习）在锐角中，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过余弦定理和正弦定理将已知的边角关系转化为角的正弦关系，再运用平方差型三角恒等式与两角和差公式，推导出与的比例关系；接着利用三角形中的正切恒等式，用同一个变量的正切表示，从而将目标表达式通过代数恒等变形转化为关于该变量的基本不等式形式，最后利用均值不等式求出最小值并验证取等条件. 【详解】由余弦定理：，代入已知得： ， 由正弦定理得：， 利用三角恒等式，且， 约分得： 又， 展开整理： 因为是锐角三角形，故， 用三角形正切恒等式表示在任意三角形中， ，代入得： 由得， 记为： 代入化简得： 再代入： 由基本不等式： 等号成立条件：，满足锐角三角形条件，故的最小值为. 题型05 与解三角形的融合 基本不等式与解三角形的融合主要应用于求解三角形边长、周长、面积的最值或取值范围问题。其核心思路是利用正弦定理或余弦定理将集合条件转化为代数关系，再结合基本不等式进行放缩求解。解题模型有：1.余弦定理+基本不等式求最值；2.正弦定理+三角函数有界性/基本不等式；3.常数代换法（“1”的代换）。 1．（黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期6月月考数学试卷）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合正弦定理可得，从而可得，又，可得，再利用勾股定理与基本不等式及面积公式计算即可得解. 【详解】由及，得， 在中，由正弦定理将边化为角得， 即， 即， ，由，得，因此，即， 所以，当且仅当时取等号， 又由题知，故不能取等号，即有，所以， 故的面积无最大值． 2．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）在△ABC中，角的对边分别为， ，求的最小值（ ）． A． B． C． D．3+ 【答案】A 【分析】根据正弦、余弦定理将化为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】根据正弦定理，，，则. 已知，即，结合余弦定理得. 因此. . 因为，当且仅当时取等号， 所以最大值为，因此目标式最小值为. 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 4．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，结合余弦定理可得，利用两角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为成等差数列，所以， 由余弦定理，，， 再由正弦定理，，即，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 5．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由三角形面积公式和正弦定理得到，再结合，得到，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】在中，，即， 由正弦定理得：， 由知，于是得； 因是锐角三角形，则，即， 而函数在上单调递增，则有， 由得： ， 则， ， 当且仅当，即时取“”， 所以，当，时，取最小值8. 6．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】A 【分析】根据数量积的定义及余弦定理，找到三边之间的关系，进而由余弦定理和基本不等式求解最值即可. 【详解】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 7．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用数量积的定义可求，再利用面积关系和基本不等式可求的最大值. 【详解】设中所对的边为， 因为，且，故，故. 而， 所以， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 8．（2026·江苏徐州·三模）已知三角形的内角的对边分别为，，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用正余弦定理得到，根据两角差的正切公式得到，令，结合基本不等式求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 又，所以，即. 由正弦定理得，，所以， 即， 斜三角形中，，， 所以. . 因为，则，所以，若为钝角，也为钝角，不满足，故为锐角， 令，则. 则，当且仅当，即时取等号. 故的最大值为. 9．（2026·广东佛山·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，点满足，记，，则_________，对任意给定的实数，的最小值是_________（结果用表示）． 【答案】 【分析】利用正弦定理，结合三角形的内角和公式与两角和与差的三角函数公式，可求的值；先根据的值，结合三角形的内角和公式与两角和的正切公式，用表示出，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 因为， 由正弦定理，可得， 又，所以， 所以， 整理得：， 因为为三角形内角，所以，所以， 即，又，为的两个内角， 所以. 因为，所以，且为锐角. 设，则，， 因为，所以，所以. 由，所以， 整理得. 所以. 因为为锐角，所以， 所以（当且仅当即时取等号）. 所以（当且仅当时取等号）. 10．（2026·福建泉州·模拟预测）已知在中，角、、的对边分别为、、，且满足． (1)求的值； (2)已知平分且交于点，，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理可知：， 在中， ∴，又∵中， ∴，即，∴， ∵，∴，即. （2）由题意可知， ，∴， ∴，由基本不等式可得，即，∴， 当且仅当时取等号. ，∴，当且仅当时取等号. ∴, ∴的最小值为. 11．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明：答案见解析；(2)6 【详解】（1）略 （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 12．（2026·重庆江津·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）（1）由题意，根据正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，即：， ∵，∴. （2）（2）由题意在边上一点，且， 可得， ∴，∴， 故，， ∴当且仅当时取到等号，故， ∴的最大值为，当且仅当时取到等号. 13．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 题型07 与解析几何的融合 基本不等式与解析几何的融合主要利用基本不等式来解决解析几何中的最值问题（如面积最大、周长最小、距离最短等）或范围问题。其核心思想是将几何量（长度、面积、斜率等）转化为代数不等式，再通过不等式技巧求解。 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 2．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由已知，，设（由抛物线的对称性及斜率最大，则），则， 于是直线的斜率为， 当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为1. 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若抛物线C：的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时，（   ） A． B．40 C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当，即时取等号； 所以. 5．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，设直线的方程为，与联立， 得，， 设，，则，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 6．（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 【答案】ABD 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 7．（2026·河南许昌·三模）已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点，交圆于M，N两点，其中A，M位于第一象限，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据抛物线的几何性质，结合已知条件求出，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求出，利用基本不等式求的最小值． 【详解】已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点， 则，由焦半径公式得：， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， 化简得， 由韦达定理得， 则 ，当且仅当时取等号， 故的最小值为3．    8．（2026·河北邢台·二模）已知是抛物线上一点，点，在轴上，的内切圆的方程为 ，则面积的最小值为（   ） A．42 B．56 C．72 D．88 【答案】C 【分析】设、、，结合内切圆性质与点到直线距离公式计算可得与、有关等式，即可得、是关于的方程的两根，借助韦达定理计算可表示出，则可借助表示出面积，再利用换元法与基本不等式计算即可得解. 【详解】设、、， 则，即， ，即， 由圆心为，半径为， 则到直线、距离都为， 即有，， 整理得，， 即、是关于的方程的两根， 故，， 由的内切圆的方程为， 可得，即， 则， 则， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值为. 9．（多选）（2026·重庆·模拟预测）抛物线:的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有（   ） A．直线过点 B． C．的最小值为2 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【详解】对于A，，且，三点共线，即直线过点，故A正确； 对于B，设直线与轴正半轴的夹角为. 由抛物线，得； 由抛物线的定义得，，，解得，； ，故B错误； 对于C，过点，分别作，，分别交准线于点、，交轴于点、. 则，，； 由B得； ； ，； ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由C知取最小值时，； 由A知三点共线，； ； 又，，; ，故D正确. 10．（2026·湖北武汉·三模）设平面内动点在单位圆上，到直线，的距离分别为，，即；推广到空间：动点在单位球上，到平面，的距离分别为，.记，则当取最大值为5时，（    ） A．2 B．4 C． D．24 【答案】C 【分析】先根据点到平面的距离探索，的关系，结合柯西不等式和的最大值为5可求的值. 【详解】设，则，， 所以. 因为，所以（当且仅当时取等号）. 又因为， 所以. 又的最大值为5，所以. 因为，所以. 11．（26-27高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 ； ． 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线的左、右顶点分别为，点在上且在第一象限内，设直线与的斜率分别为，，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】∵双曲线的左、右顶点分别为， ∴， 设， 则直线的斜率， 直线的斜率，∴， 又点在上，∴，即， ∴， 又，∴， ∴，当且仅当， 即时，等号成立， ∴的最小值为2. 13．（2026·北京·三模）已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 【答案】 【详解】 设，满足. 因为，， 所以，， 时，所以. 时 ，， 等号当且仅当时取到，所以. 14．（25-26高二下·上海徐汇·期末）平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】因为曲线过原点，且已知的坐标，所以先利用卡西尼卵形线的定义，代入原点坐标求出距离之积的常数，得到. 已知与的乘积为定值，所以利用基本不等式求该函数的最小值，验证等号成立的条件是否满足曲线的约束。 【详解】由题意，曲线过原点，，，则 ，， 根据定义，对曲线上任意点，有 ， 由基本不等式得：， 等号成立当且仅当，结合，得，，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取。 15．（2026·广东广州·三模）已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________. 【答案】3 【分析】设过原点的切线的切点为，则，再设，进而可得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】解：设过原点的切线的切点为，圆半径为，中点为， 则， 所以 ， 则的最小值，即为求的最小值， 设，点到直线的距离， 则， 而， 当且仅当取到最小值，所以最小值为3． 16．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，由椭圆的对称性，得到为平行四边形，且，设，在中，利用余弦定理，分别求得和，列出关系式，化简得到，结合基本不等式和离心率的定义，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 17．（2026·河南南阳·三模）已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记曲线的焦点为，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】根据题意，求得，根据旋转前后的关系，设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点，由椭圆的定义，得到，再设，得到，根据，结合基本不等式，即可求解. 【详解】曲线关于以及对称， 如图（1）所示，联立方程组 ，解得， 所以，同理b=. 又因为，可得点关于原点对称， 设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点， 再设椭圆的另一个焦点为， 如图（2）所示，分别连接， 根据椭圆的对称性，可得， 由椭圆的定义，可得，即， 设，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，即的最小值是. 18．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)；(2)4，． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 19．（2026·辽宁·三模）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，，，． (1)若，直线的斜率为1，求的值； (2)求四边形面积的最小值及此时直线的斜率． 【答案】(1)8；(2)，． 【分析】（1）求出抛物线方程和焦点坐标，得出直线的方程，直曲联立，借助韦达定理即可求出的值； （2）写出直线的方程，直曲联立得出的表达式，利用两直线垂直求出直线的斜率与的表达式，写出四边形的面积表达式，借助基本不等式即可求出四边形面积的最小值及此时直线的斜率. 【详解】（1）由题意，在抛物线中， 当时，，焦点， ∵直线的斜率为1， ∴直线的方程为， 联立，解得， ∴， ∴． （2）由题意， 在抛物线中，焦点， ，，，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴直线的斜率为， 同理可得，， ∴四边形的面积： ， 当且仅当即时，等号成立， ∴四边形面积的最小值是，此时直线的斜率． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据已知列方程组求参数值，再由曲线的关系即可得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率，并设出直线方程，联立椭圆求交点坐标，再由化简得到定值，结合三角形面积公式及基本不等式求面积最小值. 【详解】（1）当时，，则，由对称性知内切圆的圆心为原点， 结合题设，有，解得， 因此所求椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率存在且时，则， 联立，得， 由，解得， 所以，则，同理， 法一：由 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 法二：因为， 又， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是， 当时，， 当k不存在时，， 综上所述，的面积的最小值为. 21．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为．设是上的动点，且不在轴上． (1)求的方程； (2)点分别在直线与上，且满足． ①证明：三点共线； ②求的最小值． 【答案】(1)；(2)①答案见解析；②4 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程与参数关系即可求解； （2）①通过点的坐标，根据向量的运算计算、两点坐标，证明即可； ②通过两点间的距离公式，表示出，计算最值即可. 【详解】【小题1】∵双曲线的焦点分别为，其渐近线方程为， ∴， 解得， ∴双曲线的方程为 【小题2】①证明：设，，则．又，∴，，∵，∴，解得，∴．又，且，∴，解得，∴．∴直线的斜率，直线的斜率，∴三点共线． ②由①知，， ∴， ∵，∴， 令，则， 当且仅当，即，即时，取“”， ∴的最小值为． 22．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【答案】(1)或；(2)证明见解析，定点坐标为；(3) 【分析】（1）设，根据题意，利用抛物线的定义，列出方程，求得，进而得到点的坐标； （2）设直线方程，联立方程组，得到，由，化简得到，得出方程求得，进而得到直线过定点； （3）设直线，根据题意，求得的方程，联立方程组，求得和，得到，，结合两角和的正切公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点焦点的距离等于， 由抛物线的定义，可得 ，故 将代入抛物线，可得， 所以点的坐标为或. （2）解：由题意，设直线方程，且 由，可得，即， 即 ，解得， 联立方程组，整理得， 则，且，所以，解得， 所以直线方程，当时，， 此时直线过定点，定点坐标为. （3）解：由题意，可设直线且， 由，可得  则直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 同理可得：，即， 则， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 题型08 与立体几何的融合 基本不等式与立体几何的融合主要应用于解决空间几何体的表面积、体积及外接球/内切球相关的最值问题。解题步骤为：1.根据模型：设出几何体的关键变量（如底面半径，高，棱长）；2.列出等式：根据题目条件（如周长、面积、体积）尽力变量间的约束条件；3.转化目标：将要求解的目标量（体积V，表面积S）表示为含变量的代数式；4.应用不等式。 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则该三棱柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记三棱柱上､下底面中心分别为，则的中点为， 设球的半径为，则， 所以，所以， 所以，解得，当且仅当， 即时，等号成立，所以该三棱柱的侧面积， 即三棱柱的侧面积的最大值为. 2．（25-26高三下·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由题设．将放在棱长为x，y，z的长方体中，可得的关系式，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解. 【详解】设，，由题设. 三棱锥中，，，， 将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积. 3．（多选）（2026·山东济南·模拟预测）在四棱锥内有一个半径为的球，底面为正方形，，的面积为2，则（    ） A． B．的最小值为 C．该球能与该四棱锥的每个面都相切 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，分别作的中点，易证平面，可得，得解；对B，由三角形面积公式可得，结合三角函数有界性得解；对C，当四棱锥为正四棱锥时，符合题意；对D，由题易证平面，可得是直角三角形，所以，得，求出内切圆的半径，结合基本不等式可得，则，令，，利用导数求出最值，结合得解. 【详解】如图，分别作的中点， 对于A，因为，所以在等腰中，有， 又，所以，又，平面， 所以平面，故，又， 所以，且是的中点， 所以，故A正确； 对于B，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2，故B错误； 对于C，当四棱锥为正四棱锥时，该球能与该四棱锥的每个面都相切，故C正确； 对于D，当时，又，，所以平面， 又，所以平面， 所以，即是直角三角形， 因为，所以，即，故， 所以内切圆的半径， 设，则，则， 令，，则，所以， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，故D正确.    4．（2026高三·全国·专题练习）已知正六棱柱的体积为2，则其外接球表面积的最小值为______． 【答案】 【分析】设正六棱柱的底面边长和高分别为．由体积条件得到 为定值，再利用正六边形的外接圆半径等于边长，表示外接球半径，最后用基本不等式求最小值． 【详解】设正六棱柱的底面边长为，高为，外接球半径为． 正六边形的外接圆半径等于其边长，因此取经过棱柱轴线和上下底面一对相对顶点的截面，可得如下矩形截面． 由图可知 正六棱柱的体积为，所以 令，则 从而 由基本不等式，得 当且仅当，即时，等号成立． 所以外接球半径的最小值为 ，外接球表面积的最小值为. 5．（2026高三·全国·专题练习）半径为1的球内切于圆锥，求圆锥表面积最小时母线与底面夹角的正切值为______． 【答案】 【分析】作圆锥的轴截面，将问题转化为等腰三角形的内切圆问题．利用三角形的面积与半周长表示内切圆半径，再把圆锥的表面积表示为关于母线与底面半径之比的函数，利用基本不等式求最小值． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，母线与底面的夹角为． 作圆锥的轴截面，如图所示，其中内切圆的半径为． 轴截面三角形的面积为，半周长为，所以. 令， 由，得. 于是. 圆锥的表面积为. 又 当且仅当，即时，等号成立． 此时 故圆锥表面积最小时，母线与底面夹角的正切值为． 6．（2026·江苏南通·模拟预测）半径为1的球可以整体放入一圆锥容器内（容器壁的厚度忽略不计），则该容器体积的最小值为_____． 【答案】 【分析】作圆锥轴截面，求出圆锥的体积的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小， 作圆锥轴截面如图，为圆锥的高，为球心，为切点， 则，又， 则， 由，得， 因此该圆锥的体积 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该容器体积的最小值为. 7．（2026·海南海口·模拟预测）已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【分析】设，其中，由空间四点共面定理可得，再由，得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设，其中， 取空间基底, 因为底面是平行四边形， 所以 , 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以, 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 8．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及共面定理可得，由等体积法求得,,根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】由于四边形是平行四边形，可得, 则, 根据题意, 而,,,四点共面， 所以，可得， , , , 当且仅当，即时取等号. 9．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，,三棱锥P-ABC体积的最大值为9. (1)当时，求二面角的正弦值； (2)当△PBC的面积最大时，求AC． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)三棱锥体积最大，即底面三角形的面积最大，通过均值不等式求解，进而通过建系，用空间向量法分别求出两个平面的法向量，进一步求出二面角的大小； (2)将三角形的面积最值转化为求一元二次函数最值. 【详解】（1）设，则. 因为是底面圆的直径，所以， 则三角形. 在直角三角形中，由勾股定理，得. 由重要不等式得，. 当且仅当时，等号成立，即的最大值为. 所以，三棱锥体积的最大值为，解得，. 所以，,. 因为在直角三角形中：，,所以，,. 以为坐标原点，为轴，为轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则、、、. 、、. 设平面的一个法向量为， 则，得，解得， 令，得. 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，得，解得， 令，得. 所以，，. ，. 求二面角的平面角为，则， 得，. 所以，二面角的正弦值为. （2）因为面，面，， 所以，，. 由（1）题知，，则. 因为面， 面， 所以，面. 因为面，所以，.设， 得，，. . ， 当时，取得最大值为，此时，. 题型09 与概率统计的融合 基本不等式与概率统计的融合主要利用基本不等式来处理概率计算中的最值问题、范围估计以及期望与方程的优化。解题策略为：1.构建函数模型：首先根据题意列出概率、期望或方差的不等式，将其转化为关于变量（如概率P，次数n）的函数；2.识别结构特征：观察函数是否具有“导数和”、“积定和最小”或“和定积最大”的结构；3.验证约束条件：概率问题中的变量由严格的范围限制（如，），若基本不等式求得的等号成立不在的定义域内，需利用函数的单调性求解；4.结合实际意义：最终结果需回归到实际背景中解释。 1．（25-26高一下·湖南娄底·期末）已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机事件互为对立事件可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为随机事件互为对立事件， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2．（25-26高二下·吉林长春·期末）为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用基本不等式求出当取最小值时的值，再利用二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此， 由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当取最小值，有， 由，解得， 所以，其展开式的通项公式为， 令，解得，所以项的系数为，故B正确. 3．（多选）（江苏省如皋中学2026届高三5月培优数学练习卷）设随机变量，其中，一组样本数据的方差等于，将该样本中每个数据按规则变换，变换后数据的平均数等于，方差为16.下列说法正确的是（    ） A．的最小值为5 B． C．的平均数为6 D．当时， 【答案】ABD 【分析】选项A由已知条件结合均值不等式求出最值；选项B根据方差性质求解；选项C根据已知条件不能确定为6；选项D根据正态分布的对称性确定. 【详解】，令， ，当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为5，选项A正确； 样本数据的方差等于，按规则变换，方差为16. 所以，则，选项B正确； 变换后数据的平均数等于，随着的变化而变化， 所以的平均数不一定是6，选项C错误； 当时，， ，， 所以，选项D正确. 4．（多选）（2026·湖北武汉·三模）已知随机事件，满足，，记，，若，互斥，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】应用概率的性质，结合事件互斥得，再应用作差法比较大小及基本不等式得，进而依次判断各项的正误. 【详解】由概率的性质知， 由，互斥，则，A错，故， 由， 而且， 所以，则，B对， 由，，则， 当且仅当时取等号，则， 当，则，当且仅当时取等号，即的最大值为，C对， 当，则，结合概率的性质知，则，D对. 5．（多选）（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（    ） 0 1 2 P 0.2 c a A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由分布列期望的计算公式，可得，再结合基本不等式，逐项判断即可. 【详解】由期望的计算公式可得，得. 对于A：因,则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由，可得，又由A可知，， 故，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C：因，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D：令，则，则， 则又因为，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 6．（2026·江苏常州·三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性性质得到，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为随机变量 ，正态分布的概率密度曲线关于均值 对称， 因为，根据正态分布的对称性性质得 化简得，所以 所以 根据基本不等式,当且仅当 时，等号成立， 此时结合 ，，得, , 所以，当且仅当, , 等号成立， 所以 的最小值为 . 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【分析】求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 8．（25-26高二下·江西景德镇·期末）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，若该公司收集了2026年前5个月x与对应销售金额y（单位：万元）的数据，并且成线性相关，具体如下表所示： 月份代码x 1 2 3 4 5 销售金额y（单位：万元） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r（精确到0.001），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； (2)求销售金额y关于月份x的回归方程，若投入总成本z（单位：万元）满足，当x为何值时，总成本z的投入值最低？ 附：相关系数，，. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 其中，． 【答案】(1)样本相关系数，变量与的线性相关程度极强； (2)回归方程为，当时总成本的投入值最低． 【分析】根据给定公式和已知数据计算相关系数判断线性相关性强弱，再计算回归系数得到线性回归方程，将回归方程代入总成本表达式后利用基本不等式求最小值． 【详解】（1），， 所以， 因为非常接近，所以变量与的线性相关程度极强； （2）， ， ， 所以回归方程为， 所以， 由基本不等式，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总成本取得最小值． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）编号为的小球随机放入编号为的盒子中，即每个球放入任何一个盒子机会均等，相互独立，记表示n个盒子中空盒子的个数. (1)当时，求编号为1的盒子中有球的概率； (2)若设，求，； (3)求证：关于n单调递增. 【答案】(1)；(2)，；(3)答案见解析 【分析】（1）利用分步乘法计数原理结合古典概型的概率公式可求概率； （2）先确定，再结合期望性质可求； （3）利用基本不等式即可求解； . 【详解】（1）当时，每个球都有种放法，根据分步乘法计数原理，个球放入个盒子的所有可能情况有种。 编号为的盒子中有球的情况有种 （球在号盒，球在号盒；球在号盒，球在号盒；球和球都在号盒）。 根据古典概型概率公式（其中是包含的基本事件个数，是基本事件总数），可得编号为1的盒子中有球的概率为 （2）由于，， 故 ， 表示个盒子中空盒子的个数，表示第个盒子是否有球， 所以， 所以． （3）由（2）， 因为,由元基本不等式可得： ， 当且仅当时，取等号，显然等号不成立， 故，所以关于单调递增. 10．（2026·湖北武汉·模拟预测）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式得甲笔试满分的概率，列方程求解；（2）甲至少答对3道题才能够进入面试，列出所有可能求出甲能够进入面试的概率表达式，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 因为，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $